El objetivo de la presente investigación consiste en proponer pruebas estadísticas para comparar las curvas de supervivencia de k grupos con eventos recurrentes. Los eventos recurrentes se producen en muchas áreas importantes para los científicos, cabe mencionar: psicología, ingeniería, medicina, física, astronomía, biología, economía. Son muy comunes en nuestro entorno, como por ejemplo: enfermedades virales, ataque de epilepsias, tumores cancerígenos, fiebres, fallas en maquinarias y equipos, terremotos, lluvias, accidentes laborales, accidentes de automóviles, entre otros.

1. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
7
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
Pruebas estadísticas para comparar curvas de
supervivencia de k grupos con eventos recurrentes
Statistical tests to compare survival curves of k groups with recurrent
events
Carlos Martínez, Guillermo Ramírez y Maura Vásquez
Palabras Clave: Análisis de supervivencia, eventos recurrentes, pruebas estadísticas, procesos contadores
Key Words: Survival analysis, recurrent events, statistical tests, counting processes
RESUMEN
El objetivo de la presente investigación
consiste en proponer pruebas estadísticas para
comparar las curvas de supervivencia de k
grupos con eventos recurrentes. Los eventos
recurrentes se producen en muchas áreas
importantes para los científicos, cabe
mencionar: psicología, ingeniería, medicina, física,
astronomía, biología, economía. Son muy
comunes en nuestro entorno, como por
ejemplo: enfermedades virales, ataque de
epilepsias, tumores cancerígenos, fiebres, fallas en
maquinarias y equipos, terremotos, lluvias,
accidentes laborales, accidentes de automóviles,
entre otros. La idea consiste en generalizar las
pruebas
estadísticas
ponderadas
para
comparar curvas de supervivencia del análisis
de supervivencia clásico al campo recurrente.
Las funciones de supervivencia en los grupos
se estiman con el uso del modelo Generalized
Product Limit Estimator (GPLE) propuesto
por Peña, Strawderman y Hollander (2001),
modelos donde se usan dos procesos de
conteo. Para realizar las estimaciones se
diseñaron rutinas en lenguaje R y se
emplearon paquetes del lenguaje, como:
survival y survrec. En la investigación se utilizó
la base de datos del experimento Byar, donde
se midió el tiempo (meses) de la reaparición
de tumores en 116 enfermos con cáncer
superficial de vejiga. En el experimento los
pacientes fueron asignados al azar a los
siguientes tratamientos: placebo (47 pacientes),
pyridoxine (31 pacientes) y thiotepa (38
pacientes). El propósito de utilizar esa base de
datos en esta investigación es comparar las
curvas de supervivencia de los tres grupos y
determinar si existen diferencias significativas
entre los tratamientos.
ABSTRACT
The objective of this paper is to propose
statistical tests to compare k survival curves
involving recurrent events. Recurrent events
occur in many important scientific areas:
psychology, bioengineering, medicine, physics,
astronomy, biology, and economics, Such events
are very common in the real world: viral
diseases, seizure, carcinogenic tumors, fevers,
machinery and equipment failures, births,
murders, rain, industrial accidents, car accidents
and so on. The idea is to generalize the
weighted statistics used to compare survival
curves in classical models. The estimation of
the survival functions is based on a non
parametric model (GPLE model) proposed by
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

2. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
Peña et al., using counting processes.
R language programs using known routines
like survival and survrec were designed to
make the calculations. In this research it is
used the database Byar experiment, in which
the time (months) of recurrence of tumors in
116 sick patients with superficial bladder
cancer is measured. These patients were
randomly allocated to the following
treatments: placebo (47 patients), pyridoxine (31
patients) and thiotepa (38 patients). The aim is
to compare the survival curves of the three
groups and to determine if there are
significant differences between treatments.
INTRODUCCIÓN
El Análisis de Supervivencia (AS) es una
rama de la estadística donde se dispone de
un conjunto de métodos para modelar el
tiempo que transcurre hasta la ocurrencia
de un evento determinado. El evento
puede describir muertes, enfermedades,
fallas de maquinarias o equipos u otro
acontecimiento de interés.
Tradicionalmente los estudios del análisis
de supervivencia se aplicaban para
estudiar muertes de individuos por causas
de enfermedades terminales. Sin embargo,
el uso de estas técnicas fueron dirigidas
por ingenieros al estudios de fallas en
sistemas mecánicos y/o eléctricos y se le
llamó Análisis de Confiabilidad (AC). En
la mayoría de las situaciones la ocurrencia
de tal evento no es deseable, por lo tanto,
uno de los principales objetivos es evaluar
el efecto de un tratamiento en la
prevención de estos eventos. Cuando los
estudios de supervivencia analizan la
ocurrencia de un evento por unidad de
8
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
estudios se le conoce como AS clásico. Sin
embargo, muchas situaciones prácticas
implican repetidas, en donde una unidad
de materia o de la muestra puede tener
cualquier número de eventos durante toda
la vida. Hay un creciente interés en el
análisis de este tipo de eventos, conocidos
como Eventos Recurrentes (ER). Cuando
los datos son eventos recurrentes, los
métodos estadísticos se hacen más
complicados. Los objetivos de un estudio
AS clásico, generalmente son dos: las
estimaciones
de
funciones
de
supervivencia y la comparación de
grupos. En relación a las estimaciones de
funciones del análisis se dispone de
modelos
estadísticos
suficientemente
potentes para realizarlas, cabe mencionar:
los modelos actuariales, Kaplan Meier
(KM) (1958), Cox (1972), entre otros. Con
relación al problema de comparación, se
tienen: las pruebas de: Mantel Haenszel
(1959), Gehan (1965a, 1965b), Mantel
(1966), Kruskal Wallis propuesta por
Breslow (1970), Peto Peto (1972), Tarone
Ware (1977), Prentice (1978), Fleming et al.
(1980),
Harrington Fleming
(1982).
Autores como: Prentice et al. (1981),
Andersen Gill (1982) y Wei et al.(1989),
diseñaron un conjunto de estimadores
para ER, al igual que Wang Chang (1999),
Peña et al. (2001), entre otros. El problema
de comparación de grupos con datos
recurrentes lo abordaron Doganaksoy
Nelson (1998) y Martínez (2009) en su
disertación de tesis doctoral.
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

3. 9
Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
METODOLOGÍA
La principal variable aleatoria en el AS es
el tiempo de ocurrencia de un evento T.
Esta variable tiene asociada un conjunto
de funciones, como son: la función de
densidad de probabilidad (fdp) f, la
función de distribución acumulada (FDA)
F, la función de supervivencia (fs) S, la
función de riesgo (fdr) h y la función de
riesgo acumulado (fra) H. Por definición:
F(t)=P(T t), S(t)=P(T>t) y por lo tanto,
S(t)=1 F (t). Se puede demostrar que:
ht
f t
St
(1)
y
t
H (t )
0
h s ds (2)
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
de unidades a riesgo justo antes del
tiempo tj y dj es el número de ocurrencia
en el tiempo tj. Cox propuso el modelo de
riesgos proporcionales:
ht/X
h0 t e
S t/X
e
t
X
( 4)
y
t
h s / X ds
0
(5)
Donde X es un vector de p covariables,
digamos: X1, X2 ... Xp, donde estas
covariables pueden ser dependientes o
independiente del tiempo de ocurrencia
del evento. ho(t) es la función de riesgo
base, S(t/X) es la función de supervivencia
y es el vector de parámetros.
Modelos del AS con ER
Modelos Clásicos del AS
Entre los modelos clásicos del análisis de
supervivencia se encuentran: los modelos
actuariales (modelo de Bhomer, 1912),
modelo de Berkson Gage (1952) y el
modelo de Cutler Ederer (1958), el modelo
de Kaplan Meier (1958) y modelo de Cox
(1972). La estimación de la función de
supervivencia de KM se obtiene como el
producto de probabilidades condicionales
de la ocurrencia del evento, donde se
asume independencia en los tiempos de
ocurrencia. El estimador de KM para
tiempos de ocurrencia no repetidos, se
define como:
j
S (t j )
1
i 1
di
ni
(3)
Donde, j representa el j ésimo momento
de ocurrencia del evento, ni es el número
Wang Chang (1999) (WC) propuso una
modelo para estimar la función de
supervivencia en casos donde los tiempos
entre ocurrencia del evento pueden estar
correlacionados. El estimador de WC fue
definido usando dos procesos d*(t) y R*(t):
d*(t) que denota la suma de la proporción
de las unidades con tiempos de
interocurrencias iguales t, y R*(t) que
representa el promedio ponderado de las
veces que unidades estuvieron a riesgo en
el tiempo t. Así:
n
S (t )
1
i 1
j :Tij t
d * Tij
R * Tij
(6)
Donde Tij denota el tiempo de
interocurrencia
j ésimo en el i ésima
unidad (ver Figura 1).
Peña et al. (2001) propusieron dos modelos
de
supervivencia
para
Eventos
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

4. 10
Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
Recurrentes (ER): un modelo llamado
GPLE que generalizó el estimador clásico
de la función de supervivencia de KM
para unidades con ER, asumiendo
independencia en los tiempos de
interocurrencias y el modelo de fragilidad
para los casos donde existen individuos
cuya probabilidad de ocurrencia del
evento sigue una ley de probabilidades.
En el primer modelo los autores
consideraron dos escalas de tiempo: una
escala que mide el tiempo calendario
denotada por la letra S y otra que mide los
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
tiempos de interocurrencias, denotada por
la letra T. Los autores definieron os
procesos de conteo, N(s,t) representa el
número de eventos observados en el
período calendario [0,s] con T t y Y(s,t)
representa el número de eventos
observados en el periodo [0,s] con T t. El
estimador GPLE se define como:
S (t )
w t
Donde,
Tiempos de interocurrencias
Si0 = 0
Ti2
Si1
Fin del estudio
Evento no observado
Ti3
Si2
(7)
N(s,w)=N(s,w+ w) N(s,w).
Ti4
Ti1
N s, w
Y s, w
1
i
Si3
–Ti4
Si4
i
Tiempos calendarios
Tiempo de estudio
Figura 1. Representación gráfica de un evento recurrente en la i ésima unidad
Pruebas no paramétricas para comparar
grupos en el AS clásico
El objetivo de la comparación de grupos
en el AS es similar al procedimiento
utilizado
para
comparar
muestras
independientes. Sin embargo, hay ciertos
aspectos en el AS, tales como: la censura y
no normalidad de los datos que generan
gran dificultad cuando se trata de
analizarlos
usando
las
pruebas
tradicionales.
Varios
autores
han
desarrollado pruebas estadísticas para
comparar grupos en el AS: la prueba
logrank propuesta Mantel Haenszel (1958),
la prueba generalizada de Wilcoxon
propuesta por Gehan (1965a, 1965b), la
prueba de Mantel (1966), la prueba
generalizada de Kruskal Wallis propuesta
por Breslow (1970), la prueba de Peto Peto
(1972), la prueba de Tarone Ware (1977), la
prueba de los rango lineales con datos
censurados por la derecha propuesta por
Prentice (1978), la prueba Fleming et
al.(1980) y una prueba más general dada
por Harrington Fleming (1982). Ahora se
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

5. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
describe la prueba de Mantel Haenszel
(1959) para comparar dos curvas de
supervivencia de dos grupos. Supóngase
que djz denota el número de ocurrencia de
un evento en el tiempo tz en el grupo j,
para j =1,2 y z = 1,2 ... p. En el grupo
11
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
combinado dz = d1z + d2z. La Tabla 1 ilustra
que, en el tiempo tz hay n1z unidades a
riesgo en el primer grupo y n2z unidades a
riesgo en el segundo grupo. Así, en el
tiempo tz se tienen nz unidades a riesgo en
el grupo combinado y dz eventos.
Tabla 1. Número de ocurrencias del evento en el tiempo tz para G1 y G2
Número
Grupo
Número de eventos Número de sobrevivientes
unidades a riesgo
n1z d1z
n1z
G1
d1z
G2
d2z
n2z d2z
n2z
Combinado
dz
nz dz
nz
La variable aleatoria d1z sigue una
distribución hipergeométrica H(nz,n1z,dz)
cuyo valor esperado es dz×n1z/nz y cuya
varianza es:
Var (d1z )
dz
n1z nz n1z nz d z
nz
nz
nz 1
(8)
Para contrastar la hipótesis nula de no
diferencia
entre
las
curvas
de
supervivencia de los grupos se puede
realizar usando el estadístico:
(9)
Donde wz son los pesos para cada
momento tz. Se puede demostrar que la
variable aleatoria Z se comporta como una
distribución normal y en consecuencia su
cuadrado sigue una distribución 2 con un
grado de libertad. Para diferentes valores
de wz se obtienen varias pruebas de
comparación. Si wz=1 se obtiene la prueba
de Mantel Haenszel (logrank). Si wz=nz se
obtiene la prueba generalizada de
Wilcoxon
(Gehan).
Tarone Ware
propusieron una modificación de la
prueba de Wilcoxon, con wz=(nz)1/2. En la
prueba de Peto Peto (1972), wz = SPM(tz),
que da mayor peso a las primeras
diferencias y donde, SPM(tz) representa la
estimación de la función de supervivencia
a través del método de Prentice Marek
(1979). El resto de las pruebas son
adaptaciones de las pruebas anteriores,
como la prueba de Fleming et al. y la
prueba de Harrington Fleming. En el
campo de recurrencia: Pepe Cai (1993)
señaló que la prueba de comparación
logrank pueden ser utilizadas para ER.
Doganaksoy Nelson (1998) propusieron
un método de comparación basado en las
estimaciones de las funciones media
acumulada para eventos con datos
recurrentes y
Martínez (2009), que
propusieron una generalización de las
pruebas clásicas ponderadas a eventos
recurrentes.
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

6. 12
Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
PROPUESTA
Problema
En esta sesión se dan a conocer las
propuestas o estadísticos de comparación
de la hipótesis de prueba de que no hay
diferencias en las k funciones de
supervivencia:
Ho: S1(t) = S2(t) = ... = Sk(t)
Donde, S1(t), S2(t) ... Sk(t) son las funciones
de supervivencia de los k grupos de
individuos bajo estudio.
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
Notación
La notación utilizada es similar a la usada
por Peña et al. (2001), con la diferencia que
se utiliza el tercer subíndice r para
identificar a los grupos, ver Martínez et al.
(2009). Un supuesto fundamental en la
propuesta es que los individuos bajo
estudio
han
sido
previamente
y
apropiadamente clasificados en cada
grupo de acuerdo a una variable de
estratificación. De esta manera, se puede
estimar la función de supervivencia para
cada grupo, con la siguiente expresión:
S r (t )
1
z t
N s, z; r
Y s, z; r
r
1,2,..., k . (10)
Tabla 2. Resumen del número de ocurrencias del evento en el tiempo de
interocurrencia z para los diferentes grupos.
Grupo
Número a
riesgo
Número de
eventos
Número de
sobrevivientes
1
Y(s,z;1)
N(s,z;1)
Y(s,z;1) - N(s,z;1)
.
r
.
Y(s,z;r)
.
N(s,z;r)
.
Y(s,z;r) - N(s,z;r)
´
Y(s,z;r’)
N(s,z;r’)
Y(s,z;r’) - N(s,z;r’)
.
k
.
Y(s,z;k)
.
N(s,z;k)
.
Y(s,z;k) - N(s,z;k)
Combinado
Y(s,z)
N(s,z)
Y(s,z) - N(s,z)
r
La Tabla 2 presenta el resumen de los
datos de los grupos en tiempo de
ocurrencia z, donde
N(s,z)= N(s,z;1)+…+ N(s,z;r)+ N(s,z;r )
+…+ N(s,z;k)
y
Y(s,z)=Y(s,z;1)+…+Y(s,z;r)+Y(s,z;r )+….
Y(s,z;k).
Y s, z; r w rz
Ur
z t
N s, z; r
Y s, z; r
La idea consiste en comparar la
proporción de ocurrencias de evento en
cada grupo N(s,z;r)/Y(s,z;r), con respecto
a la proporción de ocurrencia en el grupo
combinado N(s,z)/Y(s,z). Si Ho es cierta la
proporción en el grupo es similar a la del
grupo combinado. El siguiente estadístico
es una combinación lineal de las
diferencias:
N s, z
Y s, z
r
1,2,..., k . (11)
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

7. 13
Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
Donde, wrz son los pesos para cada
momento de ocurrencia z en los r ésimo
grupo. Donde, las variables Ur son tales
que U1 + U2 + ... + Uk = 0 con
w1z = w2z = ... = wkz = wz, lo que implica que
2
w rz
Cov U r , U r '
z
Y s, z
N s, z
Y s, z
2
gl k 1
Ut
1
U
U
una de ellas es combinación lineal de las
restantes, y en consecuencia, la matriz de
varianzas y covarianzas de las Ur no es
invertible.
Y s , z; r
Y s, z
N s, z
Para resolver este problema se suprime
una de ellas, por ejemplo la primera. Con
ello, no hay pérdida sustantiva de
información, y la matriz de varianzas y
covarianzas del nuevo vector U con k 1
componentes será invertible, condición
que se requiere para poder proponer el
siguiente estadístico:
(13)
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
rr '
Y s, z; r
Y s, z
con
1 if r
rr '
r'
0 if r
r'
(12)
distribución chicuadrado con k 1 grados
de libertad bajo la hipótesis nula. Esta
estructura es similar a una propuesta por
Tarone Ware para comparar grupos. Con
una selección apropiada de los pesos, que
se muestra en la Tabla 3, se obtiene una
generalización de algunas pruebas clásicas
al caso recurrente. Observe que el
subíndice rec se utiliza para indicar la
prueba correspondiente para ER.
Este estadístico tiene forma cuadrática y se
distribuye asintóticamente como una
Tabla 3. Propuesta de pesos para las pruebas de comparación de curvas en el AS con ER.
Comportamiento
Pruebas tipo
Notación
Pesos (wz)
Mantel Haenzsel
Gehan
Peto Peto
LRrec
Grec
PPrec
Tarone Ware
TWrec
Peto Prentice
PPrrec
SC(tz 1)
Decreciente
Prentice Marek
PMrec
SC(t) × Y(s,z) / [Y(s,z) +1]
Decreciente
Fleming Harrington
O’sullivan
FHOrec
[SC(t)]
1: Decreciente
=0: Constante
0< <1:Creciente
Fleming et al.
Frec
[SC(t)] [1 SC(t)] r
Martinez
Mrec
[SC(t)] [1 SC(t)] r Y(s,z) / [Y(s,z) +1]
Martínez Ramírez Vásquez
MRVrec
1
Y(s,z)
SC(t)
Y (s , z )
N(s, z)
Constante
Decreciente
Decreciente
Decreciente
Aleatorio
Sc(t)=Estimación de la función de supervivencia (modelo GPLE) para el grupo combinado
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

8. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
APLICACIÓN
Los datos del experimento de Byar (1980)
corresponden
a
los
tiempos
de
reapariciones de tumores medidos en
meses para ciento dieciséis (116) pacientes
enfermos con cáncer superficial de vejiga,
(ver Martínez et al. (2009) datos
disponibles en Andrews Herzberg (1985).
Los pacientes fueron sometidos a un
proceso de aleatorización en la asignación
de los tratamientos: placebo (47 pacientes),
pyridoxine (31 pacientes) y thiotepa (38
pacientes). Al inicio del experimento, los
tumores presentes en los pacientes fueron
removidos. En algunos casos se presentó
recurrencia múltiple de tumores que
también fueron extirpados al ser
encontrados en los chequeos médicos. Al
inicio, a cada paciente se le midieron dos
variables de interés: el número inicial de
tumores (num) y el tamaño (size) o
diámetro del mayor de ellos, medido en
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
La Figura 2 muestra los tiempos de
reaparición de los tumores en los pacientes
tratados con placebo, thiotepa y pyridoxine.
La Figura 3 muestra tanto las curvas de
supervivencia de los tiempos de
reaparición de tumores de los tres grupos
como la curva de supervivencia del grupo
combinado. Las estimación de dichas
14
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
centímetros. El objetivo de la investigación
de Byar consistía en determinar si las
variables num y/o size tenían efectos
significativos en la reaparición de los
tumores de los pacientes, y luego
comparar los tres tratamientos. El objetivo
planteado en esta investigación es
determinar
si
existen
diferencias
significativas entre las curvas de
supervivencia de los tiempos de
reaparición de los tumores entre los tres
grupos: placebo, thiotepa y pyridoxine.
Debido a que una de las restricciones del
modelo GPLE es que el último tiempo de
ocurrencia esté censurado por la derecha,
se realizaron algunos cambios en la base
de datos de aquellos pacientes donde esto
no sucede. El cambio se hizo en aquellos
pacientes cuyo período de observación
culminó con una ocurrencia, a los que se le
adicionó un dato censurado con un tiempo
ligeramente superior al último momento
de ocurrencia.
curvas fueron realizadas usando el modelo
de Peña et al. (2001) (modelo GPLE). En
dicha figura se aprecia diferencias entre
ellas, las cuales deben ser corroboradas
utilizando las pruebas de comparación
propuesta en este trabajo.
La Tabla 4 muestra los resultados de la
comparación
de
las
curvas
de
supervivencia de los tres grupos tratados.
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

9. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
15
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
Figura 2 Representación gráfica de tiempos de reaparición de tumores en tres grupos.
Figura 3 Representación gráfica de las curvas de supervivencia de los grupos
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

10. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
16
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
Tabla 4. Resultados de las pruebas de comparación de los tres grupos
Pruebas
Chi cuadrado
p valor
LRrec
Grec
TWrec
PPrec
PMrec
PPrrec
Frec =0, r=0
Mrec =0, r=0,
Mrec =0, r=0,
Mrec =0, r=0,
Mrec =1, r=0,
Mrec =1, r=1,
MRVrec
2.98493
1.86934
2.37678
1.79447
1.78768
1.95451
2.98493
2.98493
1.86935
2.37678
1.79447
6.67953
3.16468
0.22482
0.39271
0.30471
0.40769
0.40908
0.37634
0.22482
0.22482
0.39271
0.30471
0.40769
0.03544
0.20549
=0,
=0
=1,
=0
=1/2, =0
=0 , = 0
=1, = 1
Para realizar las estimaciones de las
pruebas de comparación propuestas en
este trabajo fue necesario diseñar rutinas
en lenguaje R. Todas las pruebas indican
que desde el punto de vista estadístico no
hay diferencias significativas
entre
tratamientos, a excepción de la prueba
de Mrec con parámetros: = 1 , r =1, = 1
y = 1 que indica que si existe diferencia
entre los tres tratamientos, tal como se
aprecia en la Figura 3. Esto significa que
para casos como éste si se escoge
parámetros adecuados y convenientes la
prueba Mrec es capaz de detectar
diferencias que las otras pruebas no
detectan.
CONCLUSIONES
detectan. La prueba Mrec es una
generalización de todas las pruebas del AS
tanto en el área clásica como en el campo
de eventos recurrentes. Todas las pruebas
del AS son casos particulares de la prueba
Mrec, con excepción de la prueba MRVrec
cuyos pesos son aleatorios y dependen de
la cantidad de eventos que ocurran en
cada momento durante el período de
estudio.
En este trabajo se plantearon pruebas
estadísticas para comparar curvas de
supervivencia de grupos con eventos
recurrentes. Así mismo, se lograron
generalizar las pruebas de comparación
del AS clásico al campo de la recurrencia.
La prueba Mrec es capaz de detectar
diferencias que las otras pruebas no
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

11. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
17
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
REFERENCIAS
Andersen, P. y Gill, R. (1982). Cox s regression
model for counting processes: A large sample
study. Annals of Statistics, 10, 1100 1120.
Andrews D. y Herzberg A. (1985). Data. A
collections of problems from many fields for
the student and research worker. Springer
series in Statistics, Springer Verlag, USA.
Berkson J. y Gage R. (1952). Survival curve
cancer patients following treatment. American
Statistical Association Journal, 501 515.
Bhomer P. (1912). Theorie der unabhängigen
Wahrscheinlichkeiten, en Rapports. Mémoires
et Procès verbaux
de Septième
Congrès
International d´Áctuaries, Ámsterdam, 2, 327 343.
Breslow, N. (1970). A generalized Kruskal
Wallis test for comparing K samples subject to
unequal patterns of censorship. Biometrika, 57,
579 594.
Byar, D. (1980). The veterans administrations
study of chemoprophylaxis for recurrent stage
I bladder tumors: Comparisons of placebo,
pyridoxine, and topical thiotepa. In Bladder
tumor and other Topics in Urological Oncology.
New York: Plenum, 363 370.
Cox, D. (1972). Regression models and life
tables. Journal of the Royal Statistical Society,
Series B, 34, 187 220.
Cutler S. y Ederer F. (1958). Maximum
utilization on the life table method in
analyzing survival. Biostatistics. Journal of
chronic Diseases, 8, 699 712.
Doganaksoy N. y Nelson W. (1998). A method
to compare two samples of recurrence data.
Lifetime Data Analysis, 48, 51 63.
Fleming, T., O Fallon, J., O Brien, P.
yHarrington,
D.
(1980).
Modified
Kolmogorov Smirnov test procedures with
application to arbitrarily right censored data.
Biometrics, 36, 607 625.
Gehan, E. (1965a). A generalized Wilcoxon test
for comparing arbitrarily singly censored
samples. Biometrika, 52, 203 223.
Gehan, E. (1965b). A generalized two sample
Wilcoxon test for doubly censored data.
Biometrika, 52, 650 653.
Harrington D. y Fleming T. (1982). A class of
rank test procedure for censored survival data.
Biometrika, 60 (3), 553 566.
Kaplan, E. y Meier, P. (1958). Nonparametric
estimation from incomplete observations.
Journal of the American Statistical Association,
53, 457 481.
Mantel, N. (1966) Evaluation of survival data
and two new rank order statistical arising in
its consideration. Cancer Chemother. Rep.,50,
163 170.
Mantel, N. y Haenszel, W. (1959). Statistical
aspects of the analysis of data from
retrospective studies of disease. Journal of the
National Cancer Institute, 22 (4), 719 748.
Martínez, C. (2009). Generalizaciones de algunas
pruebas clásicas de comparación de curvas de
supervivencia al caso de eventos de naturaleza
recurrente. Tesis doctoral. Universidad Central
de Venezuela. Caracas, Venezuela.
Martínez, C., Ramírez, G. y Vásquez, M.
(2009). Pruebas no paramétricas para
comparar curvas de supervivencia de dos
grupos que experimentan eventos recurrentes.
Propuestas. Revista Ingeniería U.C., Vol. 16, N°
3, 45 55.
Peña, E., Strawderman, R. y Hollander, M.
(2001). Nonparametric estimation with
recurrent event data. J.A.S.A., 99, 1299 1315.
Pepe, M. y Cai, J. (1993). Some graphical
display and marginal regression analyses for
recurrent failure times and time dependent
covariates. J.A.S.A, 88, 811 820.
Martínez et al., Análisis de Supervivencia con Eventos Recurrentes, p.7 18

12. Ingeniería Industrial.
Actualidad y Nuevas Tendencias
Peto R. y Peto J. (1972). Asymptotically
efficient rank invariant test procedures (with
discussion). J.R.S.S., A, 135, 185 207.
Prentice, R. (1978). Linear rank tests with right
censored data. Biometrika, 65(1), 167 179.
Prentice, R. y Marek, P. (1979). Qualitative
discrepancy between censored data rank
test.Biometrics, 35, 861 867.
Prentice, R., Williams, B. y Peterson, A. (1981).
On the regression analysis of multivariate
failure time data. Biometrika, 68(2), 373 379.
Tarone, R. y Ware, J. (1977). On distribution
free tests for equality of survival distributions.
Biometrika, 64 (1), 156 160.
18
Año 4, Vol. II, N° 6
ISSN: 1856 8327
Wang, M. y Chang, S. (1999). Nonparametric
estimation of a recurrent survival function.
Journal of the American Statistical Association, 94,
146 153.
Wei, L., Lin, D. y Weissfeld, L. (1989).
Regression analysis of multivariate incomplete
failure time data by modeling marginal
distributions. Journal of the American Statistical
Association, 84, 1065 1073.
Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons
by ranking methods. Biometrics, 1, 80 83.
Autores
Carlos Martínez. Profesor Asociado a Dedicación Exclusiva, Departamento de Investigación
Operativa, Escuela de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de
Carabobo, Valencia Venezuela. Graduado en la Maestría en Ingeniería Industrial (U.C.) y Doctor
en Estadística graduado en la Universidad Central de Venezuela.
E mail: cmmm7031@gmail.com
Guillermo Ramírez. Profesor Titular de la Escuela de Estadística de la Facultad de Ciencias
Económicas y Sociales (FACES) de la Universidad Central de Venezuela, Doctor en Estadística
graduado en la Universidad de Salamanca España. Director de la Comisión de Estudios de
Postgrado de FACES, UCV.
E mail: guillermo.ramirez.ucv@gmail.com
Maura Vásquez. Profesora Titular jubilada de la Escuela de Estadística de la Facultad de
Ciencias Económicas y Sociales (FACES) de la Universidad Central de Venezuela, Doctora en
Estadística graduada en la Universidad de Salamanca España.
E mail: mauralvasquez@gmail.com
Recibido: 05/04/2011
Aceptado: 31/05/2011
Martínez et al., Pruebas estadísticas para comparar curvas de supervivencia, p.7 18