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BINOMIO DE NEWTON
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la
potencia de unbinomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir,
se trata de una fórmula paradesarrollar la expresión:
(a + b)
n
; n ϵ N
Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones
algebraicas cualesquiera.
Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: (3x+5)
n
,(4xz+6y)
n
,(6a
+ 4b)
n
,etcétera.
Se puede deducir la regla observando las características comunes que tienen los siguientes
desarrollos:
(x +y)1
= x + y
(x+y)2
=x
2
+ 2xy + y2
(x+y)3
=x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
(x+y)4
=x4
+ 4x3
y + 6x2
y2
+ 4xy3
+ y4
(x+ y)5
= x5
+ 5x4
y + 10x3
y2
+ 10x2
y3
+ 5xyV + y5
(x+y)6
=x6
+ 6x5
y + 15x4
y2
+ 20x3
y3
+ 15x2
y4
+ 6xy5
+ y5
Observa que los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguiente secuencia:
Observa además que las potencias del primer sumando del binomio, a, comienzan por n y
en cada sumandovan disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las
potencias del segundo sumandodel binomio, b, empiezan en 0 y van aumentando de uno
en uno hasta llegar a n.
La estructura en triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo
de Tartaglia.Observa que el vértice superior es un 1 y que la segunda fila son siempre
dos “unos”.
Observa también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que
aparecen formanuna fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al
penúltimo, el tercero igualal antepenúltimo, etc.
De esta forma sería fácil hallar (a + b)5:
- La fila siguiente del triángulo sería: 1 5 10 10 5 1
- Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían la siguiente
secuencia:
a5
b0
a4
b1
a3
b2
a2
b3
a1
b4
a0
b5
;
o sea: a5
a4
b a3
b2
a2
b3
ab4
b5
;
Por tanto:
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
Ejemplo: Encuentre
1.
7
ba
2.
5
ba
3.
4
2nm
4.
8
1a
5.
5
2x
6.
5
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  • 1. BINOMIO DE NEWTON El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de unbinomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula paradesarrollar la expresión: (a + b) n ; n ϵ N Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cualesquiera. Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: (3x+5) n ,(4xz+6y) n ,(6a + 4b) n ,etcétera. Se puede deducir la regla observando las características comunes que tienen los siguientes desarrollos: (x +y)1 = x + y (x+y)2 =x 2 + 2xy + y2 (x+y)3 =x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 (x+y)4 =x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4 (x+ y)5 = x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5xyV + y5 (x+y)6 =x6 + 6x5 y + 15x4 y2 + 20x3 y3 + 15x2 y4 + 6xy5 + y5 Observa que los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguiente secuencia: Observa además que las potencias del primer sumando del binomio, a, comienzan por n y en cada sumandovan disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias del segundo sumandodel binomio, b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno hasta llegar a n. La estructura en triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia.Observa que el vértice superior es un 1 y que la segunda fila son siempre dos “unos”.
  • 2. Observa también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que aparecen formanuna fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igualal antepenúltimo, etc. De esta forma sería fácil hallar (a + b)5: - La fila siguiente del triángulo sería: 1 5 10 10 5 1 - Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían la siguiente secuencia: a5 b0 a4 b1 a3 b2 a2 b3 a1 b4 a0 b5 ; o sea: a5 a4 b a3 b2 a2 b3 ab4 b5 ; Por tanto: (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 Ejemplo: Encuentre 1. 7 ba 2. 5 ba 3. 4 2nm 4. 8 1a 5. 5 2x 6. 5 2x