uno de los metodos para poder construir un cronograma de avance SISTEMAS DE INGENIERIA

1. METODO DOBLE FASE

2. V-2
EjemploEjemplo
Min Xo = 4X1 + X2Min Xo = 4X1 + X2
3X1 + X2 = 33X1 + X2 = 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 ≥≥ 66
X1 + 2X2X1 + 2X2 ≤≤ 44
Forma estForma estáándarndar
Min Xo = 4X1 + X2Min Xo = 4X1 + X2
3X1 + X2 = 33X1 + X2 = 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 –– S1S1 == 66
X1 + 2X2 + S2X1 + 2X2 + S2 == 44

3. V-3
EjemploEjemplo
Forma estForma estáándarndar
Min Xo = 4X1 + X2Min Xo = 4X1 + X2
3X1 + X2 = 33X1 + X2 = 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 –– S1S1 == 66
X1 + 2X2 + S2X1 + 2X2 + S2 == 44
Tabla SimplexTabla Simplex
Min XoMin Xo --4X14X1 -- X2 = 0X2 = 0
3X1 + X2 = 33X1 + X2 = 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 –– S1S1 == 66
X1 + 2X2 + S2X1 + 2X2 + S2 == 44

4. V-4
EjemploEjemplo
Tabla SimplexTabla Simplex
Min XoMin Xo --4X14X1 -- X2 = 0X2 = 0
3X1 + X2 = 33X1 + X2 = 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 –– S1S1 == 66
X1 + 2X2 + S2X1 + 2X2 + S2 == 44
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 SOLUCIÓN
Xo -4 -1 0 0 0
? 3 1 0 0 3
S1 4 3 -1 0 6
S2 1 2 0 1 4

5. V-5
IntroducciIntroduccióónn
•• Empezar en una soluciEmpezar en una solucióón bn báásica factible garantiza quesica factible garantiza que
todas las siguiente iteraciones sertodas las siguiente iteraciones seráán factibles.n factibles.
•• Cuando todas las restricciones son del tipo (Cuando todas las restricciones son del tipo (≤≤), las), las
holguras ofrecen una soluciholguras ofrecen una solucióón bn báásica factible parasica factible para
empezar la iteraciempezar la iteracióón.n.
Max Xo = 5X1 + 4X2Max Xo = 5X1 + 4X2
6X1 + 4X2 + S16X1 + 4X2 + S1 ≤≤ 24 (1)24 (1)
X1 + 2X2 + S2X1 + 2X2 + S2 ≤≤ 6 (2)6 (2)
--X1 + X2 + S3X1 + X2 + S3 ≤≤ 1 (3)1 (3)

6. V-6
¿¿CCóómo encontrar una solucimo encontrar una solucióón bn báásica inicial para lossica inicial para los
modelos que incluyen restricciones (=) y (modelos que incluyen restricciones (=) y (≥≥)?)?
Usar Variables artificiales que asuman el papel deUsar Variables artificiales que asuman el papel de
HOLGURASHOLGURAS
Pero despuPero despuéés se requiere eliminarlos. Existen doss se requiere eliminarlos. Existen dos
mméétodos para lograr eliminarlos:todos para lograr eliminarlos:
•• MMéétodo de la Mtodo de la M
•• MMéétodo de 2 Fasestodo de 2 Fases

7. V-7
MMÉÉTODO DE LA MTODO DE LA M
•• Debido a que en su proceso se conduce a seriosDebido a que en su proceso se conduce a serios
errores de redondeo nunca se pone en prerrores de redondeo nunca se pone en prááctica en losctica en los
programas comerciales de PL.programas comerciales de PL.

8. V-8
MMÉÉTODO DE 2 FASESTODO DE 2 FASES
Resuelve el problema de PL en dos fasesResuelve el problema de PL en dos fases
FASE IFASE I
•• Trata de encontrar unaTrata de encontrar una solucisolucióón Basica factiblen Basica factible para la primerapara la primera
iteraciiteracióón.n.
Se aSe aññade las variables artificiales (Ri) a las restricciones (=,ade las variables artificiales (Ri) a las restricciones (=, ≥≥))..
Se resuelve el problema: MinSe resuelve el problema: Min ∑∑RiRi
•• ∑∑Ri = 0, PASAR A LA FASE IIRi = 0, PASAR A LA FASE II, el problema tiene soluci, el problema tiene solucióónn
•• ∑∑Ri > 0, NO PASAR A LA FASE IIRi > 0, NO PASAR A LA FASE II, el problema no tiene una soluci, el problema no tiene una solucióónn
factible.factible.
FASE IIFASE II
•• Utiliza el resultado de la Fase I para resolver el problema origUtiliza el resultado de la Fase I para resolver el problema originalinal

9. V-9
EJEMPLO FASE IEJEMPLO FASE I –– Paso 1. APaso 1. Aññadir variables Artificialesadir variables Artificiales
Min Xo = 4X1 + X2Min Xo = 4X1 + X2
3X1 + X23X1 + X2 == 33
4X1 + 3X24X1 + 3X2 ≥≥ 66
X1 + 2X2X1 + 2X2 ≤≤ 44
Min r = R1 + R2Min r = R1 + R2
3X1 + X23X1 + X2 +R1+R1 = 3= 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 –– S1 +R2S1 +R2 == 66
X1 + 2X2X1 + 2X2 + S2+ S2 == 44

10. V-10
FASE IFASE I –– Paso 2. Llevar a una tablaPaso 2. Llevar a una tabla
Min r = R1 + R2Min r = R1 + R2
3X1 + X23X1 + X2 +R1+R1 = 3= 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 –– S1 +R2S1 +R2 == 66
X1 + 2X2X1 + 2X2 + S2+ S2 == 44
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 0 0 0 0 -1 -1 0
R1 3 1 0 0 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4

11. V-11
FASE IFASE I –– Paso 3. Verificar consistencia renglon rPaso 3. Verificar consistencia renglon r
R1 = 3R1 = 3
R2 = 6R2 = 6 r = 3 +6 = 9r = 3 +6 = 9
Min r = R1 + R2Min r = R1 + R2
3X1 + X23X1 + X2 +R1+R1 = 3= 3
4X1 + 3X24X1 + 3X2 –– S1 +R2S1 +R2 == 66
X1 + 2X2X1 + 2X2 + S2+ S2 == 44
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 0 0 0 0 -1 -1 0
R1 3 1 0 0 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4

12. V-12
FASE IFASE I –– Paso 3. Verificar consistencia renglon rPaso 3. Verificar consistencia renglon r
r 0 0 0 0 -1 -1 0
R1 3 1 0 0 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 1 6
r 7 4 -1 0 0 0 9
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 7 4 -1 0 0 0 9
R1 3 1 0 0 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4

13. V-13
FASE IFASE I –– Paso 4. Identificar Variable de entradaPaso 4. Identificar Variable de entrada
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 7 4 -1 0 0 0 9
R1 3 1 0 0 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4
Coeficiente mas positivo

14. V-14
FASE IFASE I –– Paso 5. Identificar Variable de salidaPaso 5. Identificar Variable de salida
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 7 4 -1 0 0 0 9
R1 3 1 0 0 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4
Coeficiente mas positivo
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
RAZON
r 7 4 -1 0 0 0 9
R1 3 1 0 0 0 0 3 3 / 3 1
R2 4 3 -1 0 1 1 6 6 / 4 3/2
S2 1 2 0 1 0 0 4 4 / 1 4
Menor razón

15. V-15
FASE IFASE I –– Paso 6. Operaciones G. JordanPaso 6. Operaciones G. Jordan
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 7 4 -1 0 0 0 9
R1 3 1 0 0 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 0 0 0 0 -1 -1 0
X1 1 0 1/5 0 3/5 -1/5 3/5
X2 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5
S2 0 0 1 1 1 -1 1

16. V-16
FIN FASE IFIN FASE I
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 R1 R2 SOLUCIÓN
r 0 0 0 0 -1 -1 0
X1 1 0 1/5 0 3/5 -1/5 3/5
X2 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5
S2 0 0 1 1 1 -1 1
Como r = 0 SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE
X1 = 3/5
X2 = 6/5
S2 = 1
HASTA AQUÍ LAS VARIABLES ARTIFICIALES HAN COMPLETADO SU MISION
ELIMINAR TODAS SUS COLUMNAS Y AVANZAR A FASE II

17. V-17
FASE IIFASE II –– Paso 1. Trasladar a tablaPaso 1. Trasladar a tabla
Min = 4X1 + X2Min = 4X1 + X2
X1 + 1/5 S1 = 3/5X1 + 1/5 S1 = 3/5
X2X2 –– 3/5 S1 = 6/53/5 S1 = 6/5
S1 + S2 = 1S1 + S2 = 1
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 SOLUCIÓN
Xo -4 -1 0 0 0
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
S2 0 0 1 1 1

18. V-18
FASE IIFASE II –– Paso 2. Verificar consistencia renglon XoPaso 2. Verificar consistencia renglon Xo
X1 = 3/5X1 = 3/5
X2 = 6/5X2 = 6/5 Xo =Xo = 4.4.(3/5) +(3/5) +1.1.(6/5) = 18/5(6/5) = 18/5
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 SOLUCIÓN
Xo -4 -1 0 0 0
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
S2 0 0 1 1 1
Min =Min = 4.4.X1 +X1 + 1.1.X2X2
X1 + 1/5 S1 = 6/5X1 + 1/5 S1 = 6/5
X2X2 –– 3/5 S1 = 6/53/5 S1 = 6/5
S1 + S2 = 1S1 + S2 = 1

19. V-19
FASE IIFASE II –– Paso 2. Verificar consistencia renglon XoPaso 2. Verificar consistencia renglon Xo
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 SOLUCIÓN
Xo -4 -1 0 0 0
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
S2 0 0 1 1 1
Min =Min = 4.4.X1 +X1 + 1.1.X2X2
X1 + 1/5 S1 = 6/5X1 + 1/5 S1 = 6/5
X2X2 –– 3/5 S1 = 6/53/5 S1 = 6/5
S1 + S2 = 1S1 + S2 = 1
Xo -4 -1 0 0 0
(*4) X1 4 0 4/5 0 12/5
(*1) X2 0 1 3/5 0 6/5
Xo 0 0 1/5 0 18/5

20. V-20
FASE IIFASE II –– Paso 3. Identificar V. entrada y salidaPaso 3. Identificar V. entrada y salida
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 SOLUCIÓN
Xo 0 0 1/5 0 18/5
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
S2 0 0 1 1 1

21. V-21
FASE IIFASE II –– Paso 4. Operaciones G. JordanPaso 4. Operaciones G. Jordan
Solución
Basica Factible X1 X2 S1 S2 SOLUCIÓN
Xo 0 0 0 -1/5 17/5
X1 1 0 0 -1/5 2/5
X2 0 1 0 3/5 9/5
S1 0 0 1 1 1