Derivative formulae 01
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Este documento presenta cinco fórmulas básicas para derivar expresiones algebraicas. Cada fórmula se explica y se proporcionan ejemplos para ilustrar su aplicación. La derivada de una constante es cero, la derivada de una variable respecto a sí misma es uno, la derivada de un término constante por una variable es la constante por la derivada de la variable, la derivada de una variable elevada a una potencia es la potencia por la variable elevada a la potencia menos uno, y la derivada de una suma es la suma de las derivadas de cada
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- 2. Contenido 02 Derivada Introducción Fórmula 1 Ejemplos Fórmula 3 Ejemplos Fórmulas Cinco Fórmula 2 Ejemplos Fórmula 5 Ejemplos Fórmula 4 Ejemplos Resumen Ejemplos
- 3. Las fórmulas de derivación son, en términos generales, indicaciones acerca de las características o condiciones que debe cumplir una expresión algebraica para obtener su derivada. Naturalmente contienen también la información para obtener la derivada de una función que cumple con las características señaladas en la fórmula. Introducción 3
- 4. Cinco fórmulas básicas de derivación 04 En esta presentación se explican estás cinco fórmulas y se desarrollan algunos ejemplos para clarificar la forma en que se aplican. La numeración es arbitraria y sólo corresponde a la numeración empleada en el formulario que se encuentra en el enlace siguiente: http://licmata-ebc.blogspot.com/2018/07/basic-mathematics-formulae.html
- 5. Cinco fórmulas básicas de derivación 05
- 6. Primera fórmula de derivación 06 La fórmula número 1 se lee: La derivada de 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒂 es igual a: 𝑪𝒆𝒓𝒐 La fórmula hace referencia a cualquier constante; un número, un símbolo que representa números como p, e, entre otros. Al derivar con respecto a x, otras variables son consideradas como constantes y su derivada es cero.
- 7. Primera fórmula de derivación 07 Ejemplos: 1. y = 5 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 2. y = 𝜋 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 3. y = 𝑎 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 4. y = 2b ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 5. y = 6𝑤2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 6. y = 9b ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 Puesto que todas las funciones son iguales a una constante, su derivada es igual a cero. No importa si contienen exponentes, raíces, productos, o cualquier otra expresión algebraica. Mientras se trate de constantes o variables que no contienen x, su derivada es cero.
- 8. Segunda fórmula de derivación 08 La fórmula número 2 se lee: La derivada de 𝒙, con respecto a equis, es igual a: 𝑼𝒏𝒐 La fórmula hace referencia a la variable respecto a la que se está derivando; al derivar x respecto a x o t respecto a t, la derivada es igual a uno.
- 9. Segunda fórmula de derivación 09 Ejemplos: 1. y = 𝑥 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2. s = 𝑡 ∴ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 1 3. v = 𝑠 ∴ 𝑑𝑣 𝑑𝑠 = 1 4. y = b ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑏 = 1 5. a = 𝑤 ∴ 𝑑𝑎 𝑑𝑤 = 1 6. g = y ∴ 𝑑𝑔 𝑑𝑦 = 1 El nombre de la función suele ser y, pero no necesariamente es así, puede ser otra letra, s, v, g, entre otras. La variable también puede identificarse con otra letra, pero si se deriva respecto a esa variable, la derivada es siempre igual a uno.
- 10. Tercera fórmula de derivación 010 La fórmula número 3 se lee: La derivada de 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒄, por 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒗 es igual a: 𝑳𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 c por la derivada de 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒗 No debemos olvidar que la constante puede estar representada por una letra o cualquier símbolo.
- 11. Tercera fórmula de derivación 011 Ejemplos: 1. y = 2𝑥 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2. s = 4𝑡2 ∴ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 4 𝑑 𝑑𝑡 𝑡2 3. v = 𝑎𝑠3 ∴ 𝑑𝑣 𝑑𝑠 = 𝑎 𝑑 𝑑𝑠 𝑠3 4. y = 𝑎𝑏4 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑏 = 𝑎 𝑑 𝑑𝑏 𝑏4 5. 𝑎 = 𝜇𝑤3 ∴ 𝑑𝑎 𝑑𝑤 = 𝜇 𝑑 𝑑𝑤 𝑤3 6. 𝑔 = 𝜋𝑦5 ∴ 𝑑𝑔 𝑑𝑦 = 𝜋 𝑑 𝑑𝑦 𝑦5 Esta fórmula, básicamente, establece que no es necesario derivar las constantes; pueden “sacarse”, y solamente derivar la variable.
- 12. Quinta fórmula de derivación 012 La fórmula número 5 se lee: La derivada de 𝒙 elevada a la potencia 𝒏 es igual a: 𝒏 por 𝒙 elevada a la potencia 𝒏 − 𝟏 Se emplean colores para identificar la variable y el exponente
- 13. Quinta fórmula de derivación 013 Ejemplos: 1. y = 𝑥4 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑥3 2. s = 𝑡2 ∴ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 2𝑡 3. v = 𝑠3 ∴ 𝑑𝑣 𝑑𝑠 = 3𝑠2 4. y = 𝑏4 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑏 = 4𝑏3 5. 𝑎 = 𝑤3 ∴ 𝑑𝑎 𝑑𝑤 = 3𝑤2 6. 𝑔 = 𝑦5 ∴ 𝑑𝑔 𝑑𝑦 = 5𝑦4 Esta fórmula indica el procedimiento para derivar una variable elevada a un exponente constante.
- 14. La aplicación de la fórmula cuatro, en realidad, no nos permite obtener la derivada, es solamente una indicación general acerca del procedimiento para derivar expresiones complejas. A continuación se plantea el uso de la fórmula 4 en conjunto con las fórmulas 1, 2, 3 y 5 en la resolución de un ejemplo. Ejemplos 14 Cuarta fórmula de derivación
- 15. Cuarta fórmula de derivación 015 La fórmula número 4 se lee: La derivada de 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 Es igual a la suma de las derivadas de cada una de las variables. La fórmula 4 simplemente indica que es posible derivar cada término por separado
- 16. Cuarta fórmula de derivación 016 Ejemplos: Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 4𝑥3 − 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 5 Significa derivar cada término por separado:
- 17. Cuarta fórmula de derivación 017 Ejemplos: Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 4𝑥3 − 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 5 Significa derivar cada término por separado:
- 18. Cuarta fórmula de derivación 018 Ejemplos: Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 4𝑥3 − 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 5 Significa derivar cada término por separado: Esta fórmula nos indica que podemos derivar término por término. Posteriormente, para obtener la derivada de cada término, se aplican las otras fórmulas de derivación.
- 19. Cuarta fórmula de derivación 019 Derivar: 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 4𝑥3 − 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 5 La fórmula 3 señala que podemos “sacar” las constantes y derivar sólo la variable: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 6 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 5
- 20. Cuarta fórmula de derivación 020 Derivar: 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 4𝑥3 − 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 + 𝑑 𝑑𝑥 6𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 6 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥 5 Las fórmulas 1 y 2 nos permiten derivar los últimos dos términos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 6 1 − 0
- 21. Cuarta fórmula de derivación 021 Derivar: 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 6 1 − 0 La fórmula 5 se emplea para derivar los primeros dos términos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 3𝑥2 − 3 2𝑥 + 6 1 − 0
- 22. Fórmulas de derivación 1 a la 5 022 Derivar: 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 + 6 1 − 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 3𝑥2 − 3 2𝑥 + 6 1 − 0 Después de derivar se efectúan operaciones algebraicas y este es el resultado: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 12𝑥2 − 6𝑥 + 6
- 23. Fórmulas de derivación 1 a la 5 023 Ejemplos: Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 5 El resultado puede obtenerse directamente: Esta descripción paso a paso tiene la finalidad de explicar el procedimiento con el mayor detalle posible, sin embargo, en la práctica, estas derivadas se obtienen directamente, en uno o dos pasos, aplicando las fórmulas sin más. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 12𝑥2 − 6𝑥 + 6
- 24. En la siguiente diapositiva se aplican, directamente, las 5 fórmulas estudiadas hasta ahora, tal como generalmente se resuelven estos ejercicios. Se anotan dos pasos solamente para explicar el procedimiento, pero, como ya se explicó anteriormente, puede hacerse en un solo paso. Ejemplos 24
- 25. Fórmulas de derivación 1 a la 5 025 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2 5𝑥4 + 4 3𝑥2 − 5 1 − 0 Fórmula 4 Como se ha explicado antes, la fórmula 4 se aplica globalmente
- 26. Fórmulas de derivación 1 a la 5 026 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2 5𝑥4 + 4 3𝑥2 − 5 1 − 0 Fórmula 4 Fórmula 3 Cuando derivamos solamente la variable y, posteriormente multiplicamos por el coeficiente, estamos aplicando la fórmula 3.
- 27. Fórmulas de derivación 1 a la 5 027 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2 5𝑥4 + 4 3𝑥2 − 5 1 − 0 Fórmula 4 Fórmula 3 La fórmula 1 indica que la derivada de una constante, sin variable, es cero.
- 28. Fórmulas de derivación 1 a la 5 028 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2 5𝑥4 + 4 3𝑥2 − 5 1 − 0 Fórmula 4 Fórmula 3 La fórmula 2 señala que la derivada de equis con respecto a equis es uno.
- 29. Fórmulas de derivación 1 a la 5 029 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2 5𝑥4 + 4 3𝑥2 − 5 1 − 0 Fórmula 4 Fórmula 3 Fórmula 5 La fórmula 5 se aplica en dos términos
- 30. Fórmulas de derivación 1 a la 5 030 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2 5𝑥4 + 4 3𝑥2 − 5 1 − 0 Fórmula 4 Fórmula 3 Fórmula 5
- 31. Fórmulas de derivación 1 a la 5 031 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2 5𝑥4 + 4 3𝑥2 − 5 1 − 0 Después de aplicar las fórmula solamente se efectúan operaciones algebraicas, el cero no se escribe. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −10𝑥4 + 12𝑥2 − 5
- 32. Fórmulas de derivación 1 a la 5 032 Ejemplos: Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 Como se ha explicado continuamente, las fórmulas pueden aplicarse directamente y obtener el resultado en un solo paso. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −10𝑥4 + 12𝑥2 − 5
- 33. Fórmulas de derivación 1 a la 5 033 Ejemplos: Derivar 𝑠 = −4𝑡4 + 6𝑡3 + 6𝑡2 − 2𝑡 + 7 Obtener la derivada directamente, sin pasos intermedios. 𝑑𝑠 𝑑𝑡 =?
- 34. Fórmulas de derivación 1 a la 5 034 Ejemplos: Derivar 𝑠 = −4𝑡4 + 6𝑡3 + 6𝑡2 − 2𝑡 + 7 Obtener la derivada directamente, sin pasos intermedios. 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = −16𝑡3 + 18𝑡2 + 12𝑡 − 2