Derivative formulae explanation Explicación de fórmula de derivación

1. Derivative Formulae
G. Edgar Mata Ortiz
2

2. Contenido
02
Derivada
Introducción Fórmula 5
Ejemplos
Fórmula 6
Ejemplos-2
Fórmulas
Dos + Dos
Fórmula 5
Ejemplos-2
Fórmula 6
Ejemplos
Resumen
Ejemplos

3. Existen fórmulas de derivación para expresiones
sencillas como las que se estudiaron en la
presentación 1, que se encuentra en el enlace:
Cuando se encuentran expresiones un poco más
complejas, es necesario recurrir al resto de las
fórmulas de derivación.
Introducción
3
http://licmata-math.blogspot.com/2019/06/first-five-derivative-formulae.html

4. Las fórmulas de derivación 5 y 6
04
En esta presentación se explican
estás dos fórmulas y se
desarrollan algunos ejemplos para
clarificar la forma en que se
aplican.
La numeración es arbitraria y sólo
corresponde a la ordenación
empleada en el formulario que se
encuentra en el enlace siguiente:
https://licmata-formulae.blogspot.com/2019/06/basic-mathematics-formulae.html

5. Las fórmulas de derivación 5 y 6
05

6. Esta fórmula se introduce en la presentación 1, que se
encuentra en el enlace:
Ahora se trabajará esta fórmula bajo condiciones
diferentes para que observemos su versatilidad.
Fórmula de derivación número 5
6
http://licmata-math.blogspot.com/2019/06/first-five-derivative-formulae.html

7. Fórmula de derivación número 5
07
La fórmula número 5 se lee:
La derivada de 𝒙 elevada a la potencia
𝒏 es igual a:
𝒏 por 𝒙 elevada a la potencia 𝒏 − 𝟏
Se emplean colores para identificar la
variable y el exponente

8. Quinta fórmula de derivación
08
Ejemplos:
1. y = 𝑥4 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥3
2. s = 𝑡2
∴
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 2𝑡
3. v = 𝑠3
∴
𝑑𝑣
𝑑𝑠
= 3𝑠2
4. y = 𝑏4
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑏
= 4𝑏3
5. 𝑎 = 𝑤3
∴
𝑑𝑎
𝑑𝑤
= 3𝑤2
6. 𝑔 = 𝑦5 ∴
𝑑𝑔
𝑑𝑦
= 5𝑦4
Sólo con la finalidad
de recordar esta
fórmula se presentan
los mismos ejemplos
de la presentación 1
que puede
encontrarse en el
enlace señalado en
la diapositiva
número 3.

9. En las siguientes diapositivas se aplican directamente las
cinco fórmulas citadas.
En caso de dudas acerca del procedimiento para emplear estas
cinco fórmulas, puede revisarse la presentación uno, que se
encuentra en el enlace:
9
Fórmulas de derivación uno a la cinco.
http://licmata-math.blogspot.com/2019/06/first-five-derivative-formulae.html

10. Fórmulas de derivación 1 a la 5
010
Ejemplos parte 1:
Derivar
𝑦 = 7𝑥4
+ 2𝑥2
− 8𝑥−2
− 9𝑥 − 10
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 28𝑥3
+ 4𝑥 + 16𝑥−3
− 9
Observa qué sucede cuando un
exponente es negativo

11. Fórmulas de derivación 1 a la 5
011
Ejemplos parte 1:
Derivar
𝑦 = −5𝑥2
+ 3𝑥1.5
+ 5𝑥−1
+ 2𝑥 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −10𝑥 + 4.5𝑥0.5
− 5𝑥−2
+ 2
En este ejemplo se mezclan exponentes
negativos y decimales

12. En las siguientes diapositivas se presentan ejemplos en los
que es necesario, antes de aplicar las fórmulas de
derivación, efectuar algún procesamiento algebraico para
que la expresión se ajuste a las condiciones de las
fórmulas estudiadas hasta ahora.
12
Fórmulas de derivación uno a la cinco.

13. Fórmulas de derivación 1 a la 5
013
Ejemplos parte 2:
Derivar
Como podemos observar, la
expresión que se va a derivar no
tiene la “forma” indicada por las
cinco fórmulas que conocemos.
𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 3

14. Fórmulas de derivación 1 a la 5
014
Ejemplos parte 2:
Derivar
Antes de derivar, debemos
desarrollar el binomio al cubo
𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 3

15. Fórmulas de derivación 1 a la 5
015
Ejemplos parte 2:
Derivar
𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 3
Desarrollar el binomio al
cubo.
𝑦 = 8𝑥6
− 36𝑥5
+ 54𝑥4
− 27𝑥3

16. Fórmulas de derivación 1 a la 5
016
Derivar
𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 3
Desarrollar el binomio al
cubo.
𝑦 = 8𝑥6
− 36𝑥5
+ 54𝑥4
− 27𝑥3
Una vez desarrollado el binomio, aplicamos
las fórmulas como en los ejemplos anteriores.

17. Fórmulas de derivación 1 a la 5
017
Derivar
𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 48𝑥5
− 180𝑥4
+ 216𝑥3
− 81𝑥2
Desarrollar el binomio al cubo.
𝑦 = 8𝑥6
− 36𝑥5
+ 54𝑥4
− 27𝑥3
Derivar.

18. Fórmulas de derivación 1 a la 5
018
Derivar
𝑦 = 3𝑥 − 1 4
Desarrollar el binomio a la
cuarta potencia. Se recomienda
el uso del triángulo de Pascal o
el binomio de Newton.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

19. Fórmulas de derivación 1 a la 5
019
Derivar
𝑦 = 3𝑥 − 1 4
Desarrollar el binomio.
𝑦 = 81𝑥4
− 108𝑥3
+ 54𝑥2
− 12𝑥 + 1 Derivar.

20. Fórmulas de derivación 1 a la 5
020
Derivar
𝑦 = 3𝑥 − 1 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 324𝑥3
− 324𝑥2
+ 108𝑥 − 12
Desarrollar el binomio.
𝑦 = 81𝑥4
− 108𝑥3
+ 54𝑥2
− 12𝑥 + 1 Derivar.

21. Los procedimientos algebraicos necesarios para derivar
son muy variados, en las siguientes diapositivas
mostraremos algunos ejemplos en los que se aplican
propiedades de los exponentes y radicales.
Después de derivar es necesario aplicar técnicas
algebraicas para expresar el resultado en forma más
comprensible.
21
Fórmulas de derivación uno a la cinco.

22. Fórmulas de derivación 1 a la 5
022
Derivar
𝑦 = 2
𝑥 − 3
𝑥

23. Fórmulas de derivación 1 a la 5
023
Derivar
Expresar como exponentes fraccionarios.
En caso de duda, consulta el formulario que se
encuentra en el enlace siguiente:
𝑦 = 2
𝑥 − 3
𝑥
https://licmata-formulae.blogspot.com/2019/06/basic-mathematics-formulae.html

24. Fórmulas de derivación 1 a la 5
024
Derivar
Expresar como exponentes fraccionarios
𝑦 = 𝑥
1
2 − 𝑥
1
3
𝑦 = 2
𝑥 − 3
𝑥
( ) /
m
n m m nn
a a a= =

25. Fórmulas de derivación 1 a la 5
025
Derivar
𝑦 = 2
𝑥 − 3
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥−
1
2 −
1
3
𝑥−
2
3
Expresar como exponentes fraccionarios
𝑦 = 𝑥
1
2 − 𝑥
1
3 Derivar.

26. Fórmulas de derivación 1 a la 5
026
Derivar
𝑦 = 2
𝑥 − 3
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥−
1
2 −
1
3
𝑥−
2
3
Expresar como exponentes fraccionarios
𝑦 = 𝑥
1
2 − 𝑥
1
3 Derivar.
Simplificar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1𝑥−
1
2
2
−
1𝑥−
2
3
3

27. Fórmulas de derivación 1 a la 5
027
Derivar
𝑦 = 2
𝑥 − 3
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥−
1
2 −
1
3
𝑥−
2
3
𝑦 = 𝑥
1
2 − 𝑥
1
3
Simplificar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1𝑥−
1
2
2
−
1𝑥−
2
3
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2𝑥+
1
2
−
1
3𝑥+
2
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
22
𝑥
−
1
3
3
𝑥2

28. Fórmulas de derivación 1 a la 5
028
Derivar
𝑦 =
3
𝑥2 +
5
𝑥3
Expresar como exponentes fraccionarios
( ) /
m
n m m nn
a a a= =

29. Fórmulas de derivación 1 a la 5
029
Derivar
𝑦 = 𝑥
2
3 + 𝑥
3
5
𝑦 =
3
𝑥2 +
5
𝑥3
( ) /
m
n m m nn
a a a= =

30. Fórmulas de derivación 1 a la 5
030
Derivar
𝑦 = 𝑥
2
3 + 𝑥
3
5
𝑦 =
3
𝑥2 +
5
𝑥3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
3
𝑥−
1
3 +
3
5
𝑥−
2
5

31. Fórmulas de derivación 1 a la 5
031
Derivar
𝑦 =
3
𝑥2 +
5
𝑥3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
3
𝑥−
1
3 +
3
5
𝑥−
2
5
𝑦 = 𝑥
2
3 + 𝑥
3
5
Simplificar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥−
1
3
3
+
3𝑥−
2
5
5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
3𝑥+
1
3
+
3
5𝑥+
2
5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
33
𝑥
+
3
5
5
𝑥2

32. Aunque el álgebra puede ser útil para “ajustar” algunas
expresiones algebraicas a las fórmulas que conocemos, no
siempre es sencillo, y en algunos casos no es posible.
En estos casos se utilizan otras fórmulas que estudiaremos
a continuación.
32
Fórmulas de derivación uno a la cinco.

33. Fórmula de derivación número 6
033
La fórmula número 6 se lee:
La derivada de 𝒗 elevada a la potencia
𝒏 es igual a:
𝒏 por 𝒗 elevada a la potencia 𝒏 − 𝟏
Por la derivada de 𝒗
Se emplean colores para identificar la
variable y el exponente

34. Fórmula de derivación número 6
034
Derivar
Este ejemplo fue resuelto realizando
transformaciones algebraicas para que
se ajustara a las fórmulas 1 a la 5.
Ahora vamos a aplicar, directamente,
la fórmula 6.
𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 3

35. Fórmula de derivación número 6
035
Derivar
𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 2𝑥2
− 3𝑥 2
4𝑥 − 3
En ocasiones se simplifica o reacomoda este resultado, sin embargo,
es poco lo que puede hacerse, por lo tanto, se deja así.

36. Fórmula de derivación número 6
036
Derivar
Este ejemplo también fue resuelto
realizando transformaciones
algebraicas para que se ajustara a las
fórmulas 1 a la 5. Ahora vamos a
aplicar, directamente, la fórmula 6.
𝑦 = 3𝑥 − 1 4

37. Fórmula de derivación número 6
037
Derivar
𝑦 = 3𝑥 − 1 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4 3𝑥 − 1 3
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 12 3𝑥 − 1 3 En este ejemplo sí se
realizó una sencilla
simplificación.

38. Fórmula de derivación número 6
038
Derivar
Especialmente cuando se presentan
exponentes grandes, es más sencillo
aplicar la fórmula 6, en lugar de
desarrollar el binomio.
𝑦 = 5𝑥2
− 4 10

39. Fórmula de derivación número 6
039
Derivar
𝑦 = 5𝑥2
− 4 10
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10 5𝑥2
− 4 9
10𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 100𝑥 5𝑥2
− 4 9 En este ejemplo sí se
realizó una sencilla
simplificación.

40. Fórmula de derivación número 6
040
Derivar
Especialmente cuando se presentan
exponentes grandes, es más sencillo
aplicar la fórmula 6, en lugar de
desarrollar el polinomio.
𝑦 = 2𝑥4
+ 3𝑥3
− 5𝑥 + 2 15

41. Fórmula de derivación número 6
041
Derivar
𝑦 = 2𝑥4
+ 3𝑥3
− 5𝑥 + 2 15
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 15 2𝑥4
+ 3𝑥3
− 5𝑥 + 2 14
8𝑥3
+ 9𝑥2
− 5

42. Los procedimientos algebraicos necesarios para derivar
son muy variados, en las siguientes diapositivas
mostraremos algunos ejemplos en los que se aplican
propiedades de los exponentes y radicales.
Después de derivar es necesario aplicar técnicas
algebraicas para expresar el resultado en forma más
comprensible.
42
Fórmulas de derivación uno a la cinco.

43. Fórmula de derivación número 6
043
Derivar
En este caso, es necesario aplicar
propiedades de exponentes y radicales
para expresar la raíz como exponente
fraccionario.
𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥 + 3

44. Fórmula de derivación número 6
044
Derivar
𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥 + 3
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
4𝑥3 − 5𝑥 + 3 −
1
2 12𝑥2 − 5

45. Fórmula de derivación número 6
045
Derivar
𝑦 = 4𝑥3
− 5𝑥 + 3
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
4𝑥3
− 5𝑥 + 3 −
1
2 12𝑥2
− 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 4𝑥3
− 5𝑥 + 3 −
1
2 12𝑥2
− 5
2

46. Fórmula de derivación número 6
046
Derivar
𝑦 = 4𝑥3
− 5𝑥 + 3
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 4𝑥3
− 5𝑥 + 3 −
1
2 12𝑥2
− 5
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 12𝑥2
− 5
2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 +
1
2

47. Fórmula de derivación número 6
047
Derivar
𝑦 = 4𝑥3
− 5𝑥 + 3
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 12𝑥2
− 5
2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 +
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 12𝑥2
− 5
2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
12𝑥2
− 5
2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3

48. Fórmula de derivación número 6
048
Derivar
En este caso, es necesario aplicar
propiedades de exponentes y radicales
para expresar la raíz como exponente
fraccionario.
𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥

49. Fórmula de derivación número 6
049
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥
1
2
𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥

50. Fórmula de derivación número 6
050
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥
1
2
𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
−2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥 −
1
2(−10𝑥4
+ 12𝑥2
+ 3)

51. Fórmula de derivación número 6
051
Derivar
𝑦 = −2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
−2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥 −
1
2(−10𝑥4
+ 12𝑥2
+ 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 −2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥 −
1
2(−10𝑥4
+ 12𝑥2
+ 3)
2

52. Fórmula de derivación número 6
052
Derivar
𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
−2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 −
1
2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 −2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥 −
1
2(−10𝑥4
+ 12𝑥2
+ 3)
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 (−10𝑥4
+ 12𝑥2
+ 3)
2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 +
1
2

53. Fórmula de derivación número 6
053
Derivar
𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
−2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 −
1
2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 −2𝑥5
+ 4𝑥3
+ 3𝑥 −
1
2(−10𝑥4
+ 12𝑥2
+ 3)
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 (−10𝑥4
+ 12𝑥2
+ 3)
2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 +
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3
2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥

54. Gracias por su
atención
54