Este documento presenta información sobre el concepto de derivada. Define la derivada como la razón de cambio de una función cuando cambia la variable independiente. Explica diferentes reglas para calcular derivadas, incluyendo derivadas de funciones, productos, cocientes y potencias. También presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas reglas al calcular derivadas.

1. TEMA: DERIVADATEMA: DERIVADA
SESION 13
Docente: LIZ ROBLADILLO BRAVO
liz-mar1927@hotmail.com
ESCUELA DE NEGOCIOSESCUELA DE NEGOCIOS
INTERNACIONALESINTERNACIONALES

2. CAPACIDADES:CAPACIDADES:
Interpreta la definición de derivada.
Argumente procedimientos de
cálculo diferencial en el desarrollo y
evaluación de problemas de
aplicación económica.

3. 3
La Pendiente de una
Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de
una curva a la pendiente de la
recta que mas se asemeja
(ajusta) a la curva.
¿y cuál es esta recta?

4. 4
Competencias:
 Definir la derivada de una función.
 Interpretar geométricamente la derivada
de una función.
 Determinar los puntos críticos de una
función.
 Describir el concepto de punto de
inflexión de una gráfica.
 Analizar la concavidad de una función a
través de su segunda derivada.
 Resolver problemas de máximos y
mínimos de una función en una variable.

5. 5
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

6. 6
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

7. 7
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

8. 8
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

9. 9
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

10. 10
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

11. Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de
dicha función cuando cambia x, es decir, cuánto
cambian los valores de y, cuando x cambia una cierta
cantidad.

12. Ejemplos:
xxf 3)( =
3=
dx
df
3
)(
3
x
xf =
5
12
)(
+
=
x
xf
2
6)( xxf −=
2
x
dx
df
=
x
dx
df
2−=
5
2
=
dx
df

13. EjemplosEjemplos
675)( 2
−+= xxxf
Sean las funciones:
710 += x
dx
df
1651034)( 256
++−−= xxxxxf
5201524 45
+−−= xxx
dx
df

14. Ejercicios propuestosEjercicios propuestos
42
1
4
3
8)( −
+−= xxxf
Deriva las siguientes funciones:
52
1
)4(
4
3
2
1
)8( −
−
−





+





−= xx
dx
df
xxxf 103)( 4
+−= −
xxdx
df 512
5
+=
5
34
xxdx
df
−−=

15. Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
dx
dh
g)x(h
dx
dg
dx
df
+=
)413)(58()( 22
+−= xxxxf
Claramente podemos identificar g(x)=8x2
-5x y h(x)=13x2
+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)26)(58()413)(516( 22
xxxxx
dx
df
−++−=
2323
130208206564208 xxxxx −+−−+=
2064195416 23
−+−= xxx

16. )2)(3()( 2132
xxxxxf +−−= −−
)4)(3()2)(36( 232214
xxxxxxxx
dx
df
+−++−+= −−−−
253253
412363126 −−−−
−−+++−+−= xxxxxx
34224 523
−−+= −−
xxx
Ejercicios propuestos

17. Derivada de un producto de varios
factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando
debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla.
)()()()( xhxgxexf =
dx
dh
xgxexh
dx
dg
xexhxg
dx
de
dx
df
)()()()()()( ++=
su derivada será:

18. Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
)5)(2)(3()( xxxxf −−−=
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( −−−+−−−+−−−= xxxxxx
dx
df
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx +−−+−+−+−+−=
)236()32)(5( 2
xxxxxx −++−++−+−−=
)56()25)(5( 2
xxxx −+−++−−=
22
56251025 xxxxx −+−−++−=
31203 2
−+−= xx

19. Derivada de cocientes
Si la función a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y
h(x), la regla para encontrar la derivada de esta función está
dada por:
)x(h
)x(g
)x(f =
[ ]2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df
−
=

20. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
23
54
)(
+
−
=
x
x
xf
tenemos que
( )2
23
)3)(54()23)(4(
+
−−+
=
x
xx
dx
df
[ ]2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df
−
=

21. Ejercicio propuesto
Sea
1
1168
)(
2
−
+−
=
x
xx
xf
2
2
)1(
)1)(1168()1)(616(
−
+−−−−
=
x
xxxx
dx
df
2
22
)1(
1168161616
−
−+−+−−
=
x
xxxxx
2
2
)1(
10168
−
−−
=
x
xx

22. Derivada de una potencia
Si la función a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a
una potencia n, la regla para encontrar la derivada de esta
función está dada por:
[ ]n
xhxf )()( =
[ ] 





=
−
dx
dh
xhn
dx
df n 1
)(

23. Ejemplo
2
)45()( −= xxf
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la
regla de la cadena
)5)(45(2 −= x
dx
df
[ ] 





=
−
dx
dh
xhn
dx
df n 1
)(
)45(10 −= x
4050 −= x

24. Ejemplo
Sea
367)( 2
+−= xxxf
( ) ( )614367
2
1 2
1
2
−+−=
−
xxx
dx
df
( )2
1
2
367
37
+−
−
=
xx
x
367
37
2
+−
−
=
xx
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
( )2
1
2
367)( +−= xxxf
y
367)( 2
+−= xxxf
( )2
1
2
367)( +−= xxxf

25. Ejemplo
Sea
23
2
)6(
63
)(
xx
x
xf
+
+
=
[ ]
[ ] 







+
+++−+






+
+
=
−
223
232232
1
23
2
)6(
)63)(6(2)63()6)(6(
)6(
63
2
1
xx
xxxxxxx
xx
x
dx
df
[ ]






+
+−++






+
+
= 43
22332
1
2
23
)6(
)63()6(6)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx
[ ]






+
++−++
+
+
= 43
24243
2
23
)6(
)36369(366)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx

26. Ejemplo






+
−−−++
+
+
= 43
24243
2
3
)6(
)36369366)(6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx






+
−−+
+
= 43
423
2
)6(
)363()6(
63
1
2
1
xx
xxx
x






+
−−
+
= 23
4
2
)6(
363
63
1
2
1
xx
x
x
63)6(
363
2
1
223
4
++
+
−=
xxx
x

27. GRACIAS: