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1. Curso de Cálculo Diferencial
Tema:
Cálculo Diferencial

2. Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de dicha
función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores
de y, cuando x cambia una cierta cantidad.

3. Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas,
con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.
x
x
f 3
)
( 
3

dx
df
3
)
(
3
x
x
f 
5
1
2
)
(


x
x
f
2
6
)
( x
x
f 

2
x
dx
df

x
dx
df
2


5
2

dx
df

4. Sea la función:
La derivada de esta función es:
Regla para
encontrar derivadas

dx
df

)
x
(
f c x n
1

n
 

dx
df 1

n
cnx

5. Sea la función:
La derivada de esta función es:
Derivadas especiales

dx
df

)
x
(
f c x 1
1
1 
 

dx
df 0
cx
c
dx
df


6. Sea la función:
Derivadas especiales
0

dx
df
c
x
f 
)
(
La derivada de esta función es:

7. Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas

dx
df

)
x
(
f 5x 3
1
3
 

dx
df 2
15x

8. Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas

dx
df

)
x
(
f 3
 x 4
1
4 
 

dx
df 3
12x


9. Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas

dx
df

)
x
(
f 3
2
 x
5
1
1
5
1

 

dx
df 5
4
15
2 
 x

10. Derivada de una suma y
diferencia de funciones
)
(
)
(
)
( x
h
x
g
x
f 

Sea la función:
dx
dh
dx
dg
dx
df


La derivada de la suma o diferencia es:

11. Ejemplos
6
7
5
)
( 2


 x
x
x
f
Sean las funciones:
7
10 
 x
dx
df
16
5
10
3
4
)
( 2
5
6




 x
x
x
x
x
f
5
20
15
24 4
5



 x
x
x
dx
df

12. Ejercicios propuestos
4
2
1
4
3
8
)
( 


 x
x
x
f
Deriva las siguientes funciones:
5
2
1
)
4
(
4
3
2
1
)
8
( 
















 x
x
dx
df
x
x
x
f 10
3
)
( 4


 
x
x
dx
df 5
12
5


5
3
4
x
x
dx
df




13. Derivada de un producto
de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x)
y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)
x
(
h
)
x
(
g
)
x
(
f 
dx
dh
x
g
x
h
dx
dg
dx
df
)
(
)
( 


14. Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
dx
dh
g
)
x
(
h
dx
dg
dx
df


)
4
13
)(
5
8
(
)
( 2
2


 x
x
x
x
f
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)
26
)(
5
8
(
)
4
13
)(
5
16
( 2
2
x
x
x
x
x
dx
df





2
3
2
3
130
208
20
65
64
208 x
x
x
x
x 





20
64
195
416 2
3



 x
x
x

15. Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
)
3
)(
4
(
)
( 2
x
x
x
f 


)
2
)(
4
(
)
3
)(
1
( 2
x
x
x
dx
df





2
2
2
8
3 x
x
x 




3
8
3 2



 x
x

16. Deriva este otro producto de funciones:
)
2
)(
3
(
)
( 2
1
3
2
x
x
x
x
x
f 


 

)
4
)(
3
(
)
2
)(
3
6
( 2
3
2
2
1
4
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
df






 



2
5
3
2
5
3
4
12
3
6
3
12
6 











 x
x
x
x
x
x
3
4
2
24 5
2
3



 

x
x
x
Ejercicios propuestos

17. Derivada de un producto
de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando
debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
)
(
)
(
)
(
)
( x
h
x
g
x
e
x
f 
dx
dh
x
g
x
e
x
h
dx
dg
x
e
x
h
x
g
dx
de
dx
df
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 


su derivada será:

18. Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
)
5
)(
2
)(
3
(
)
( x
x
x
x
f 



)
1
)(
2
)(
3
(
)
5
)(
1
)(
3
(
)
5
)(
2
)(
1
( 










 x
x
x
x
x
x
dx
df
)
2
)(
3
(
)
5
)(
3
(
)
5
)(
2
( x
x
x
x
x
x 











)
2
3
6
(
)
3
2
)(
5
( 2
x
x
x
x
x
x 










)
5
6
(
)
2
5
)(
5
( 2
x
x
x
x 







2
2
5
6
2
5
10
25 x
x
x
x
x 







31
20
3 2



 x
x

19. Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y
h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)
x
(
h
)
x
(
g
)
x
(
f 
 2
)
(
)
(
x
h
dx
dh
g
x
h
dx
dg
dx
df



20. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
2
3
5
4
)
(



x
x
x
f
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando
la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
 2
2
3
)
3
)(
5
4
(
)
2
3
)(
4
(





x
x
x
dx
df
 2
)
(
)
(
x
h
dx
dh
g
x
h
dx
dg
dx
df



21. Ejemplo
 2
2
3
)
15
12
(
8
12





x
x
x
dx
df
 2
2
3
7



x
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a
la mínima expresión, como fue en este caso.

22. Ejercicio propuesto
Sea
1
11
6
8
)
(
2




x
x
x
x
f
2
2
)
1
(
)
1
)(
11
6
8
(
)
1
)(
6
16
(







x
x
x
x
x
dx
df
2
2
2
)
1
(
11
6
8
1
6
16
16








x
x
x
x
x
x
2
2
)
1
(
10
16
8




x
x
x

23. Ejercicio propuesto
Sea
1
1
)
( 3
3



x
x
x
f
2
3
2
3
3
2
)
1
(
)
3
)(
1
(
)
1
(
3





x
x
x
x
x
dx
df
2
3
2
5
2
5
)
1
(
3
3
3
3





x
x
x
x
x
2
3
2
)
1
(
6


x
x

24. Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una
potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
 n
x
h
x
f )
(
)
( 
  







dx
dh
x
h
n
dx
df n 1
)
(

25. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
2
)
4
5
(
)
( 
 x
x
f
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la
cadena
tenemos que
)
5
)(
4
5
(
2 
 x
dx
df
  







dx
dh
x
h
n
dx
df n 1
)
(
)
4
5
(
10 
 x
40
50 
 x

26. Ejemplo
Sea
3
6
7
)
( 2


 x
x
x
f
   
6
14
3
6
7
2
1 2
1
2





x
x
x
dx
df
 2
1
2
3
6
7
3
7




x
x
x
3
6
7
3
7
2




x
x
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
 2
1
2
3
6
7
)
( 

 x
x
x
f
y
3
6
7
)
( 2


 x
x
x
f
 2
1
2
3
6
7
)
( 

 x
x
x
f

27. Ejemplo
Sea
2
3
2
)
6
(
6
3
)
(
x
x
x
x
f



 
  

























2
2
3
2
3
2
2
3
2
1
2
3
2
)
6
(
)
6
3
)(
6
(
2
)
6
3
(
)
6
)(
6
(
)
6
(
6
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
df
 





















 4
3
2
2
3
3
2
1
2
2
3
)
6
(
)
6
3
(
)
6
(
6
)
6
(
6
3
)
6
(
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 














 4
3
2
4
2
4
3
2
2
3
)
6
(
)
36
36
9
(
36
6
)
6
(
6
3
)
6
(
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

28. Ejemplo














 4
3
2
4
2
4
3
2
3
)
6
(
)
36
36
9
36
6
)(
6
(
6
3
)
6
(
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x











 4
3
4
2
3
2
)
6
(
)
36
3
(
)
6
(
6
3
1
2
1
x
x
x
x
x
x










 2
3
4
2
)
6
(
36
3
6
3
1
2
1
x
x
x
x
6
3
)
6
(
36
3
2
1
2
2
3
4





x
x
x
x