e

1. Ejemplo:
La mitad de un cascaronesférico,no conductor de radio r,tiene
una carga total Q distribuidauniformementeen su superficie
interior.Calcular elcampo eléctrico en el centro de curvatura.
Solución:
De la figura se ve que por simetría 𝐸 𝑦 = 0, (ver el problemaanterior)
entonces se puede escribir:
𝑑𝐸 𝑋 = 𝑑𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃
De la ecuación (1.15), se tiene que:
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟2
𝑑𝐸 𝑥 = 𝑑𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜃
Sabiendo que 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑠 e integrando se obtiene:
𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜀0
∬
𝜎𝑑𝑠
𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜃
Dado que 𝑑𝑠 = 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅ , se tiene:
𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜀0
∬
𝜎𝑑𝑠
𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝜎
4𝜋𝜀0
∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅
𝜋/2
0
2𝜋
0

2. 𝐸 𝑥 =
𝜎
2𝜀0
∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅
𝜋/2
0
Como ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅ =
1
2
𝜋/2
0
, se tiene:
𝐸 𝑥 =
𝜎
4𝜀0
Dado que 𝜎 =
𝑄
2𝜋𝑟2
, sustituyendo se encuentra:
𝐸 𝑥 =
𝑄
8𝜋𝜀0𝑟2