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- 1. Matemática para los Negocios I Intervalos, Inecuaciones Lineales y Cuadráticas
- 2. Logro de la sesión Al finalizar la sesión de aprendizaje los estudiantes estarán en condiciones de resolver problemas de inecuaciones lineales y cuadráticas con autonomía y seguridad.
- 3. Intervalos 𝑎; 𝑏 a < 𝑥 < 𝑏 𝑎; 𝑏 a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑎; 𝑏 a < 𝑥 ≤ 𝑏 𝑎; +∞ a ≤ 𝑥 < +∞
- 4. Ejemplos explicativos Ejercicio 1 Dados los intervalos 𝐀 = 𝟏; 𝟒 y 𝐁 = 𝟐; 𝟕 , determine 𝐀 ∩ 𝐁, 𝐀 ∪ 𝐁 y 𝐀 − 𝐁 Resolución Intersección: 𝐀 ∩ 𝐁 𝑨 ∩ 𝐁 = 𝟐; 𝟒 Unión: 𝐀 ∪ 𝐁 𝑨 ∪ 𝐁 = 𝟏; 𝟕 Diferencia: 𝐀 − 𝐁 𝐀 − 𝐁 = 𝟏; 𝟐
- 5. Inecuación Lineal 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎 , Si 𝒂 > 𝟎 𝒙 < − 𝒃 𝒂 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎 , Si 𝒂 > 𝟎 𝒙 ≤ − 𝒃 𝒂 𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎 , Si 𝒂 > 𝟎 𝒙 ≥ − 𝒃 𝒂 𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎 , Si 𝒂 > 𝟎 𝒙 > − 𝒃 𝒂
- 6. Ejemplos explicativos Ejercicio 2 Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝟐 𝟑𝒙 − 𝟓 − 𝟒 𝟏 − 𝒙 < 𝟕 Resolución Efectuando 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝟒 + 𝟒𝒙 < 𝟕 Reduciendo 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟒 < 𝟕 de donde 𝟏𝟎𝒙 < 𝟐𝟏 Luego 𝒙 < 𝟐𝟏/𝟏𝟎 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐂. 𝐒. = −∞; 𝟐𝟏 𝟏𝟎
- 7. Ejemplos explicativos Ejercicio 3 Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝟐𝒙−𝟑 𝟑 < 𝒙+𝟏 𝟐 ≤ 𝒙 + 𝟔 Resolución Separamos en dos inecuaciones 𝟐𝒙−𝟑 𝟑 < 𝒙+𝟏 𝟐 , de donde, +𝟔 𝟐𝒙−𝟑 𝟑 < 𝒙+𝟏 𝟐 , 𝟒𝒙 − 𝟔 < 𝟑𝒙 + 𝟑, luego 𝒙 < 𝟗 𝒙+𝟏 𝟐 ≤ 𝒙 + 𝟔 , de donde, +𝟐 𝒙+𝟏 𝟐 ≤ 𝒙 + 𝟔 , 𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐, luego −𝟏𝟏 ≤ 𝒙 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐂. 𝐒. = −𝟏𝟏; 𝟗
- 8. Ejemplos explicativos Ejercicio 4 Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝟑𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟓 < 𝟑 𝒙 + 𝟏 𝟐 Resolución Efectuando 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝒙 + 𝟓 < 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 Luego, 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝒙 + 𝟓 < 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟑 de donde −𝟏𝟔𝒙 + 𝟓 < 𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐 < 𝟐𝟐𝒙 de donde 𝟐 𝟐𝟐 < 𝒙 𝟏 𝟏𝟏 < 𝒙 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐂. 𝐒. = 𝟏 𝟏𝟏 ; +∞
- 9. Aplicaciones a la Economía Costo total El costo total hace referencia a todos los tipos de gastos que tiene una empresa, diferenciando entre los costos fijos (costos independientes del nivel de producción) y costos variables (costos que sí dependen del nivel de producción) 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 + 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐟𝐢𝐣𝐨 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = (𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨)(𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝) + (𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐟𝐢𝐣𝐨)
- 10. Ingreso (I) El ingreso es la cantidad de dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 = 𝐩𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨 𝐮𝐧𝐢𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐯𝐞𝐧𝐭𝐚 ∙ 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 Utilidad (U) La utilidad es la diferencia entre el ingreso y costo luego de producir y vender 𝐔𝐭𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 = 𝐈𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨 − 𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨
- 11. Aplicaciones a la economía Según el área de ventas de una empresa de telefonía, el precio de su último dispositivo móvil se deprecia en forma lineal según 𝑝 = 300 − 4𝑡 , donde 𝑝 es el precio del dispositivo en dólares, luego de 𝒕 meses de su lanzamiento. ¿Luego de cuántos meses de su lanzamiento, el precio del dispositivo móvil estuvo entre 200 y 240 dólares? Resolución Condición: 200 < 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 < 240 Luego: 200 < 300 − 4𝑡 < 240 𝟐𝟎𝟎 < 𝟑𝟎𝟎 − 𝟒𝒕 de donde 4𝑡 < 100 luego 𝒕 < 𝟐𝟓 𝟑𝟎𝟎 − 𝟒𝒕 < 𝟐𝟒𝟎 de donde 60 < 4𝑡 luego 𝟏𝟓 < 𝒕 𝟏𝟓 < 𝒕 < 𝟐𝟓 𝒕 ∈ 𝟏𝟓; 𝟐𝟓 Rpta: Entre los 15 y 25 meses de su lanzamiento, el precio del dispositivo estuvo entre 200 y 240 dólares
- 12. Aplicaciones a la economía AUTOPART S.A. es una empresa que desarrolla varios tipos de repuestos para autos. Actualmente, la empresa importa un tipo especial de repuesto a 20 dólares cada unidad, pero se está evaluando su fabricación. Si la empresa fabrica este tipo de repuesto incrementará sus costos fijos en 80 000 dólares al mes, además, su costo de fabricación sería 12 dólares por cada repuesto. ¿ Cuántos repuestos debe comercializar la empresa, tal que se justifique la fabricación en lugar de la importación? Resolución q ∶ Cantidad de repuestos que la empresa debe comercializar cada mes Costo en la Importación: 𝐶1 = 20q Costo en la Fabricación: 𝐶2 = 12q + 80 000 Para que la empresa decida fabricar en lugar de importar 𝐶2 < 𝐶1 12q + 80 000 < 20q de donde 80 000 < 8q luego 10 000 < q Rpta: Para que se tome la decisión de fabricar en lugar de importar, la empresa debe comercializar cada mes , más de 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 repuestos de este tipo
- 13. Inecuación Cuadrática 𝐚𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes numéricas reales y 𝑎 ≠ 0
- 14. Resolución de una inecuación cuadrática Dada la inecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 , 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 , 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎 La resolución se realiza considerando lo siguiente: • Se ordena de forma que el coeficiente del término cuadrático sea positiva • La expresión ordenada debe quedar como los casos que se presentan • Se resuelve en forma práctica por el método de puntos críticos
- 15. Observación: Si 𝒂 < 𝒃 𝒙 − 𝒂 𝒙 − 𝒃 < 𝟎 𝐂. 𝐒. = 𝒂; 𝒃 𝒙 − 𝒂 𝒙 − 𝒃 ≤ 𝟎 𝐂. 𝐒. = 𝒂; 𝒃 𝒙 − 𝒂 𝒙 − 𝒃 > 𝟎 𝐂. 𝐒. = −∞; 𝒂 ∪ 𝒃; +∞ 𝒙 − 𝒂 𝒙 − 𝒃 ≥ 𝟎 𝐂. 𝐒. = −∞; 𝒂 ∪ 𝒃; +∞
- 16. Ejemplos explicativos Ejercicio 5 Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝒙 − 𝟑 𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟒 𝒙 − 𝟒 Resolución Efectuando 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 − 𝟏 ≥ 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔 Ordenando 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 ≥ 𝟎 , 𝒙 − 𝟔 𝒙 − 𝟒 ≥ 𝟎 , 𝒙 = 𝟔 𝒙 = 𝟒 El coeficiente del término cuadrático es positivo y además la expresión es mayor o igual a cero (se toman los extremos del gráfico) 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐂. 𝐒. = −∞; 𝟒 ∪ 𝟔; +∞
- 17. Ejemplos explicativos Ejercicio 6 Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 − 𝟑 𝒙 + 𝟐 < 𝟎 Resolución Efectuando 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐 𝟐𝒙 𝟏 + 𝟏𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟔 < 𝟎 Luego, 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 − 𝟑𝒙 − 𝟔 < 𝟎 de donde 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟓 < 𝟎 𝒙 = − −𝟕 ± −𝟕 𝟐−𝟒 𝟒 −𝟓 𝟐 𝟒 , de donde de donde 𝒙𝟏,𝟐 = 𝟕± 𝟏𝟐𝟗 𝟖 𝑹𝒑𝒕𝒂: 𝑪. 𝑺. = 𝟕− 𝟏𝟐𝟗 𝟖 ; 𝟕+ 𝟏𝟐𝟗 𝟖
- 18. Ejemplos explicativos Ejercicio 7 Resolver la inecuación e indicar su conjunto solución 𝟐𝒙 − 𝟓 < 𝟗 < 𝒙𝟐 Resolución 𝟐𝒙 − 𝟓 < 𝟗 de donde 𝒙 < 𝟕 𝟗 < 𝒙𝟐 de donde 𝟎 < 𝒙𝟐 − 𝟗 𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐂. 𝐒. = −∞; −𝟑 ∪ 𝟑; 𝟕
- 19. Aplicaciones a la economía AGROTEC SAC vende 𝑞 toneladas de alimento balanceado al precio de 𝑝 dólares cada tonelada, donde 𝑝 = 800 − 𝑞. Además, los costos diarios en dólares de producir 𝑞 toneladas se determinan mediante 𝐶 = 200𝑞 + 50 000 Determine la cantidad de toneladas que se debe producir y vender para lograr una utilidad diaria de al menos 30 000 dólares Resolución Costo total: C = 200q + 50 000 Ingreso: I = p. q de donde I = 800 − 𝑞 . q I = 800q − 𝑞2 Utilidad: U = I − C U = 800q − 𝑞2 − 200q + 50 000 𝑼 = −𝒒𝟐 + 𝟔𝟎𝟎𝒒 − 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
- 20. Aplicaciones a la economía Condición: 𝑈 = −𝑞2 + 600𝑞 − 50000 ≥ 30 000 𝟎 ≥ 𝒒𝟐 − 𝟔𝟎𝟎𝒒 + 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 (coeficiente del término cuadrático positivo) 0 ≥ 𝑞 − 200 𝑞 − 400 𝑞 = 200 ó 𝑞 = 400 𝑞 ∈ 200; 400 Rpta: La empresa debe producir y vender entre 200 y 400 toneladas de alimento inclusive
- 21. Conclusiones: • En la inecuación lineal 𝐚𝒙 + 𝐛 < 𝟎, si "𝐚“ es positiva, entonces 𝒙 < −𝒃/𝒂 • Si A es al menos B, entonces 𝑨 ≥ 𝑩 • En la inecuación cuadrática 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 la regla práctica se aplica cuando "𝐚“ es positiva
- 22. Tarea de la semana 2 Desarrollar material adjunto