AEP19. Presentación 3: Variables aleatorias

Francisco Sandoval
fasandoval@utpl.edu.ec
https://sites.google.com/view/fasandovaln
2019
Análisis Estadístico y
Probabilístico

AGENDA
CAP. 3: Variables aleatorias (v.a.)

Agenda
CAP. 3: Variables aleatorias (v.a.)
• v.a. real.
• Función distribución de probabilidad (FDP) de una
v.a. real.
• Clasificación de las v.a.
• Función densidad de probabilidad (fdp) de una
v.a. real
• Vectores aleatorios
• FDP y fdp de un vector aleatorio
• FDP y fdp condicionales

Objetivos
• Formalizar la representación numérica de los
resultados de una experiencia a través de la
definición de variable aleatoria (v.a.)
• Definir la función distribución de probabilidad
(FDP) y función densidad de probabilidad
(fdp) asociadas a una v.a.
• Generalizar las anteriores nociones para
vectores aleatorios.
• Introducir las funciones distribución y
densidad de probabilidad condicionales.

Variable Aleatoria Real
Definición 1: Variable Aleatoria (v.a.)
Una variable aleatoria 𝑥 es una función que asocia a cada punto
de muestra 𝜔 ∈ Ω un número real.
𝑥: Ω ↦ ℝ
𝜔 ↦ 𝑥(𝜔)
𝜔
Ω
ℝ𝑥

Ejemplo 1: v.a. real
CENTRAL A CENTRAL B
200
terminales
telefónicos
𝑛 circuitos
𝑛 = 20
Contar el número 𝑛 𝑝 de llamadas simultáneamente en progreso entre A y B
en un dado instante, definiendo como resultado de la experiencia el propio
valor de 𝑛 𝑝.
Ω = 0, 1, 2, … , 20
𝑥 𝜔 = 𝜔 = 𝑛 𝑝 El espacio de muestras ya es un conjunto de # reales.

Si el libro es escrito en español y no se hace distinción entre
mayúsculas y minúsculas, el espacio de muestras resultante sería:
Ω = 𝑎, 𝑏, … , 𝑧
Como Ω no es un subconjunto de ℝ no existe ninguna representación numérica
obvia que pueda ser adoptada para definir la v.a. 𝑥(𝜔).
Considere una experiencia consistente en abrir cualquier libro con
más de 50 páginas y observar la primera letra impresa en la
página número 50. Se admite que esta letra sea por definición el
resultado de la experiencia.

Ejemplo 2: v.a. real (Sol)
1. Una opción posible sería atribuir a cada punto de muestra (letra del
alfabeto) el número correspondiente al orden de la letra .
2. Otra alternativa sería asociar el número 0 a los resultados que son vocales y
el número 1 a los resultados que son consonantes.
𝑥 𝜔 = 0 ; se ω es vocal
𝑥 𝜔 = 1 ; se ω es consonant𝑒
ℝ
Ω = 𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑒, … , 𝑖, 𝑗, … , 𝑜, … , 𝑢, 𝑦, 𝑧
0 1

Variable Aleatoria Real
Definición 2: Variable Aleatoria Real
Una variable aleatoria 𝑥 es una función real, definida en Ω, tomando valores en
el conjunto ℝ de los números reales, y satisfaciendo las siguientes condiciones
i. para cualquier número real 𝑋 ∈ ℝ, el conjunto
𝐴 𝑋 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑥(𝜔) ≤ 𝑋
es un evento;
ii. 𝑃 𝜔 ∈ Ω: 𝑥 𝜔 = −∞ = 𝑃 𝜔 ∈ Ω: 𝑥 𝜔 = ∞ = 0
𝜔: 𝑥(𝜔)
ℝ
Ω
𝜔
𝑥(𝜔)
𝐼
A través de una v.a. real 𝑥 se asocia
probabilidades a todos los intervalos
de ℝ

Considere la experiencia que consiste en el lanzamiento de un
dado y cuyo resultado es el número de puntos de la cara
observada.
Designando el punto de muestra
asociado a la observación de la
cara 𝑖 = 1, … , 6 por 𝜔𝑖, se tiene
el siguiente espacio de muestra
Ω = 𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4, 𝜔5, 𝜔6
Considere el mapa de Ω en los ℝ
definido por
𝑥 𝜔𝑖 = (𝑖 − 3)2
Ω
𝜔1 𝜔2 𝜔3 𝜔5𝜔4 𝜔6
ℝ0 1 4 9

Para este mapa particular, el subconjunto 𝐴 𝑋, definido por
𝐴 𝑋 = 𝜔 ∈ Ω: x(ω) ≤ 𝑋
es dado por
𝐴 𝑋 =
∅ ; −∞ < 𝑋 < 0
𝜔3 ; 0 ≤ 𝑋 < 1
𝜔2, 𝜔3, 𝜔4
𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4, 𝜔5
Ω
; 1 ≤ 𝑋 < 4
; 4 ≤ 𝑋 < 9
; 9 ≤ 𝑋 < ∞

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA REAL

FDP de una v.a. real
• La FDP de una v.a. 𝑥 asocia a cada valor real 𝑋 una
probabilidad de la v.a. 𝑥 asumir un valor menor o igual
a 𝑋.
• Es usual utilizar la notación
𝐹𝑥(𝑋) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑋)
Definición 3: Función distribución de probabilidad de una variable aleatoria
Real
Una función distribución de probabilidad (FDP) de una v.a. 𝑥 es una función 𝐹𝑥
definida por
𝐹𝑥: ℝ ↦ ℝ
𝑋 ↦ 𝐹𝑥 𝑋 = 𝑃 𝐴 𝑋
donde 𝐴 𝑋 es el evento definido anteriormente en conexión con la definición 2
(v.a. real), dado por
𝐴 𝑋 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑥(𝜔) ≤ 𝑋

Ejemplo 4: FDP
Considere la v.a. definida en el ejemplo 3. En este caso el evento
𝐴 𝑋 fue dado anteriormente.
Entonces, para esta v.a.
𝐹𝑥(𝑋) = 𝑃(𝐴 𝑋) =
𝑃 ∅ ; −∞ < 𝑋 < 0
𝑃 𝜔3 ; 0 ≤ 𝑋 < 1
𝑃( 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4}) ; 1 ≤ 𝑋 < 4
𝑃( 𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4, 𝜔5}) ; 4 ≤ 𝑋 < 9
𝑃(Ω) ; 9 ≤ 𝑋 < ∞
Además, considerando que los puntos de muestra 𝜔𝑖 , 𝑖 =
1, 2, … , 6 son equiprobables:

Ejemplo 4: FDP
𝐹𝑥 𝑋
𝑋
𝐹𝑥(𝑋) =
0 ; −∞ < 𝑋 < 0
1
6
; 0 ≤ 𝑋 < 1
1
2
; 1 ≤ 𝑋 < 4
5
6
; 4 ≤ 𝑋 < 9
1 ; 9 ≤ 𝑋 < ∞

Ejemplo 5: FDP v.a.
Considere una fuente de información que produce dos tipos de
mensajes: el mensaje 𝑀1 con probabilidad de ocurrencia 𝑝 y un
mensaje 𝑀2 con probabilidad de ocurrencia 1 − 𝑝 .
El espacio de muestras y la medida de probabilidad son entonces:
Ω = 𝑀1, 𝑀2
y
𝑃 𝑀1 = 𝑝 ; 𝑃 𝑀2 = 1 − 𝑝
Considere ahora la siguiente v.a.
𝑥(𝜔) =
0; 𝜔 = 𝑀1
1; 𝜔 = 𝑀2

Ejemplo 5: FDP v.a.
En este caso se tiene que
𝐴 𝑋 =
∅; −∞ < 𝑋 < 0
𝑀1 ; 0 ≤ 𝑋 < 1
Ω; 1 ≤ 𝑋 < ∞
La FDP de esta v.a. se escribe
𝐹𝑥 (𝑋) = 𝑃(𝐴 𝑋) =
𝑃 ∅ ; −∞ < 𝑋 < 0
𝑃 𝑀1 ; 0 ≤ 𝑋 < 1
𝑃 Ω ; 1 ≤ 𝑋 < ∞
o sea:
𝐹𝑥 𝑋 =
0; −∞ < 𝑋 < 0
𝑝; 0 ≤ 𝑋 < 1
1; 1 ≤ 𝑋 < ∞
𝐹𝑥 𝑋
𝑋

FDP de una v.a. real
La probabilidad de que una v.a. asuma valores
en cualquier subconjunto de ℝ puede ser
fácilmente determinada a partir de la FDP de la
v.a.Se verifica que
𝑃 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝐹𝑥 𝑏 − 𝐹𝑥(𝑎)
𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹𝑥 (𝑏) − lim
𝜖→0
𝐹𝑥(𝑎 − 𝜖)
𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = lim
𝜖→0
𝐹𝑥 𝑏 − 𝜖 − 𝐹𝑥(𝑎)
𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 = lim
𝜖→0
𝐹𝑥 𝑏 − 𝜖 − lim
𝜖→0
𝑃 𝑥 = 𝑎 = 𝐹𝑥 𝑎 − lim
𝜖→0

Propiedades de la FDP de una v.a. real
Propiedad 1:
i. 𝐹𝑥 −∞ = 0
ii. 𝐹𝑥 +∞ = 1
iii. 𝐹𝑥 es monótona no decreciente
iv. 𝐹𝑥 es continua por la derecha Demostrar

Considerando la definición y las
propiedades de la FDP de una v.a. verifique
si la función dada a continuación representa
una FDP de una v.a?
𝑓 𝑥 =
0 ; 𝑥 < 0
𝑥2
; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 ; 𝑥 > 1
ConcepTest 2

ConcepTest 2
𝑓 𝑥 =
0 ; 𝑥 < 0
𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 ; 𝑥 > 1
𝑓(𝑥) si representa una FDP

Considerando la definición y las propiedades
de la FDP de una v.a. verifique si la función
dada a continuación representa una FDP de
una v.a.
𝑓 𝑥 =
0 ; 𝑥 < 0
𝑥2
; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 ; 𝑥 > 1
Si se cambia el símbolo como se muestra, la
función representa una FDP de una v.a.?
ConcepTest 2
<

ConcepTest 2
𝑓 𝑥 =
0 ; 𝑥 < 0
𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 < 1
1 ; 𝑥 > 1
𝑓(𝑥) no es continua por la derecha

ConcepTest 3
3
4
𝐹𝑥(𝑋)
𝑋
Calcular:
a. 𝑃 𝑥 =
1
2
b. 𝑃(𝑥 = 1)
c. 𝑃
1
2
< 𝑥 ≤
5
2

ConcepTest 3
a. 𝑃 𝑥 =
1
2
= 𝐹𝑥
1
2
− lim
𝜖→0
𝐹𝑥
1
2
− 𝜖 =
2
9
1
2
+ 0,5
2
−
2
9
= 0
b. 𝑃 𝑥 = 1 = 𝐹𝑥 1 − lim
𝜖→0
𝐹𝑥 1 − 𝜖 =
3
4
−
1
2
=
1
4
c. 𝑃
1
2
< 𝑥 ≤
5
2
= 𝐹𝑥
5
2
− 𝐹𝑥
1
2
= 0,65

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES
ALEATORIAS

Clasificación de v.a.
• Usualmente se clasifican en tres tipos:
– v.a. discretas
– v.a. continuas
– v.a. mixtas
• Se definen en razón de la FDP.
Discreta Continua

v.a. discreta
• A cada valor posible de la v.a. 𝑥 corresponde
un evento en el espacio Ω.
• Se puede asociar a cada uno de estos
valores una probabilidad, escribiendo
𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 = 𝑃 𝜔 ∈ Ω: 𝑥 𝜔 = 𝑋𝑖 = 𝑝𝑖 ; 𝑖 = 1,2, …
Obviamente la condición 𝑖 𝑝𝑖 = 1, debe cumplirse.
Para una v.a. discreta su contradominio Ω 𝑥 es un conjunto de puntos
isolados (finito o infinito, pero numerable). Esto significa que
Ωx = X1, X2, … }

Ejemplo 6: v.a. discreta
• Se retoma la situación del ejemplo 3, y considere la v.a. 𝑥, cuya
definición era
𝑥 𝜔𝑖 = (𝑖 − 3)2
para esta v.a. se tiene el contradominio
Ω 𝑥 = 0, 1, 4, 9}
que es un conjunto finito, y se puede afirmar que 𝑥 es una variable
aleatoria discreta.
• Considerar que los puntos de muestra 𝜔𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 6 son
equiprobables, o sea,
𝑃 𝜔𝑖 =
1
6
; 𝑖 = 1,2, … , 6

Las probabilidades asociadas a los diversos valores de la v.a. 𝑥 son
𝑃 𝑥 = 0 = 𝑃 𝜔3 =
1
6
𝑃 𝑥 = 1 = 𝑃 𝜔2, 𝜔4 =
1
6
+
1
6
=
1
3
𝑃 𝑥 = 4 = 𝑃 𝜔1, 𝜔5 =
1
6
+
1
6
=
1
3
𝑃 𝑥 = 9 = 𝑃 𝜔6 =
1
6
Gráfica de función de masa de probabilidad
𝑓(𝑥)
𝑥

𝐹𝑥 = 𝑋 =
1
6
[𝑢 𝑋 + 𝑢 𝑋 − 9 ] +
1
3
[𝑢 𝑋 − 1 + 𝑢(𝑋 − 4)]
𝐹𝑥 𝑋
𝑋
Gráfica de función distribución de probabilidad

v.a. discreta
La probabilidad asociada a un evento 𝐼 ⊂ ℝ cualquiera puede ser
escrita
𝑃(𝐼) =
𝑖
(𝑋𝑖∈ 𝐼)
𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖
Definición 4: v.a. discreta
Una variable aleatoria es dicha discreta cuando su FDP se escribe
𝐹𝑥 𝑋 =
𝑖
(𝑋 𝑖∈ Ω 𝑥)
𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 𝑢(𝑋 − 𝑋𝑖)
con 𝑢( ) representando la función escalón unitario, dada por
𝑢(𝑋) =
0; 𝑋 < 0
1; 𝑋 ≥ 0

v.a. continua
Definición 5: v.a. continua
Una v.a. 𝑥 es dicha continua cuando su función distribución de
probabilidad es continua y diferenciable en casi todos los puntos (𝐹𝑥 y no
diferenciable en apenas un número contable de puntos).

v.a. continua
• El contradominio Ω 𝑥 de una variable
aleatoria continua 𝑥 es un conjunto no
numerable.
• Para una v.a. continua:
𝑃 𝑥 = 𝑋 = 0 ; ∀𝑋 ∈ ℝ
Un evento con probabilidad cero no es
necesariamente un evento vacío, de hecho,
para una v.a. continua el evento 𝑥 = 𝑋} tiene
probabilidad cero pero no es vacío pues
contiene un punto 𝑋 ∈ Ω 𝑥 (𝑋 es un posible
resultado).

Ejemplo 7: v.a. continua
Considere una v.a. 𝑥 que caracteriza una medida de tensión de
ruido tomada en determinado punto de un circuito. Se sabe que la
tensión de ruido medida toma valores en el intervalo de [−𝑉, 𝑉],
o sea, el contradominio Ω 𝑥 de esta v.a. es dada por Ω 𝑥 = [−𝑉, 𝑉]
𝐹𝑥 = 𝑋
0; 𝑋 < −𝑉
1
2𝑉
𝑋 +
1
2
; −𝑉 ≤ 𝑋 ≤ 𝑉
1; 𝑋 > 𝑉

v.a. mixta
Definición 6: v.a. mixta
Una v.a. 𝑥 es dicha mixta cuando su FDP se escribe como una suma de una
función 𝐶 𝑥 𝑋 continua y diferenciable en casi todos los puntos es una función
𝐷 𝑥(𝑋) que se expresa como una suma ponderada de funciones escalón
unitario, o sea
𝐹𝑥 𝑋 = 𝐶 𝑥 𝑋 + 𝐷 𝑥 𝑋
= 𝐶 𝑥 𝑋 +
𝑖
𝑎𝑖 𝑢 𝑋 − 𝑏𝑖

FDP
Propiedad 2: Forma general de la FDP
Toda función distribución de probabilidad 𝐹𝑥 puede ser escrita como
𝐹𝑥 𝑋 = 𝐶 𝑥 𝑋 + 𝑖 𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 𝑢(𝑋 − 𝑋𝑖)
donde 𝐶 𝑥 es una función continua, monótona no decreciente y diferenciable
en cualquiera de los puntos, y 𝑢( ) es la función escalón unitario.

FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD
DE UNA VARIABLE ALEATORIA REAL

fdp de una v.a. real
Definición 7: fdp de una v.a. real
La función densidad de probabilidad de una v.a. 𝑥 definida como
la derivada de su función distribución de probabilidad, o sea
𝑝 𝑥 𝑋 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹𝑥(𝑋)
Definición 8: Función Impulso
Una función 𝛿 dicha Función Impulso
si satisface la siguiente condición
−∞
∞
𝑓 𝑥 𝛿 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑎)
𝛿 𝑥 = 0 ; 𝑥 ≠ 0
𝐴
𝑡
0 𝜏
𝛿(𝑡)
𝛿(𝑡 − 𝜏)

fdp para ejemplos 7 y 8

Propiedad 3: Forma general de la fdp
Toda función densidad de probabilidad 𝑝 𝑥 puede ser escrita como
𝑝 𝑥 𝑋 =
𝑑
𝑑𝑋
𝐶 𝑥 𝑋 + 𝑖 𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 𝛿(𝑋 − 𝑋𝑖)
donde 𝐶 𝑥 es una función continua, monótona no decreciente y diferenciable
en cualquiera de los puntos, y 𝛿( ) es la función impulso.
Propiedad 4: Propiedades de la fdp de una v.a. real
i. −∞
𝑋
𝑝 𝑥 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹𝑥(𝑋)
ii. 𝑝 𝑥(𝑋) ≥ 0
iii. −∞
∞
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 1
iv. 𝑎
𝑏
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝑃(𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏])
v. 𝐼
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝑃(𝑥 ∈ 𝐼)

FDP, fdp (Importancia)
¿Por qué son importantes las características de las
distribuciones de probabilidad y de dónde provienen?
• Las FDP ya sean discretas o continuas, se presentan
mediante frases como «se sabe que», «suponga que» o
incluso, en ciertos casos, «la evidencia histórica sugiere
que».
– Se trata de situaciones en las que la naturaleza de la
distribución, e incluso una estimación óptima de la estructura de
la probabilidad, se pueden determinar utilizando datos
históricos, datos tomados de estudios a largo plazo o incluso de
grandes cantidades de datos planeados.
• No todas las funciones de probabilidad y fdp se derivan de
cantidades grandes de datos históricos. Hay un gran número
de situaciones en las que la naturaleza del escenario
científico sugiere un tipo de distribución.

FUNCIONES DENSIDAD DE
PROBABILIDAD USUALES

Lectura sugerida
• WALPOLE, MYERS, MYERS,
YE, (2012) Probabilidad y
estadística para ingenería y
ciencias , novena edición. (Pág:
143-210)

Variables Aleatorias Discretas
v.a. de Bernoulli v.a. Binomial
v.a.
hipergeométrica
v.a. geométrica
v.a. binomial
negativa
v.a. de Poisson

Variables aleatorias continuas
v.a.
Uniforme
v.a.
Exponencial
v.a. normal
o Gaussiana
v.a. Gamma
v.a. de
Rayleigh
v.a. de
Cauchy
v.a.
Laplaciana

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Distribución binomial
• A menudo un experimento consiste en pruebas
repetitivas, cada una con dos resultados posibles, los
cuales se pueden marcar como éxito o fracaso.
– Aplicación: prueba de artículos a medida que salen de
una línea de ensamblaje, donde cada experimento puede
indicar si un artículo está defectuoso o no. Elegir
cualquiera de los resultados como éxito.
 El proceso se denomina
proceso de Bernoulli.
 Cada ensayo se llama
experimento de
Bernoulli.

Distribución binomial: Proceso de Bernoulli
• El proceso de Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:
1. El experimento consiste en 𝑛 ensayos que se repiten.
2. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar
como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de un éxito, que se denota con 𝑝, permanece
constante de un ensayo a otro.
4. Los ensayos que se repiten son independientes.
1
2 …
𝑛
𝑝
𝑞
éxito
fracaso
𝑝
𝑞
éxito
fracaso
«defectuoso»=éxito
«no defectuoso»=fracaso
Ensayos independientes

Distribución binomial: Proceso de Bernoulli
De un proceso de ensamble se seleccionan tres artículos al azar, se
inspeccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos. Un artículo
defectuoso se designa como un éxito. El número de éxitos es una variable
aleatoria 𝑥 que toma valores integrales de 0 a 3.
• Los 8 resultados posibles y los valores correspondientes de 𝑋 se
muestran en la tabla.
• Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un
proceso que supondremos produce 25% de artículos defectuosos,
𝑃 𝑁𝐷𝑁 = 𝑃 𝑁 𝑃 𝐷 𝑃 𝑁 =
3
4
1
4
3
4
=
9
64
.
• Cálculos similares dan las probabilidades para los demás resultados
posibles.
• La distribución de probabilidad de 𝑥 es,
Resultado 𝑿
NNN 0
NDN 1
NND 1
DNN 1
NDD 2
DND 2
DDN 2
DDD 3
𝑿 0 1 2 3
𝐹𝑥 𝑋 27
64
27
64
9
64
1
64

• El número 𝑥 de éxitos en 𝑛 experimentos
de Bernoulli se denomina variable
aleatoria binomial.
• La distribución de probabilidad de esta
variable aleatoria discreta se llama
distribución binomial.

• Considere la probabilidad de 𝑋 éxitos y 𝑛 − 𝑋
fracasos en un orden específico (ensayos
independientes, multiplicar probabilidad).
• Cada éxito ocurre con probabilidad 𝑝 y cada
fracaso con probabilidad 𝑞 = 1 − 𝑝.
• La probabilidad de 𝑋 éxitos en 𝑛 ensayos para un
experimento binomial es 𝑝 𝑋
𝑞 𝑛−𝑋
.
• Ahora, determinar el número total de puntos
muestrales en el experimento que tienen 𝑋 éxitos
y 𝑛 − 𝑋 fracasos.
– Es igual al número de particiones de 𝑛 resultados en
dos grupos, con 𝑋 en un grupo y 𝑛 − 𝑋 en el otro.

Definición 12: fdp binomial
Una v.a. 𝑥 tiene distribución
binomial cuando su fdp es de la
forma
𝑝 𝑥 𝑋 =
𝑖=0
𝑛
𝐶 𝑛
𝑖 𝑝 𝑖 𝑞 𝑛−𝑖 𝛿 −𝑖 ;
0 ≤ 𝑝 ≤ 1 , 𝑞 = 1 − 𝑝
donde 𝐶 𝑛
𝑖 son los coeficientes
binomiales dados por la expresión
𝐶 𝑛
𝑖 =
𝑛!
𝑛 − 𝑖 ! 𝑖!

• Aplicaciones
– Ingeniero industrial: ampliamente interesado en
la «proporción de artículos defectuosos» en
cierto proceso industrial.
• Las mediciones de control de calidad y los esquemas
de muestreo para procesos se basan en la distribución
binomial.
– Aplicaciones médicas y militares:
• «cura» o «no cura», importante en trabajo
farmacéutico.
• «dar en el blanco» o «fallar», resultado de lanzar un
proyectil guiado.
– Telecomunicaciones, redes ad-hoc

Distribución de Poisson
• Experimento de Poisson: Experimentos
que producen valores numéricos de una
variable aleatoria 𝑥, el número de
resultados que ocurren durante un intervalo
de tiempo determinado o en una región
específica.
– El intervalo puede ser de cualquier duración,
como un minuto, un día, una semana, un mes
o incluso un año.
• Generar observaciones para la variable aleatoria 𝑥
que representa el número de llamadas telefónicas
por hora que recibe una oficina,
• el número de días que una escuela permanece
cerrada debido a la nieve durante el invierno.

– La región específica podría ser un
segmento de recta, un área, un volumen
o quizá una pieza de material.
• Número de bacterias en un cultivo dado,
• números de errores mecanográficos por área.
• Un experimento de Poisson se deriva
del proceso de Poisson.
• La distribución de Poisson puede
compararse a una distribución
binomial en la que 𝑛 es muy grande y
𝑝 muy pequeña.

Propiedades del proceso de Poisson
1. El número de resultados que ocurren en un intervalo
o región específica es independiente del número que
ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región
del espacio disjunto. El proceso de Poisson no tiene
memoria.
2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado
durante un intervalo de tiempo muy corto o en una
región pequeña es proporcional a la longitud del
intervalo o al tamaño de la región, y no depende del
número de resultados que ocurren fuera de este
intervalo o región.
3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado
en tal intervalo de tiempo corto o que caiga en tal
región pequeña es insignificante.

• El número 𝑥 de resultados que ocurren
durante un experimento de Poisson se
llama variable aleatoria de Poisson y su
distribución de probabilidad se llama
distribución de Poisson.

Definición 11: fdp Poisson
Una v.a. 𝑥 es dicha de Poisson
cuando su fdp es dada por
𝑝 𝑥 𝑋
=
𝑖=0
∞
𝑎 𝑖 𝑒−𝑎
𝑖!
𝛿 −𝑖 ; 𝑎 > 0
Se ve fácilmente que 𝑥 asume
valores enteros con
probabilidad
𝑃 𝑥 = 𝑖 =
𝑎 𝑖 𝑒−𝑎
𝑖!
; 𝑖 = 1,2, …

• Supongamos,
– que estamos interesados en saber el número de llamadas
telefónicas que se pueden producir con determinado destino en
un periodo dado.
– que la ocurrencia de estas posibles llamadas telefónicas se
puede considerar aleatoria (sean independientes).
• Si tomamos muestras durante numerosos e iguales
periodos de tiempo, el resultado deberá ser la distribución
del número de llamadas por periodo de 5 minutos entre,
pongamos, las 10 y las 11 de la mañana de varios días.
• La distribución resultante de las llamadas producidas por
periodos de 5 minutos debe esperarse que sea de Poisson.

• Supongamos que hubiésemos registrado una
media de 6 llamadas cada 5 minutos (𝑎 = 6).
La probabilidad de que se produzcan 5 o
menos llamadas cada 5 minutos será
𝐹𝑥 𝑋 =
𝑖=0
5
6𝑖
𝑒−6
𝑖!
F_x(5;6)=0,442.

• Como la dist. binomial, la de Poisson se
utiliza para control de calidad,
aseguramiento de calidad y muestreo de
aceptación.
• Además ciertas distribuciones continuas
importantes que se usan en la teoría de
confiabilidad y en la teoría de colas
dependen del proceso de Poisson.

• Al igual que muchas distribuciones discretas y
continuas, la forma de la distribución de Poisson
se vuelve cada vez más simétrica, incluso con
forma de campana, a medida que la media se
hace más grande.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Distribución uniforme
• Una de las distribuciones continuas más
simples de la estadística.
• Se caracteriza por una fdp que es
«plana», por lo cual la probabilidad es
uniforme en un intervalo cerrado, digamos
[𝑎, 𝑏].
• La aplicación de esta distribución se basa
en el supuesto de que la probabilidad de
caer en un intervalo de longitud fija dentro
de [𝑎, 𝑏] es constante.

Definición 9: fdp uniforme
Una v.a. 𝑥 es uniformemente distribuida en el intervalo [𝑎, 𝑏]
cuando su fdp es dada por
𝑝 𝑥 (𝑋) =
1
𝑏 − 𝑎
; 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏
0; en otro 𝑐𝑎𝑠𝑜
fdp FDP

Suponga que el tiempo máximo que se puede reservar una sala de conferencias grande
de cierta empresa son cuatro horas. Con mucha frecuencia tienen conferencias extensas
y breves. De hecho, se puede suponer que la duración 𝑥 de una conferencia tiene una
distribución uniforme en el intervalo [0, 4].
a. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia determinada dure al menos 3
horas?
Solución:
a. La función de densidad apropiada para la v.a. 𝑥 distribuida uniformemente en esta
situación es
𝑝 𝑥 (𝑋) =
1
4
; 0 ≤ 𝑋 ≤ 4,
0; en otro caso
b. 𝑃 𝑥 ≥ 3 = 3
4 1
4
𝑑𝑥 =
1
4
.

Distribución normal o Gaussiana
• Es la distribución de probabilidad continua
más importante en todo el campo de la
estadística.
• La gráfica de la d. normal o curva normal,
tiene forma de campana.

• Describe de manera aproximada muchos
fenómenos que ocurren en la naturaleza, la
industria y la investigación.
– Las mediciones físicas en áreas como los
experimentos meteorológicos, estudios de
precipitación pluvial y mediciones de partes
fabricadas a menudo se explican más que
adecuadamente con una d. normal.
– Los errores en las mediciones científicas se
aproximan muy bien mediante una distribución
normal.

• La d. normal tiene muchas aplicaciones como
distribución limitante.
• En ciertas ocasiones, la d. normal ofrece una
buena aproximación continua a las distribuciones
binomial e hipergeométrica.
• La distribución limitante de promedios muestrales
es normal, lo que brinda una base amplia para la
inferencia estadística, que es muy valiosa para el
analista de datos interesado en la estimación y
prueba de hipótesis.
• Las teorías de áreas importantes como el análisis
de varianza y el control de calidad se basan en
suposiciones que utilizan la d. normal.

Normal o Gaussiana
fdp
FDP

• Una vez que se especifican 𝑚 y 𝜎, la curva normal
queda determinada por completo.
• Dos curvas normales que tienen misma 𝜎 pero
diferentes 𝑚:
– Curvas idénticas en forma,
– centradas en diferentes posiciones a lo largo del eje
horizontal.
• Dos curvas normales con la misma 𝑚 pero con 𝜎
diferentes:
– Las dos curvas están centradas exactamente en la misma
posición sobre el eje horizontal;
– La curva con la mayor 𝜎 es más baja y más extendida.
(Recordar que el área bajo la curva de probabilidad debe
ser igual a 1)

Propiedades de la curva normal:
1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal
donde la curva tiene su punto máximo, ocurre en X =
𝑚.
2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a
través de la media 𝑚.
3. La curva tiene sus puntos de inflexión en X = 𝑚 ± 𝜎,
es cóncava hacia abajo si 𝑚 − 𝜎 < 𝑥 < 𝑚 + 𝜎, y es
cóncava hacia arriba en otro caso.
4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de
manera asintótica, conforme nos alejamos de la
media en cualquier dirección.
5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es
igual a uno.

Definición 8: fdp normal o gaussiana
Una v.a. 𝑥 es normalmente distribuida (gaussiana) cuando su fdp
tiene la forma
𝑝 𝑥 𝑋 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝑋−𝑚 2
2𝜎2
; 𝑚 ∈ ℝ ; 𝜎 > 0
La FDP correspondiente es
𝐹𝑥 𝑋 =
−∞
𝑋
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 1 − 𝑄
𝑋 − 𝑚
𝜎
donde
𝑄 𝛼 =
1
2𝜋 𝛼
∞
𝑒−
𝑢2
2 𝑑𝑢

Función Q
𝐹𝑥 𝑋 =
−∞
𝑋
𝑝 𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 1 − 𝑄
𝑋 − 𝑚
𝜎
donde
𝑄 𝛼 =
1
2𝜋 𝛼
∞
𝑒−
𝑢2
2 𝑑𝑢
Propiedad: La función 𝑄 es simétrica:
𝑄 𝑋 = 1 − 𝑄(−𝑋)

Función Q

Área bajo la curva normal
• La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de
densidad se construye de manera que el área bajo la curva limitada por las
dos ordenadas X = 𝑋1 y 𝑋 = 𝑋2 sea igual a la probabilidad de que la
variable aleatoria 𝑥 tome el valor entre X = 𝑋1 y 𝑋 = 𝑋2.
𝑃 𝑋1 < 𝑥 < 𝑋2 =
1
2𝜋𝜎 𝑋1
𝑋2
𝑒
−
𝑋−𝑚 2
2𝜎2
𝑑𝑋

• El área bajo la curva entre cualesquiera
dos ordenadas también depende de los
valores 𝑚 y 𝜎.
Las dos regiones sombreadas tienen tamaños diferentes; por lo tanto, la probabilidad
asociada con cada distribución será diferente para los dos valores dados de 𝑥

Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que se localiza
a. a la derecha de 𝑍 = 1.84, y
b. entre 𝑍 = −1.97 y 𝑍 = 0.86
Solución:
a. 𝑄 1.84 = 0.0329
b. 1 − 𝑄 0.86 − 1 − 𝑄 −1.97 = 1 − 𝑄 0.86 − 𝑄 1.97 = 1 − 0.1949 −
0.0244 = 0.7807

• Leer página 182, libro Walpole y
siguientes. (Aplicaciones de la distribución
normal)

Ruido AWGN en Sinusoide

Exponencial
Definición 10: fdp exponencial
Una v.a. 𝑥 es exponencialmente distribuida cuando su fdp tiene la
forma
𝑝 𝑥 𝑋 = 𝑎𝑒−𝑎𝑋 𝑢 𝑋 ; 𝑎 > 0
fdp FDP

Lognormal
Las potencias de las
señales
interferencias en la
recepción pueden
ser simuladas a
través de variables
aleatorias de tipo
log-normal
desviación estándar
asociada de, por
ejemplo 6dB. (DS-
CDMA)
Fuente: Francisco A. Sandoval, Orientador: PhD. Raimundo Sampaio Neto. Novos Receptores com Posto Reduzido e suas
Aplicações em Sistemas Baseados em DS-CDMA. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-RIO. 2013

Ejemplo 8: Distribuciones comunes
El tiempo de vida de una lámpara, en horas, puede ser modelado
por una variable aleatoria 𝑡 con fdp exponencial, o sea:
𝑝𝑡 𝑇 = 𝑎𝑒−𝑎𝑇
𝑢 𝑇 ; 𝑎 > 0
Si se examina un gran número de lámparas, se observa que
apenas 50% de las lámparas duran más de 100 horas. Esta
observación sugiere que 𝑃 𝑡 ≤ 100 = 0.5.
Calcule
a) el valor de la constante 𝑎,
b) la función distribución de probabilidad de la variable 𝑡 y
c) la probabilidad de una lámpara durar mas de 200 horas.

Ejemplo 8: Distribuciones comunes
Cálculo del valor de la constante 𝑎:
𝑃 𝑡 ≤ 100 =
0
100
𝑎𝑒−𝑎𝑇
𝑑𝑇 = 0,5
por cuanto:
𝑎 =
ln 2
100
= 0.0069
La función distribución de probabilidad es determinada directamente de su definición:
𝐹𝑡 𝑇 = 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 =
−∞
𝑇
𝑝𝑡 𝑢 𝑑𝑢
𝐹𝑡 𝑇 = 1 − 𝑒−𝑎𝑇
𝑢(𝑇)
Finalmente:
𝑃 𝑡 > 200 = 1 − 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 = 1 − 𝐹𝑡 𝑇 = 𝑒−200𝑎 = 0,25

Vectores aleatorios
• El concepto de variable aleatoria puede
ser extendido, considerando, que a cada
punto de muestra Ω, es asociado un punto
del espacio 𝑛 dimensional ℝ 𝑛
.
• Un vector aleatorio es una función 𝒙 cuyo
dominio es Ω y con contradominio en ℝ 𝑛
𝑥: Ω ⟼ ℝ 𝑛
𝜔 ⟼ 𝒙 𝜔

Vectores Aleatorios
Definición 11: Vector Aleatorio
Un vector aleatorio 𝒙 es una función vectorial de dimensión 𝑛
cuyo dominio es Ω, y tal que
i. para cualquier 𝑿 ∈ ℝ 𝑛, el conjunto 𝐴 𝑿 = 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝒙 ≤ 𝑿} es
un evento. La notación (𝒙 ≤ 𝑿) es una forma compacta de
escribir
(𝑥1 𝜔 ≤ 𝑋1, 𝑥2 𝜔 ≤ 𝑋2, … , 𝑥 𝑛 𝜔 ≤ 𝑋 𝑛)
ii. 𝑃 𝑥1 𝜔 ≤ 𝑋1, 𝑥2 𝜔 ≤ 𝑋2, … , 𝑥𝑖 𝜔 = +∞, … , 𝑥 𝑛 𝜔 ≤ 𝑋 𝑛 = 0 ; ∀𝑖
iii. 𝑃 𝑥1 𝜔 ≤ 𝑋1, 𝑥2 𝜔 ≤ 𝑋2, … , 𝑥𝑖 𝜔 = −∞, … , 𝑥 𝑛 𝜔 ≤ 𝑋 𝑛 = 0 ; ∀𝑖

Ejemplo 9: Vector Aleatorio
Considere el lanzamiento de una moneda. El espacio de muestras
asociado a esta experiencia es el conjunto
Ω = cara, sello}
Se define el vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1 𝑥2
𝑇 de la siguiente manera
𝒙 = cara =
−1
0
𝒙 = sello =
1
1
El evento 𝐴 𝑋 es dado por
𝐴 𝑋 =
∅ ; 𝑿 ∈ ℛ1
cara ; 𝑿 ∈ ℛ2
Ω ; 𝑿 ∈ ℛ3

Un terminal transmite datos para un computador utilizando
dígitos binarios (bits). En el trayecto, debido a imperfecciones del
canal de transmisión, estos bits pueden ser alterados produciendo
en la recepción datos errados por el computador.
11
00
𝑥1
𝑥2
𝑝
1 − 𝑝
1 − 𝑝
𝑝
Canal Binario
• 𝑥1 = dígitos Tx
• 𝑥2 = dígitos Rx
• 𝑥1 y 𝑥2 asumen valores entre
0 y 1.
• considere un vector 𝒙
bidimensional, cuyas
componentes son las v.a. 𝑥1
y 𝑥2
𝒙 =
𝑥1
𝑥2

Ω 𝐱 =
1
0
,
1
1
,
0
1
,
0
0

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD DE UN VECTOR
ALEATORIO

FDP de un Vector Aleatorio
La función 𝐹𝑥 es también llamada función distribución conjunta
de las variables aleatorias 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛}. Se utiliza la notación:
𝐹𝑥1,𝑥2,…,𝑥 𝑛
(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛)
Definición 14: Función Distribución de Probabilidad de un Vector
Aleatorio.
La función distribución de probabilidad asociada a un vector
aleatorio 𝒙 es una función
𝐹𝑥: ℝ 𝑛
⟼ ℝ
𝑿 ⟼ 𝐹𝑥 𝑋
donde
𝐹𝑥 𝑿 = 𝑃 𝐴 𝑿 = 𝑃 𝒙 ≤ 𝑿 = 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋1, 𝑥2 ≤ 𝑋2, … , 𝑥 𝑛 ≤ 𝑋 𝑛)

FDP de un Vector Aleatorio

Ejemplo 11: FDP vector aleatorio
Considere la situación del ej. 9, respecto al lanzamiento de una
moneda. Asuma que la probabilidad de ocurrir «cara» es igual a 𝑝,
o sea, 𝑃 cara = 𝑝. Consecuentemente, 𝑃 sello = 1 − 𝑝.
Obtener la FDP del vector aleatorio 𝒙.
𝐹𝑥 = 𝑿 = 𝑃 𝐴 𝑿 =
0 ; 𝑿 ∈ ℛ1
𝑝 ; 𝑿 ∈ ℛ2
1 ; 𝑿 ∈ ℛ3

Ejemplo 12: FDP vector aleatorio
Considere nuevamente la situación del ej. 10, donde un terminal
transmite datos para un computador utilizando dígitos binarios
(bits) a través de un canal de transmisión ruidoso.
Asuma que las probabilidades de transmitir cada uno de los
dígitos son iguales, o sea, 𝑃 𝑥1 = 0 = 𝑃 𝑥1 = 1 =
1
2
. Obtenga
la FDP del vector aleatorio 𝒙 considerando el evento 𝐴 𝑿.
𝐹𝑥 (𝑿) = 𝑃(𝐴 𝑿 ) =
0 ; 𝑿 ∈ ℛ1
𝑝
2
; 𝑿 ∈ ℛ2
1
2
; 𝑿 ∈ ℛ3
1
2
; 𝑿 ∈ ℛ4
1; 𝑿 ∈ ℛ5

Propiedades de la FDP de un Vector aleatorio
Propiedad 5: Propiedades de la FDP de un vector aleatorio
i. 𝐹𝒙 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑖−1, −∞, 𝑋𝑖+1, … , 𝑋 𝑛 = 0 ; ∀
ii. 𝐹𝒙 +∞, +∞, … , +∞ = 1 ; ∀𝑖
iii. 𝐹𝒙 es monótona no decreciente en cada argumento.
iv. 𝐹𝒙 es continua por la derecha en cada argumento.
v. lim
𝑋 𝑖→∞
𝑖=1,…,𝑛
𝑖≠𝑗
𝐹𝒙 𝑿 = 𝐹𝑥 𝑗
(𝑋𝑗)

Para demostrar la propiedad v, se observa que a partir de
𝐹𝑥 𝑿 = 𝑃 𝐴 𝑿 = 𝑃 𝒙 ≤ 𝑿 = 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋1, 𝑥2 ≤ 𝑋2, … , 𝑥 𝑛 ≤ 𝑋 𝑛)
Se tiene:
lim
𝑋 𝑖→∞
𝑖=1,…,𝑛
𝑖≠𝑗
𝐹𝒙 𝑿 = 𝑃 𝑥1 ≤ ∞, 𝑥2 ≤ ∞, … , 𝑥𝑗 ≤ 𝑋𝑗, … , 𝑥 𝑛 ≤ ∞
= 𝑃 𝑥𝑗 ≤ 𝑋𝑗 = 𝐹𝑥 𝑗
𝑋𝑗
Esta propiedad indica la manera por la cual es posible obtener, a partir de una función
distribución de probabilidad conjunta de varias variables, las funciones distribución de
probabilidad de cada una de ellas.

Para el caso particular de dos variables aleatorias, la propiedad v, se reduce a:
𝐹𝑥 𝑋 = lim
𝑌→∞
𝐹𝑥𝑦(𝑋, 𝑌)
𝐹𝑦 𝑌 = lim
𝑋→∞
𝐹𝑥𝑦(𝑋, 𝑌)

Ejemplo 13: Propiedades FDP de un vector aleatorio
Ej. de Propiedad v.
Considere la FDP del ejemplo 12. Determinar las funciones
distribución de probabilidad de las componentes 𝑥1 y 𝑥2 del vector
𝒙.
Fx1
X1 = lim
X2→∞
F 𝐱 𝐗 =
0 ; −∞ < 𝑋1 < 0
1
2
; 0 ≤ 𝑋1 < 1
1 ; 1 ≤ 𝑋1 < ∞
Fx2
X2 = lim
X1→∞
F 𝐱 𝐗 =
0 ; −∞ < 𝑋2 < 0
1
2
; 0 ≤ 𝑋2 < 1
1 ; 1 ≤ 𝑋2 < ∞

Ejemplo 13.1: fdp marginales
La función densidad conjunta de las variables aleatorias 𝑋, 𝑌 está
dada por
𝑓 𝑥, 𝑦 =
8𝑥𝑦 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥
0 de otra forma
Hallar (a) la densidad marginal de 𝑋, (b) la densidad marginal de
𝑌, (c) la densidad condicional de 𝑋, (d) la densidad de Y.

FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD
DE UN VECTOR ALEATORIO

Función densidad de probabilidad de un vector aleatorio
Definición 15: fdp de un vector aleatorio
Para un vector aleatorio 𝒙 con función distribución de
probabilidad 𝐹𝑥 diferenciable, la fdp se define por la relación
𝑝 𝒙 𝑿 = 𝑝 𝑥1 𝑥2 …𝑥 𝑛
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛
=
𝛿 𝑛
𝛿𝑋1 𝛿𝑋2 … 𝛿𝑋 𝑛
𝐹𝑥1 𝑥2 …𝑥 𝑛
(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛)
la función 𝑝 𝑥 también suele llamarse función densidad de
probabilidad conjunta de las variables aleatorias 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛}

Propiedades de la fdp de un vector aleatorio
Propiedad 6: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio
i. −∞
𝑋1
−∞
𝑋2
… −∞
𝑋 𝑛
𝑝 𝑥1 𝑥2 …𝑥 𝑛
𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛 𝑑𝑢1 𝑑𝑢2 … 𝑑𝑢 𝑛
= 𝐹𝑥1 𝑥2 …𝑥 𝑛
𝑋1, 𝑋2 … 𝑋 𝑛
ii. −∞
∞
−∞
∞
… −∞
∞
𝑋1 𝑋2 … 𝑋 𝑛 𝑑𝑋1 𝑑𝑋2 … 𝑑𝑋 𝑛 = 1
iii. 𝑝 𝑥1 𝑥2 …𝑥 𝑛
𝑋1 𝑋2 … 𝑋 𝑛 ≥ 0
iv. −∞
∞
−∞
𝑋 𝑗
… −∞
∞
𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛 𝑑𝑢1 𝑑𝑢2 … 𝑑𝑢 𝑛
= −∞
∞
𝑝 𝑥 𝑗
𝑢𝑗 𝑑𝑢𝑗 = 𝐹𝑥 𝑗
𝑋𝑗

Propiedad 6: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio
v. −∞
∞
… −∞
∞
𝑛−1
𝑝 𝑥1…𝑥 𝑛
𝑢1, … , 𝑢𝑗−1, 𝑋𝑗, 𝑢𝑗+1, … , 𝑢 𝑛 𝑑 𝑢1
… 𝑑 𝑢 𝑗−1
𝑑 𝑢 𝑗+1
… 𝑑 𝑢 𝑛
= 𝑝 𝑥 𝑗
𝑋𝑗
vi. 𝑃 𝒙 ∈ 𝒮 = … 𝒮
𝑝 𝑥1 𝑥2…𝑥 𝑛
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛 𝑑𝑋1 𝑑𝑋2 … 𝑑𝑋 𝑛
La propiedad v indica la manera por la cual es posible obtener, a partir de una función
densidad de probabilidad conjunta de varias variables, las funciones densidad de
probabilidad de cada una de ellas.

Para el caso particular de dos variables aleatorias, la propiedad v, se reduce a:
𝑝 𝑥 𝑋 =
−∞
∞
𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑣 𝑑𝑣
𝑝 𝑦 𝑌 =
−∞
∞
𝑝 𝑥𝑦 𝑢, 𝑌 𝑑𝑢

Ejemplo 14: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio
Un tren llega a una estación y para por cinco minutos antes de proseguir. El
instante de llegada del tren, contando a partir de las 9:00, en minutos, puede
ser modelado por una v.a. 𝑡 con función densidad de probabilidad
𝑝𝑡 𝑇 = 0.15𝑒−0.15𝑇 𝑢(𝑇)
1. Calcule la probabilidad de que el tren llegue antes de las 9:20.
2. Asuma que un estudiante quiere llegar a tomar el tren
a) Determine el máximo atraso que el estudiante puede tener para que la
probabilidad de que el tome el tren sea mayor que 0.5.
b) Considere que el instante de llegada del estudiante a la estación
(contado a partir de las 9:00, en minutos) sea una v.a. 𝑥, y que la fdp
conjunta de las variables 𝑡 y 𝑥 sea dada por
𝑝𝑡𝑥 𝑇, 𝑋 = 0.06 𝑒−0.15𝑇+0.4𝑋
𝑢 𝑇 𝑢(𝑋)
Calcule la probabilidad de que el estudiante tome el tren.

Ejemplo 14: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio

Ejemplo 15: fdp de un vector aleatorio
La señal recibida en una llamada radioeléctrica puede ser representada por
𝑟 𝑡 = 𝑎 cos 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃 ; 𝑎 > 0
donde la amplitud 𝑎 y la fase 𝜃 son v.a. Alternativamente es posible escribir 𝑟(𝑡)
como
𝑟 𝑡 = 𝑥 cos 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝑦 sin(2𝜋𝑓0 𝑡)
donde
𝑥 = 𝑎 cos(𝜃)
y
𝑦 = −𝑎 sin(𝜃)
Se sabe que 𝑥 y 𝑦 son v.a. con densidad de probabilidad conjunta
𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 =
1
2𝜋𝜎2
𝑒
−
𝑋2+𝑌2
2𝜎2
1. Determine la probabilidad de que la amplitud 𝑎 de la señal recibida exceda
un determinado valor 𝐴, o sea, determine 𝑃(𝑎 > 𝐴).
2. Encuentre la función densidad de probabilidad 𝑝 𝑥(𝑋) de la v.a. 𝑥.

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN Y DENSIDAD DE
PROBABILIDAD CONDICIONALES

FDP y fdp condicionales
Demostrar

Definición 16: Independencia Estadística entre Dos Variables
Aleatorias.
Dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦 son estadísticamente
independientes cuando
𝐹𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 = 𝐹𝑥 𝑋 𝐹𝑦(𝑌)
Si las funciones en la definición 16, son diferenciables resulta como condición
equivalente
𝑃𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 = 𝑝 𝑥 𝑋 𝑝 𝑦(𝑌)
lo que lleva a las siguientes condiciones como definición de independencia
estadística
𝑝 𝑥|𝑦=𝑌 𝑋 = 𝑝 𝑥(𝑋)
o
𝑝 𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝑝 𝑦(𝑌)

Definición 17: Independencia Estadística entre Variables
Aleatorias.
Las variables aleatorias 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛} son estadísticamente
independientes cuando
𝐹𝑥1 𝑥2…𝑥 𝑛
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝐹𝑥 𝑖
(𝑋𝑖)
Si las funciones son diferenciables, se tiene como condiciones equivalente de
independencia
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑝 𝑥 𝑖
(𝑋𝑖)

Ejemplo 16
La figura muestra la medida de tensión de ruido de un circuito en determinado
punto. Los valores de esta tensión en dos instantes 𝑡1 y 𝑡2 pueden ser
caracterizados por dos v.a. 𝑥 y 𝑦, conjuntamente gaussianas. Esto significa que
la función densidad de probabilidad conjunta de estas dos variables tienen la
forma
𝑝 𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 =
1
2𝜋𝜎2 1 − 𝜌2
𝑒
−
1
2 𝑋2−2𝜌𝑋𝑌+𝑌2
𝜎2 1−𝜌2
Determine
1. La función densidad de probabilidad marginal 𝑝 𝑦(𝑌) de la v.a. 𝑦.
2. La función densidad de probabilidad condicional 𝑝 𝑦|𝑥=𝑋(𝑌) y concluya
sobre la independencia o no de las variables 𝑥 y 𝑦.
3. Para 𝜎 = 1 y 𝜌 = 0.9, la probabilidad de que 𝑦 exceda el valor 3, o sea,
𝑃(𝑦 > 3).
4. Para los valores numéricos del ítem 3, la probabilidad de que 𝑦 exceda el
valor 3, si se sabe que 𝑥 = 3, o sea 𝑃(𝑦 > 3|𝑥 = 3).

Ejemplo 16

Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,
W. A. (1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia
Elétrica; Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de
Estudios em Telecomunicaciones – CETUC, 2006.
[Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,
Teoría de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• WALPOLE, MYERS, MYERS, YE, (2012) Probabilidad
y estadística para ingenería y ciencias, novena
edición. (Temas en los que puede apoyar: Teoría de
probabilidad, variables aleatorias, distribuciones de
probabilidad, valor esperado, etc.).

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