Aritmetica-Análisis combinatorio.pdf

Colección Temas Selectos
Análisis
combinatorio
Teoría y práctica
NAME E IS

. Asociación Fondo de Investigadores y Editores A
Análisis
combinatorio
twitter.com/calapenshko
Alex Malpica Manzanilla Lumbreras
Editones

Análisis combinatorio
Autores:
Alex Malpica Manzanilla
GO Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores
y Editores
Editor: Asociación Fondo de Investigadores
y Editores
Diseño
y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores
y Editores
G Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Av, Alfonso Ugarte N.* 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786
Para su sello editorial Lumbreras Editores
Página web: www.elumbreras.com.pe
Primera edición: enero de 2012
Primera reimpresión: junio de 2015
Segunda reimpresión: agosto de 2016
Tercera reimpresión: agosto de 2017
Cuarta reimpresión: diciembre de 2018
Tiraje: 800 ejemplares
ISBN: 978-612-307-087-8
Registro del proyecto editorial N.* 31501051800693
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.” 2018-09902
Prohibida su reproducción
total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.” 822
Distribución y ventas al por mayor y menor
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713
ventas Y elumbreras.com.pe
Esta obra se terminó de imprimir
en los talleres gráficos de la Asociación
Fondo de Investigadores y Editores an el mes de diciembre de 2018.
Calle Las Herramientas N.? 1873 / Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Lima-Perú.
Teléfono: 01-336 5889

OA
"E PRESENTACIÓN o 7
A a 9
e ANÁLISIS COMBINATORIO
Principios fundamentales de conteo.................acs. ans a 11
Principio de adición..... z a 11
Principio de multiplicación 13
Ta e dc 15
Md ts 16
AMM A 16
Permutación circular 17
Permutación lineal con elementos repetidos 19
Combinaciones... Ea 21
Combinación simple 21
Combinaciones con repetición mes 24
o PROBLEMAS RESUELTOS
Nivel básico 27
Nivel Intermedio... cds TT á5
Nivel avanzado ._— |
"a PROBLEMAS PROPUESTOS
val o ic caco qui ds 101
Nivel intermedio .............................. === ===== == . 105
Nivel avanzado A e . 112
A . 116
"WE BIBLIOGRAFÍA....... SKY 117-

EF PRESENTACIÓN
OPS arerartaperss Ml
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Análisis
combinatorio, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se
realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias.
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alum-
nos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus co-
nocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias na-
turales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre
una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didáctico y
cuidadoso en la relación teoria-práctica.
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun-
dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu-
trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los
estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos
y problemas resueltos y propuestos por niveles,
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha signi-
ficado. esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales
de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo
de una educación cientifica y humanística integral. En este proceso, desea-
mos reconocer la labor del profesor Alex Malpica Manzanilla, de la plana de
Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elabo-
ración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza
preuniversitaria.
Asociación Fondo de Investigadores
y Editores

¿INTRODUCCIÓN
En nuestra vida diaria nos encontramos con diversas situaciones en las que
quisiéramos saber de cuántas formas puede ocurrir un evento (o aconteci-
miento), es decir, contar las diversas formas en la que puede ocurrir dicho
evento. Debido a que muchas veces no siempre es fácil poder determinarlo,
el estudio del análisis combinatorio nos ayudará a resolver estos problemas.
Históricamente el análisis combinatorio surge en el siglo xvi, pues la so-
ciedad de esa época ocupaba parte de su tiempo en juegos de azar en los
cuales ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Generalmente se jugaba a los
dados o a las cartas apostando brillantes, prendas valiosas, caballos de raza,
etcétera. Es por ello que en sus inicios los problemas combinatorios trataban
sobre juegos de azar, con el fin de calcular de manera simple la totalidad de
las posibles combinaciones que pueden ocurrir en una jugada o en varias
jugadas, o los sucesos de un determinado juego sin necesidad de que en
cada ocasión se deba enumerar, graficar o tabular todas las combinaciones
resultantes, tarea que puede ser tediosa y difícil cuando el número de com-
binaciones que se produce es grande. Su estudio teórico fue iniciado con los
matemáticos franceses Blas Pascal y Pierre Fermat cuando experimentaban
en las mesas de juego resolviendo de esta manera diversos problemas su-
geridos por estos juegos; posteriormente, otros matemáticos como Leibniz,
Bernoulli y Euler continuaron el desarrollo de esta teoría que luego servirá
como base para el estudio de la teoría de las probabilidades.
El análisis combinatorio debe entenderse como la técnica, habilidad o
arte de contar sin enumerar. Es decir, obtendremos aptitudes que nos per-
mitirán conocer el número de resultados que puede arrojar una experiencia
aplicando los principios fundamentales del conteo y las técnicas para poder
agrupar u ordenar elementos u objetos de un conjunto dado.
Actualmente, el análisis combinatorio nos ayuda a resolver problemas
de transporte, problemas de elaboración de horarios, planes de producción,
para confeccionar y descifrar claves así como también para desarrollar la teo-
ría de la información y resolver ciertos tipos de problemas en los que se exige
ingeniosidad y una comprensión adecuada del problema.

gr
"
ER
AE
ANA
e]
Sa
++ ANÁLISIS COMBINATORIO
Es la parte de las matemáticas que estudia las formas de contar los diferentes ordenamientos y
agrupamientos que se pueden realizar con los elementos de un conjunto, los cuales nos permiten
resolver problemas prácticos.
En nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cuales nos preguntamos de cuántas
maneras se puede realizar... Como ejemplo, a continuación se muestra un modelo de riego para un
cultivo de maracuyá.
¿De cuántas maneras se podrá realizar
el riego
del cultivo usando la acequia directamente
(compuerta 8) o llenando primero el tanque
usando ta compuerta A y después abrir la
compuerta C para el riego?
Para desarrollar estas preguntas, haremos uso de los principios fundamentales de conteo y de las
técnicas de conteo que a continuación presentamos.
El PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
Nos permiten, de forma práctica, determinar el número de casos posibles en los que se puede rea-
lizar un evento. :
PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n maneras dife-
rentes, y no es posible realizar aribos eventos de forma simultánea o uno seguido del otro
(eventos mutuamente excluyentes), entonces el evento (4 o B) se podrá realizar de m+n
maneras diferentes.
11

LUMBRERAS EDITORES
. tg
Ejemplos
1. Si Paola desea viajar de Lima a Piura y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 5 líneas terrestres,
¿de cuántas maneras diferentes puede realizar su viaje?
Resolución
LIMA A 4 líneas
Para que Paola viaje, lo puede hacer por vía:
Aérea o Terrestre
4 + 5 = 9
opciones opciones opciones
Por lo tanto, Paola tiene 9 maneras diferentes de poder realizar su viaje.
2, Mariela desea adquirir el libro Análisis combinatorio que es vendido en 3 lugares: en 8 librerías
diferentes de la Feria Amazonas, en 7 librerías de la UNMSM y en las 6 librerías de Lumbreras
Editores. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho libro?
Resolución
Para adquirir el libro, Mariela puede ir a
Feria Amazonas o UNMSM o Lumbreras Editores
8 - 7 + 6 = 21
librerias librerías librerias librerias
Por lo tanto, Mariela puede adquirir el libro de 21 maneras diferentes.
12

_P
y : ANÁLISIS COMBINATORIO
Nota
De forma práctica el conectivo “o” nos indica aplicar el principio de adición (+).
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un evento Á ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n ma-
neras diferentes (pudiendo realizar los eventos de forma simultánea o consecu-
tiva), entonces los eventos A y B se podrán realizar de mxn maneras diferentes.
Ejemplos
1. Sise lanza un dado y una moneda simultáneamente, ¿cuántos resultados diferentes se obtienen?
Resolución
Se debe lanzar simultáneamente:
dado moneda
Ho
AP y
1
2 c
3
á
5 5
6 _
6 - Xx ¿ = 12
Los resultados que se obtienen son:
(1; C), (2; C), (3; 0), (4; C), (5; C), (6; C)
(1,5), (2; 5), (3; 5), (4; 5), (5; 5), (6; 5).
12 resultados diferentes
Por lo tanto, se obtienen 12 resultados diferentes.
13

LUMBRERAS EDITORES a
2. Vanesa tiene 3 blusas de diferente color, 3 pantalones diferentes y 2 pares de zapatos diferentes.
¿De cuántas maneras distintas puede vestirse con estas prendas?
Resolución
Para vestirse, Vanesa necesita una blusa, un pantalón y un par de zapatos. Entonces:
An A
a
AN
3 Xx 3 Xx 2 18
3
Por lo tanto, Vanesa se puede vestir de 18 maneras diferentes.
Nota
De forma práctica el conectivo “y” nos indica aplicar el principio de multiplicación (x).
APLICACIÓN 1
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia B sin retroceder?
A
B
Resolución
Consideremos un ejemplo previo.
Para ir de M a Ñ se puede realizar de la siguiente forma
m__—>1 A
| ( Se llega de 4
+* maneras
1 2 4
14
la
cl
e
de
£l
-'Ú
al

ANÁLISIS COMBINATORIO
Ue
En el ejercicio
A 1. 1 1 1
1 b kk
12 17
1 12 24 B
41
Por lo tanto, hay 41 maneras diferentes para ir de A hacia B.
APLICACIÓN 2
En una carrera de caballos participan 6 caballos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar los
3 primeros lugares?
Resolución
Puede ser ocupado Puede ser ocupado
Puede ser ocupado por cualquiera de por cualquiera de
por cualquiera de — los5 caballos los
4 caballos
los ..a dr isa ca
1.* lugar | 2.* lugar | 3." lugar
A
Total de _ y
do 6 xx 5 x 4 <=120
Por lo tanto, hay 120 maneras diferentes de ocupar los tres primeros lugares.
(ks] TÉCNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo son procedimientos que se realizan bajo ciertas condiciones para contar de
forma directa los casos en que puede realizarse un evento. Entre ellas tenemos:
Permutación lineal
Permutaciones Permutación circular
TÉCNICAS Permutación con elementos repetidos
CONTEO Combinación simple
Combinaciones
a con elementos repetidos
15

LUMBRERAS EDITORES
a
roer
PERMUTACIONES
Son los diferentes ordenamientos que se pueden realizar con parte o todos los elementos de un
conjunto.
4
Permutación lineal
Son los ordenamientos que se pueden realizar con elementos diferentes en una fila o línea recta.
Si n objetos diferentes se deben ordenar en fila tomados en grupos de r objetos (r < n), se denotará
y calculará así:
Ejemplos
1,
16
Indique de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 personas en una fila con:
i. 6asientos
ii. d asientos
Resolución
¡. Sean las personas A, B, C, D, E y F que se van a ubicar en los asientos. Empleando el principio
de la multiplicación, se tendría que:
Le e 1" qe gr E*
aslento | asiento | asiento | asiento | asiento | asiento
A y pg Vga
=6x5x48x3x2x
1=720
Total de
maneras
Se ha realizado una permutación de 6 elementos, es decir
Pe=P.=6x5x4 x3x2x1=6|=720
Por lo tanto, se pueden ubicar de 720 maneras diferentes.
li. Ahora la cantidad de asientos solamente son cuatro. $e permutaran 6 personas tomadas en
grupos de 4,
T T T I
Totalde_
56 x 5x4 x 3 = 360
maneras
Se ha realizado una permutación de 6 elementos tomados en grupos de 4, es decir:
5 61__72_ 360
(6-4) 2

A ANÁLISIS COMBINATORIO
2. ¿Cuántas palabras se pueden formar ordenando las letras de la palabra ALIENTO, sin importar
que tengan sentido o no?
Resolución
Para formar palabras (con sentido o no), las 7 letras de la palabra ALIENTO deben permutar.
[afiu[i efe [r[o]
Va
Total de
formas
o
= P,=
71 = 5040
APLICACIÓN 3
Luis ha adquirido 4 libros de fisica diferentes y 3 libros de química también diferentes. Si debe ubi-
carlos en un estante con espacio para 7 libros, ¿de cuántas maneras diferentes podrá ubicarlos si los
libros de química deben ir juntos?
Resolución
Gráficamente tendríamos:
5e toma como un solo elemento =]
Como los de quimica forman * =" .
un solo elemento, entonces (N.* de maneras) = 51 Xx 31 = 720
habrian 5 elementos (4Fy10) _______ 1 |
que permutan. Permutan los libros de A
Por lo tanto, se pueden ordenar de 720 maneras diferentes.
Permutación circular
Son los diferentes ordenamientos que se pueden realizar con objetos distintas alrededor de
un círculo.
Si n objetos diferentes se deben ordenar circularmente, se denotará y calculará así:
17

LUMBRERAS EDITORES
a
Ejemplos
1, ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas alrededor de una mesa circular con
espacio para 4 personas?
Resolución
Sean A, B, C y D las personas que se van a ubicar alrededor de la mesa.
En una permutación circular se toma
persona fija un elemento fijo [cualquiera de los
J 4 A elementos) y los demás permutan.
¿O O O [A] —Fijo
permutan B, Cy D
A A A » [6] 05]
Ss O (Ojo O)
)- P.(4) = 31 =6
Por lo tanto, se pueden ubicar de 6 maneras diferentes,
2. Maria, Edith y cuatro amigas se sientan alrededor de un círculo para jugar. ¿De cuántas maneras
pueden ordenarse?
Resolución
Ahora son 6 personas que van a permutar circularmente, entonces el número de formas de per-
mutar sería:
(N.? de formas)=P, (6)=5!=120
APLICACIÓN 4
Si Cristian, Vicky y sus 4 hijos se sientan alrededor
de una mesa circular, ¿de cuántas maneras dife-
rentes se podrán ubicar si los esposos deben sentarse juntos?
18

w" A A teca
Resolución
Gráficamente tendríamos:
Se toma como un solo elemento
permutan
Pe E pr Vv
[N.* de formas)
= 41 x 21 = 48
Permutación lineal con elementos repetidos
Es un ordenamiento lineal cuyos elementos no son todos distintos entre sí, es decir, hay elementos
que se repiten.
Si se tienen n objetos y se ordenan todos a la vez en donde hay un primer grupo de n, Objetos iguales
entre sí de un primer tipo, n, objetos iguales entre sí de un segundo tipo, y así sucesivamente hasta UN
objetos iguales de un k-ésimo tipo; entonces el número de permutaciones se denotará y calculará así:
!
A
Mr tn Xp!
donde A +0 +n,=0
Ejemplos
1. De cuántas formas se pueden ordenar en una fila las siguientes figuras:
000D00uDoo
o
3 veces d veces 2 veces
19

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Se puede observar que hay figuras que son idénticas y deben ser ordenadas en forma lineal;
entonces, el número de formas en que se puedan ordenar será:
91. 4lx5x6x7x8x9
31x41x21 6x41x2
9 ==
Paaia =
= 5x7xBx9 =1260
Por lo tanto, las figuras se pueden ordenar de 1260 maneras diferentes.
2. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra PATATA?
Resolución
Se observa que en la palabra PATATA hay letras que se repiten, es decir:
A AATITRPC
a dl
veces ¿veces 1wez
6l _31x4x5x6
A
321 3x2 D11.— 31x2X1
4x5x6
2
Por lo tanto, las letras se pueden ordenar de 60 maneras diferentes.
= 60
APLICACIÓN 5
¿Cuántas ordenaciones se pueden realizar con las letras de la palabra ARITMÉTICA si en los extremos
deben ir dos consonantes iguales?
Resolución
Si dos consonantes iguales deben ir a los extremos, esa consonante debe ser la “T”. Entonces gráfi-
camente se tendría:
E alililmlelc a
20

ae ANÁLISIS COMBINATORIO
El número de maneras se obtendrá realizando una permutación lineal con elementos repetidos.
a <=.
ABR paa ol!
8l
2121
Por lo tanto, se pueden ordenar de 10 080 maneras diferentes.
=10080
COMBINACIONES
Son los diferentes grupos que se pueden formar con parte o todos los elementos de un conjunto sin
considerar el orden en que son agrupados.
Combinación simple
Son los diferentes grupos o subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto
(tomando parte o todo a la vez), considerando que en los grupos los elementos son diferentes.
Si se dispone de n elementos diferentes y se les quiere combinar (agrupar) de r en r, el número de
combinaciones se denota y se calcula así: :
o M_ dondeO0<rsn
(n—r)jixrl
Ejemplos
1.. Una señora tiene 5 frutas: papaya, piña, fresa, manzana y plátano. ¿Cuántos sabores diferentes
de jugo podrá preparar con 2 frutas?
Resolución
Se dispone de 5 frutas diferentes y se debe escoger 2 (no importa el orden) de ellas para preparar
064844
== liar”
Amr
Por lo tanto, se puede preparar 10 sabores diferentes de jugo.
21

LUMBRERAS EDITORES
Tenga en cuenta
(PERMUTACIÓN) + (COM BINACIÓN)
+ Enlas permutaciones interesa el orden, se busca los ordenamientos.
* Enlas combinaciones no interesa el orden, se busca los agrupamientos.
2, De un grupo de 10 personas se desea conformar una comisión de 3 integrantes. ¿De cuántas
maneras diferentes se puede formar dicha comisión?
Resolución
Son 10 personas y se deben formar grupos de 3 (sin Inge el orden en que son seleccionados).
Entonces:
10
XL
Se forman ]==cu- _TIxBx9x10
rupos de 3) "? Pa 71x31
_8x9x10 o 720
6 6
= 120
Por lo tanto, se pueden formar 120 grupos diferentes para conformar dicha comisión.
Propledades
A continuación se muestran algunas propiedades que se cumplen con el número com-
binatorio.
a. Cp71
b. cp=1
c. Ci=n
d. ar
e Cocca. +c5=2"
22 |

e ANÁLISIS COMBINATORIO
3. ¿Cuántos subconjuntos con más de un elemento se pueden obtener con los elementos del con-
junto A=(1; 2; 3; 4; 5; 6)?
Resolución
Tenemos el conjunto A con 6 elementos y debemos formar grupos de 2, de 3, de 4, de 5 y de 6
elementos. Entonces la cantidad de formas será:
6,6, r6,r6,/p6
(N.2 de formas)=C HOGHCL+C + Céó
6 6 5, pb _p6_p6
=C/+ c+ C,+ Ch+ Cg+ có+ a Co C;
a 6 ¿e 8
= 2 Co C;
=2%*-1-6=57
Por lo tanto, se pueden formar 57 grupos diferentes con más de un elemento.
APLICACIÓN 6
En una reunión se encuentran 6 varones y 4 mujeres. Si se debe formar un grupo mixto conformado
por 3 personas, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá formar dicho grupo?
Resolución
Se tiene:
6 varones 4 mujeres
El grupo mixto debe ser integrado por 3 personas. Puede ser integrada por:
(2Vy1M) O (1Wy2M)
o AE |
(N.? de maneras)= C5 Xx a + c x PON
6! 4! 6! 4l
= x + x
4121 311 Six 21x21
= 15 x 4 +46 x6 = 96
Por lo tanto, se puede formar el grupo de 96 maneras diferentes.
23

LUMBRERAS EDITORES
. "%
APLICACIÓN 7
Si un conjunto tiene 56 subconjuntos ternarios, calcule cuántos subconjuntos cuaternarios tiene.
Resolución
Sea n el número de elementos del conjunto y se tiene 56 subconjuntos (grupos) de 3 elementos.
Entonces:
C3 =56
n!
————
= 56
(N—3)b<31
(n—3)x(n—2)x(n-1)xn =
(n—3)1x<31
56
(n-2)x(n—1)xn _
31 _
56
(n—2)x(n-1) xn=6x56
(n—2)x(n—1)xn=6x7x8
n=B
Nos piden el número de subconjuntos cuaternarios, es decir, debemos formar grupos de 4 elementos.
(3 _8l__4Ix5x6x7x8
27 alxal 41x41
_5x6x7xB 1680
=>—=30
41 24
Por lo tanto, se tiene 70 subconjuntos cuaternarios.
Combinaciones con repetición
Son los diferentes grupos o subconjuntos que se pueden formar con una parte o todos los elementos
de un conjunto, pero considerando que hay elementos que son iguales.
Si tenemos r elementos diferentes y queremos formar grupos de n elementos, se denotará y calculará así:
4 (r+n-1)!
cr =c03 ICAO
(r-1Jixn!
24

a"
- Ejemplos
1. ¿De cuántas formas diferentes se puede comprar 7 pliegos de papel lustre, si los hay de 3 colores
distintos?
Resolución
Se tienen 3 colores diferentes, pero se deben formar grupos de 7.
3 elementos
diferentes
/
po 2x7
se requieren
grupos de 7
=-.
23 su E
Por lo tanto, son 36 las formas diferentes en que se puede realizar la compra.
2. ¿De cuántas formas podemos repartir 8 caramelos iguales entre 3 niñas?
Resolución
Cuando se quiera distribuir objetos iguales en grupos distintos también se utilizará una combina-
ción con repetición.
En este caso tenemos 8 objetos iguales (caramelos) y hay que repartirlos (distribuirlos) a niñas
diferentes, entonces, el número de formas de hacerlo será:
dz 101
cai
- AA
$9 8 lei
_8lx9x10 _9x10
2x8! -2
=45
Por lo tanto, la distribución se puede hacer de 45 maneras diferentes.
25

LUMBRERAS EDITORES a]
Otra forma:
—— —— —
2caramelos | 3 caramelos 3 caramelos
separadores
Se puede ver que cada barra vertical separa la cantidad de caramelos que le corresponderá a
cada niña (pudiendo alguna de ellas no recibir ningún caramelo). Entonces tendríamos un total
de 10 elementos: 8 caramelos iguales y 2 barras iguales, los cuales van a permutar para determi- -
nar la cantidad de formas de distribuir los caramelos. Es decir:
na Á “101 , as
aa”
a CR
Nota
Si queremos distribuir n objetos iguales en r espacios diferentes, entonces el nú-
mero de formas se calculará así:
= 0 -L. (r+n-1)!
fas 1)bxn!
También se puede trabajar como en la segunda forma (separadores), como una
permutación con elementos repetidos.
CR;=
.,
APLICACIÓN 8
¿De cuántas formas puede comprar Gerardo 15 galletas en una tienda que vende galletas de 4 sa-
bores diferentes?
Resolución
Se tienen 4 sabores diferentes de galleta, pero se debe formar grupos de 15. Entonces,
181
cré se +15- La
13: 08 153x151
Por lo tanto, puede comprar las galletas de 816 maneras diferentes.
26

+ PROBLEMAS RESUELTOS
NIVEL BÁSICO
PROBLEMA N.? |
En las elecciones estudiantiles de un colegio se
desea elegir un presidente por aula. Si el 5, de
secundaria lo conforman 13 varones y 16 mu-
jeres, ¿de cuántas maneras puede elegirse al
presidente?
A) 3
B) 13
C) 16
D) 29
E) 208
Resolución
Según el enunciado se desea elegir a un presi-
dente y puede ser
varón O muler
13 + 16 =.29
opciones opciones opciones
Por lo tanto, el presidente puede ser cualquiera
de las 29 personas.
CLAVE áD
PROBLEMA N.” 2
En una reunión conformada por 4 economistas, 8
contadores y 6 abogados se recibió una invitación
para una capacitación. ¿De cuántas maneras se
puede enviar un representante a dicho evento?
A) 32 B) 18 C) 48
D) 192 E) 96
Resolución
Se desea enviar a un representante a la capaci-
tación y puede ser
economista o contador o abogado
4 + 8 + 6 = 18
Por lo tanto, el representante puede ser cual-
quiera de las 18 personas.
_Cuave$)
PROBLEMA N.” 3
Moisés debe realizar un viaje de Lima a Cusco
para visitar a su madre por su cumpleaños y tie-
ne a su disposición 3 líneas aéreas y 4 líneas te-
rrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede
realizar su viaje?
A] 7
D) 16
B) 64 Cc) 8
E) 20
27

LUMBRERAS EDITORES ha]
Resolución
Moisés desea viajar a Cusco y lo puede hacer
por vía:
aérea o terrestre
34 4 = 7
líneas lÍneas lineas
Por lo tanto, Moisés tiene 7 líneas diferentes
para viajar.
_<uve
Y
PROBLEMA N.? 4
¿Cuántos resultados diferentes se obtendrán en
el lanzamiento de dos dados y una moneda?
A) 18 B) 24 C) 36
D) 38 E) 72
Resolución
Se lanzan simultáneamente 2 dados y una mo-
neda.
dado1 dado? moneda
LO,
o
mu
e
uu
h
n
|
mun
e
Lo
hu
A
un
ido.
X
Por lo tanto, se obtienen 72 resultados diferentes.
CLAVE e
28
A) 380
PROBLEMA N.? 5
En la siguiente figura, si cada línea es un cami-
no. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir
de A hacia B?
A) 32 B) 18 C) 48
D) 192 E) 96
Resolución
Para ir de A hacia B se puede hacer de 2 maneras
sin pasar por P
premier? LES,
ASOSO 4.
=>
dd x 3 + 6 = 18
Por lo tanto, se puede ir de 18 maneras diferentes.
_cuve
PROBLEMA N.? 6
Para ¡ir de Ma N se tiene 5 caminos diferentes
y para ir de Na P se tiene 4 caminos diferentes.
Si se quiere ir de M a P y luego regresar a M
siempre pasando por N, ¿de cuántas maneras
diferentes se puede realizar, si de regreso no se
puede
ir por un tramo ya recorrido?
B) 120 Cc) 240
D) 400 E) 360

E ] ANÁLISIS COMBINATORIO
Resolución
Se quiere ir de M a P y regresar a M sin recorrer
un mismo camino. »
ida vuelta
5 x 4 Xx 3 x . = 240
Solo quedan Solo quedan
3 caminos, pues 4 caminos, pues
un camino se un camino se
utilizó de ida. utilizó de ida.
Por lo tanto, existen 240 maneras diferentes,
CLAVE 3 B
PROBLEMA N.* 7
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de
A hacia B sin retroceder?
A) 115 B) 1230 Cc) 2040
D) 3034 E) 2214
Resolución
17
feb
aj
e
de
qa 18
3750
uu
B
3034
74
Ta
Por lo tanto, se puede llegar de 3034 maneras
diferentes.
Otra forma
1.9 Determinamos el número de formas de ir de
A hacia M,
O
2.2 Determinamos el número de formas de ir de
M hacia B.
M» 1 1 l
al 4 5
5 l6 13 15
1 Es so pp]
il
Luego,
(Y) 74 formas me formas
(Total): 74x41=3034
: CLAVE 5
PROBLEMA N.* 8
Cristina debe asistir a una reunión de trabajo y
para vestirse dispone de 4 blusas, 4 pantalones,
5 vestidos y 3 pares de zapatos, ¿De cuántas
maneras diferentes puede vestirse para asistir
a la reunión?
A) 240
D) 63
B) 60 C) 16
E) 108
29

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Se dispone de:
Blusas (8) : 4 prendas
Pantalones (P) : 4 prendas
Vestidos (V) :5 prendas
Zapatos (2) :3 pares
Cristina podría vestirse usando:
ByPyZ o VyZ
4x4x3 + 5x3 =63
Por lo tanto, Cristina se puede vestir de 63 ma-
neras diferentes.
cuave
PROBLEMA N.? 9
¿Cuántas parejas se pueden formar con 6 hom-
bres y 9 mujeres, si cierta mujer no se lleva bien
con 3 varones y no desea formar pareja con ellos?
A) 54 B) 51 C) 48
D) 15 E) 40
Resolución
5e desea escoger una pareja.
1% caso
M : 2? caso
1 q ——,
M,) v v; Y
M5 va mv Y
Y Y Y
Va Va x
M> Vs Vs K
Ma Vs Vé K
B x 6 1x3
30-
a es
= 48 +3
=51
Por lo tanto, se pueden formar 51 parejas dife-
rentes.
_ CLAVE S
PROBLEMA N.? 10
En la etapa final del campeonato de fútbol pe-
ruano, 5 equipos disputan los tres primeros lu-
gares (campeón, subcampeón y un cupo a un
torneo internacional). ¿De cuántas maneras
diferentes pueden ubicarse en los 3 primeros
lugares?
A) 48 Bj) 24 C) 36
D) 120 E) 60
Resolución
Se busca el número de formas en que se pue-
den ocupar los 3 primeros lugares.
| ye lugar 2.2 lugar | 3. lugar]
5 x 4 x 3 => 60
) 4 |
Puede ser Quedan 4 Quedan 3
ocupado por equipos para — equipos para
cualquiera de ocupar el ocupar el
los 5 equipos 2" lugar 3.* lugar
Por lo tanto, se pueden dar de 60 maneras di-
ferentes.
_ciave
Y)

a"
PROBLEMA N.* 11
Tres jóvenes buscan trabajar como ayudantes
en una panadería que tiene 6 locales. ¿De
cuántas maneras distintas pueden trabajar en
la panadería, si se sabe que cada uno de ellos
debe estar en un local diferente?
A) 100 B) 120 C) 80
D) 160 E) 180
UNMSM 2008-11
Resolución
Cada uno de los 3 jóvenes debe escoger 1 local
diferente de los 6 que hay
111
termas) $ % 5x4 = 120
Srs
Puede escoger is Le bli La guedan
de los 6locales S5opciones —4opciones
Por lo tanto, pueden trabajar de 120 maneras
diferentes en locales distintos.
CLAVE d
PROBLEMA N.* 12
El testigo de un asalto a un banco declaró ante
la policía que el auto en que fugaron los ladro-
nes tenía una placa conformada por 2 vocales
seguidas por 3 dígitos diferentes. ¿Cuántos au-
tos deberá investigar la policia?
A) 4500
D) 18.000
B) 3000 C) 12 000
E) 36 000
Resolución
Se desea averiguar cuántas placas diferentes se
pueden obtener con 2 vocales y 3 digitos diferentes.
Vocales Digitos diferentes
PARA PA 2 2 A
T T 1 7 T
5x5 x 10x9x
8 = 18000
Por lo tanto, la policia deberá investigar 18 000
autos.
_cuave$)
PROBLEMA N.* 13
Javier, Rogelio y Peter ingresan a una cabina de
Internet y encuentran 8 máquinas disponibles
de las 14 que hay. ¿De cuántas formas diferen-
tes podrán ubicarse en una máquina disponible
cada uno de ellos?
A) 336 B) 112 C) 240
D) 192 Ej) 22
Resolución
Quedan 8 lugares disponibles que deben ser
ubicados por tres personas,
Javier Rogelio Peter
114
mm. xdes x E = 336
asponbls olas deroribles
Por lo tanto, se pueden ubicar de 336 formas
diferentes.
_cuve
Y
31

LUMBRERAS EDITORES
e
PROBLEMA N.* 14 Resolución
Un barco envía señales a un muelle mediante Sedeben distribuir dos objetos
A y B entres cajas.
banderas izadas en un asta en un determinado Caja 1 Caja 2 Caja 3
orden. 5i se dispone de 6 banderas de colores
diferentes. ¿Cuántas señales pueden emitirse
izando cuatro banderas?
Aj 360 B) 180 C) 720
D) 420 E) 270
Resolución
Se dispone de 6 banderas de colores diferentes
para emitir señales con 4 de ellas.
Por el principio de la multiplicación se tiene
que:
Total de )> 6x5x4x3=360
señales
_cuve Y)
PROBLEMA N.* 15
" Setienen 3 cajas. ¿De cuántas maneras diferen-
tes se pueden distribuir dos objetos A y B en di-
chas cajas, pudiendo ser que ambos queden en
una misma caja?
A]
3
D)
9
Cc) 1
Ej 2
UNI 1997 -1
B)
6
32
“===Y
q. 3 <= 9 oopdones
opciones opciones
Por lo tanto, se pueden distribuir de 9 formas
distintas.
_Cuve
)
PROBLEMA N.? 16
Un grupo de 5 amigos llegan de viaje a un pueblo
y encuentran 3 hoteles disponibles para poder
alojarse. ¿De cuántas maneras diferentes podrán
distribuirse en los hoteles para descansar?
A) 15 B) 125 C) 620
D) 243 E) 234
Resolución
Los 5 amigos deben distribuirse en los tres hote-
les a disposición.
Cada uno tiene 3 opciones de elegir un hotel
ADS E
3x3x3x3 x3= 243
Por lo tanto, se pueden distribuirse de 243 formas.
_cuveY)

"" ANÁLISIS COMBINATORIO
PROBLEMA N.* 17
En una junta vecinal se desea formar un comité
compuesto de un presidente, un vicepresidente,
un secretario y un tesorero, ¿De cuántas mane-
ras diferentes se podrá formar el comité sl para
los cargos de presidente y vicepresidente se pre-
sentaron 6 candidatos, y para los cargos de se-
cretario y tesorero se presentaron 9 candidatos?
A) 1440 B) 1680 C) 2304
D) 2160 E) 720
Resolución
Se desea elegir un presidente (P), un vicepresi-
dente (V), un secretario (5) y un tesorero (7).
Hay
6 candidatos Hay
9 candidatos
Pp — a, A,
PIIV 5 |].F
á | Í V
6x5 x 9x
8 = 2160
Por lo tanto, el comité se puede formar de 2160
maneras diferentes.
_cuve
Y
PROBLEMA N.* 18
¿Cuántos números de cuatro cifras significativas
y diferentes existen en el sistema decimal?
A) 6561 8) 9000 C) 4536
D) 3024 E) 6048
Resolución
Se dispone de las cifras.
(1; 2; 3; 4; 5; 6;7;8;
9)
Entonces
aob.cd
11/44
9xBx7x6= 3024
Por lo tanto, existen 3024 números de 4 cifras
significativas y diferentes.
_CcuveY)
PROBLEMA N.* 19
Cuántos numerales existen de la forma:
Lo Toe
ela)
A) 300; 48
D) 300; 96
B) 350; 96 C) 350; 48
E) 280; 96
Resolución
l. (a 1) (2b) (a + 1) (b+ 1)c
a
|
00d
0
UN
Le
us
tr
—Á
wn
O
A
5E|w-awnno—
il
8
*]
x
X
Lo
1
A
_CuveY)
33

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.* 20
¿Cuántos números de cuatro cifras del sistema
heptanario no poseen al 2 ni al 6 en su escritura?
A) 520 B) 500 C) 440
D) 360. E) 512
Resolución
o be di
A
10.00 Los números
315111 no deben tener
4 3. 3 3 lasofras2nió
5444 en su escritura.
55.5
4x5x5x5=500
Por lo tanto, son 500 números que no tienen al
2 ni al 6 en su escritura.
_cuve Q)
PROBLEMA N.? 21
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar
con las letras de la palabra MONICA, sin impor-
tar si tienen sentido o no?
A) 144 B) 230 C) 720
D) 360 E) 480
Resolución
Como todas las letras de la palabra MONICA son
diferentes, entonces el número de permutacio-
nes será
MONICA
a
PÉ=P¿=6|=720
_cuave
34
ho
PROBLEMA N.* 22
¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicar-
se 7 amigos en una fila, si María y Norma van a
los extremos?
A) 180 B) 72 C) 360
D) 450 Ej) 240
Resolución
Se busca todos los ordenamientos que se pue-
den dar como María y Norma a los extremos y 5
amigos A; B; C; D y E entre ellas.
ellas
Apenas utan
Mas [clol<
permutan
MyN
pa
)- 51 x 2l =240
A
permutan
A,B,C,DyE
Total de
formas
_CuveY)
PROBLEMA N.” 23
Manuel, Diana y 5 amigos van al cine y encuen-
tran 7 asientos libres en una misma fila. Si Ma-
nuel y Diana desean sentarse juntos, determine
de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar.
A) 600
D) 2460
B) 720 C) 1440
E) 5040

sw" ANÁLISIS COMBINATORIO
Resolución
Se deben ubicar con Manuel y Diana juntos
CL 1solo
(m Da, (4,14, |A.| As
L
permutan
¿7 Permutan
My D
Total de
=P¿X 21
formas
=6lx2
=720x2
= 1440
CLAVE 8
PROBLEMA N.” 24
Un palco de 4 asientos es vendido a 2 parejas.
¿De cuántas maneras diferentes podemos aco-
modarlos si cada pareja quiere estar junta?
A) 2 B) 16 Cc) 12
D) 8 El 4
UNI 1996 -1
Resolución
Son dos parejas (Vi Mi; V, Y M,) que se deben
ubicar en un palco de 4 asientos.
Se toma 5e toma
ei ca AG Vi
V¡ |[Mij [Vo M»|
¡€ —
2 elementos
Permuta la pareja 2
Total de 1
das J=aixpuxzt=
Permuta la pareja 1
_cuveY)
PROBLEMA N.” 25
Un estudiante universitario de Matemática Pura
ha adquirido 3 libros de análisis matemático, 2
libros de matemática básica y 3 libros de cálcu-
lo diferencial. Si desea ordenarlos en un estan-
te con 8 espacios, ¿de cuántas maneras podrá
hacerlo, si los libros de un mismo curso deben
estar juntos?
A) 216 B) 432 C) 864
D) 360 E) 720
Resolución
Se tiene 3 libros de análisis matemático (AM), 2
- de matemática básica (MB) y 3 de cálculo dife-
rencial (CD). Se ordena de tal manera que los de
un mismo curso vayan juntos,
1 solo 1 solo 1 solo
de 1 !
demana
ade ]=31x 31 x 21 x 31=432
formas lea
AM MB CD
_CuveY)
35

LUMBRERAS EDITORES
a
PROBLEMA N.* 26
Panchito y cinco de sus amigos forman una fila
en una ventanilla para comprar boletos para los
juegos mecánicos. De cuántas maneras pueden
ubicarse en fila si:
Il. Panchito debe estar en uno de los extremos.
1. Panchito no debe ir al último.
Dé como respuesta la suma de los resultados.
A) 660 B) 840 C) 480
D) 160 E) 540
Resolución
l, o
51=120 51=120
(total)=120+120=240
ia
S opciones
para Panchito
“«————— No puede ir Panchito
(total)=5 x 51=600
opciones de los 5 restantes
Panchito permutan
Piden la suma de resultados
Suma de |_240+6
des]? 90
= 840
_cuveY)
36
PROBLEMA N.* 27
Cuatro varones y tres mujeres asisten al teatro
y encuentran una fila con 7 asientos vacíos. ¿De
cuántas formas diferentes se podrán ubicar si dos
personas del mismo sexo no pueden estar juntas?
A) 184 B) 480 C) 144
D) 288 E) 72
Resolución
Para que dos personas del mismo sexo no estén
juntas, se deben de ubicar de forma intercalada.
Es decir
Entre ellas permutan
AAA
V, ¡My | V¿ | M2 | Va [M3 | Va
Í Í Í
Entre ellos permutan
(Total)=41x3!
= 24x6
= 144
_CuaveY)
PROBLEMA N.* 28
Hilda invita a cenar a 5 de sus amigas. ¿De cuán-
tas formas podrán ubicarse Hilda y sus amigas
alrededor de la mesa, si Hilda debe sentarse al
lado de Nataly?
A) 24
B) 48
C) 720
D) 360
E) 72

'
Resolución
Se deben ubicar en total 6 personas y 2 de ellas
juntas (Hilda y Nataly).
5e toma como 1 solo
B
PO y N
(Total)= P (5)x2!
=41|x 21=48
_Ccuve
Y)
PROBLEMA N.* 29
Cuatro parejas de esposos ingresan a un restau-
rante y se sientan alrededor de una mesa cir-
cular, ¿De cuántas maneras diferentes podrán
ubicarse si Julián desea sentarse lo más alejado
posible de su esposa?
A) 720 B) 360 C) 1440
D) 480 E) 560
Resolución
Se sientan alrededor de una mesa 4 parejas de
O ao
El E
O o A
[CT] Esposa
de Julián
Para que Julián esté lo más lejos de su esposa,
ella debe estar frente a él, y solo permutan las
otras 6 personas.
(total)=6!=720
_ciave
QU)
PROBLEMA N.” 30
¿Cuántos collares distintos se pueden confec-
cionar con siete zafiros diferentes?
A) 480 B) 210 Cc) 720
D) 360 E) 420
Resolución
Se tienen 7 zafiros diferentes.
Observación:
a
A
Son iguales
(se obtienen al voltearlas)
(total) A == =360
Se repiten los casos] :
al voltear el collar.
_cuave
Y)
37

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.”* 31
Pepito tiene 10 carritos: 2 de color blanco, 3 de
color azul y 5 de color rojo. ¿De cuántas formas
se pueden ordenar en fila según el color de tal
manera que los carritos blancos estén en los ex-
tremos?
A) 56 B) 72 C) 84
D) 48 E) 96
Resolución
Se desean ordenar los 10 carritos según el color,
silos de color blanco van a los extremos.
CaaarREarRara
8 8l
3531 51
Por lo tanto, se pueden ordenar de 56 maneras
diferentes según el color.
_cuave
Y
PROBLEMA N.” 32
¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden -
formar con las letras de la palabra MANZANILLA?
A) 45 000 8) 48 600 C) 75600
D) 151 200 E) 302 400
Resolución
Debemos ordenar las letras, pero algunas son
iguales. Se trata de una permutación con ele-
mentos repetidos.
38
Se tiene:
MANZANILLA
HU
A —3 veces
N —
2 veces
L — 2 veces
M — 1 vez
d — 1ve:
| — 1vez
Persia de J= plo, ¿O
palabras! 32281::1" 212121111111
10!
= ————= 151200
31 21x21
_cuave
Y)
PROBLEMA N.* 33.
¿Cuántos números de 6 cifras existen tal que el
producto de sus cifras sea 157?
A) 24 B) 120 C) 30
D) 12 Ej 360
Resolución
Para que el producto sea 15, las cifras deben ser
3,5;1;1;1y1.
Entonces,
3511331 — 700-135
——
6l
A A
4 al
Por lo tanto, existen 30 números de 6 cifras cuyo
producto es 15.
_cuave

$ === ANÁLISIS COMBINATORIO
PROBLEMA N.* 34
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar
los elementos del conjunto A=(a; b; e; d; e; f; g)
en la siguiente figura?
dE
A) 840 B) 420 C) 5040
D) 2520 E) 720
Resolución
O O ps una
O permutan alrededor
03 O
Los demás per-
matan dlredador
und = 7 xP16)
formas Se ubica una :
letra al centro.
== 7 x 5]
= B40
_cuveY)
PROBLEMA N.* 35
¿Cuántos mensajes diferentes se pueden obte-
ner ordenando en fila 3 puntos, 4 lineas vertica-
les y 3 asteriscos?
A) 2100
D) 7200
B) 4200 Cc) 5600
E) 10400
Resolución
Piden los diferentes tipos de mensajes que se
pueden obtener, y estos se obtendrán permu-
tando los simbolos.
li o..
pu
10 101
4:
Pp. == 4200
34:37 31 41x31
Por lo tanto, se obtienen 4200 mensajes dife-
rentes,
_cuaveY)
PROBLEMA N.* 36
¿De cuántas maneras diferentes se pueden or-
denar 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres y 2 peones
(todas blancas) en la primera fila del tablero de
ajedrez?
A) 2400 B) 1260 C) 4230
D) 2520 E) 5040
Resolución
Se debe ordenar 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres
y 2 peones en la primera fila de un tablero de
ajedrez.
ps _ 3
242 21 212121
=2520
_Cuave
Y)
39

LUMBRERAS EDITORES
perlita
La liga peruana de fútbol consta de 16 equipos. Un apretón de manos se da entre 2 personas.
¿Cuántos partidos deben jugarse para comple- Entonteas:
tar la primera rueda?
Saludos entre Saludos entre
A) 60 B) 120 C) 80 varones mujeres
Número de DN a
D) 96 E) 112 | apretones |=CP ¿4 cl
de mano s z
Resolución 121 141
Para jugar un partido debemos seleccionar a 2 “01x21 + 12121
equipos de los 16 que hay.
e de), 06 _ JO x11x12 " 121 x13x14
partidos] “2? 101 x2 qa4x2
Y _ 1x2 | 13x14
141x21 2 2
_ MÍx15X16 = 66 +91
141x2
= 157
_15x16
2 twitter.com/calapenshko _cuave Y)
=120
Por lo tanto, se jugarán 120 partidos.
_ciave Y)
PROBLEMA N.* 38
En un reencuentro de amigos asisten 12 varo-
nes y 14 mujeres. ¿Cuántos apretones de mano
habrá entre personas del mismo sexo?
A) 145
D) 175
B) 120 C) 157
E] 122
40
PROBLEMA N.* 39
De un grupo de 6 mujeres y 5 varones se desea
formar una comisión de 4 personas. ¿Cuántas
comisiones distintas se pueden formar, si debe
haber al menos un varón y una mujer?
A) 310
B) 280
C) 440
D) 260
E) 360

e .
Resolución
Se debe seleccionar a 4 personas donde se en-
cuentre al menos 1 varón y 1 mujer. Se tendría
los siguientes casos:
(1Vy3M) o (2Vy2M) o (3Vy 1M)
5
Sd 4 ds qá
5x20 + 10x15 + 10x6
100 + 150 + 60=310
Por lo tanto, se puede formar la comisión de
310 formas.
_Cuve
PROBLEMA N.* 40
Si con n elementos se pueden formar 84 sub-
conjuntos ternarios, calcule n.
A) 7 B) 8 Cc) 9
D) 10 E) 11
Resolución
Con n elementos se forman 84 grupos (subcon-
juntos) de 3 elementos, entonces
C3=84
_ nm =YBA
(n—3)1x31
(03% x(n-2)x(n-1)x<n il
0-3 x31
ln E =P 84
(n—2)(n-1)n=84x6
AS xBx9
n=59
_CuaveY)
PROBLEMA N.* 41
En un baile escolar la profesora forma parejas
extrayendo de una bolsa el nombre de un niño
y de otra bolsa el nombre de una niña. Si en el
aula hay 9 niños y 7 niñas, ¿cuántas posibles pa-
rejas distintas se podrían formar?
A) 63 B) 5040 C) 45360
D) 181 440 E) 196
UNI 1998 -11
Resolución
Para formar parejas se debe elegir el nombre de
un niño y de una niña.
Entonces:
Total de po tn
posibles parejas) ? * ? =83
Por lo tanto, se pueden formar 63 parejas dis-
tintas.
_cuave Y)
PROBLEMA N.” 42
Una prueba consta de 8 enunciados, en los cua-
les se debe indicar si son verdaderos o falsos.
¿De cuántas maneras diferentes se podrá con-
testar dicha prueba?
A) 16
B) 64
C) 128
D) 256
E) 512
41

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Cada pregunta tiene 2 opciones. Entonces,
PIP [Pz [Ps Pa
VoWV VW V V
FORCE F F
A |
Total de lL2x2x2x2x..x2
anera
= 2?
= 256
Por lo tanto, se puede contestar de 256 mane-
ras diferentes.
_CaveY)
PROBLEMA N.* 43
El abuelo César tiene 2 chocolates iguales y 3
caramelos iguales. ¿De cuántas maneras dife-
- rentes podrá distribuir las 5 golosinas a sus 5
nietos si cada nieto recibe una golosina?
A) 6 B) 10 C) 12
D) 16 E) 20
Resolución
Se debe distribuir 2 chocolates y 3 caramelos a
5 nietos.
nieto 1 nmetod meto3 nieto4 mietos5
Y
Permutaremos las cinco golosinas
42
Total de pios 51
formas | "327 3121
_ 120
6x2
=10
Por lo tanto, se puede distribuir de 10 formas
diferentes.
_cuaveY)
PROBLEMA N.” 44
¿Cuántos números de 5 cifras significativas del
sistema nonario existen de tal manera que el
producto de sus cifras sea un número impar?
A) 64 B) 128 C) 256
D) 512 E) 1024
Resolución
Para que el producto de cifras sea impar, nece-
sariamente todas las cifras tienen que ser impa-
res. Entonces,
-
Qu
0
=d
LA
a
A
—Á
=)
LA
a
is
—
sd
AN
pk
EY
=d
UN
ul
mn
—
En
frase de JA xá
umerale
= 1024
Por lo tanto, hay 1024 números que cumplen la
condición.
_cuave Y)

e"
PROBLEMA N.* 45
¿De cuántas formas diferentes se podrá premiar
a los 3 primeros puestos en la etapa final de un
concurso de matemáticas con medallas de oro,
plata y bronce si en esta última etapa clasifica-
ron 20 estudiantes?
A) 6840
B) 3420
C) 1140
D) 4520
E) 2680
Resolución
Para premiar a los estudiantes, se tiene que
puede recibirla puede recibirla puede recibirla
cualquiera de —Cualquierade cualquiera de los
los 20 estu- los 19 estudian- 18 os
Muria salis ais
restantes
medalla medalla
de oro de plata Dar
broeá
pa )* 200 x 19 x 18
formas
Por lo tanto, se puede realizar la premiación de
6840 maneras diferentes.
_cuave QU)
PROBLEMA N.* 46
Un club deportivo tiene 15 miembros y se pre-
sentan candidaturas de 3 integrantes para elegir
un presidente, un vicepresidente y un secreta-
rio. ¿Cuántas candidaturas diferentes pueden
formarse si cualquier miembro del club puede
ocupar cualquier cargo?
A) 1260 B) 640 C) 2370
Dj 2730 E) 2980
Resolución
Para formar una candidatura se tiene que:
puede ocuparla
cualquiera de los quedan 14 quedan 13
15 miembros opciones opdlones
| | |
Presidente | Vicepresidente | Secretario
Totalde Y 15 x 14 x 13
candidatos)
= 2730
Por lo tanto, se pueden formar 2730 candidatu-
ras diferentes.
_cuave
Y
PROBLEMA N.* 47
Una familia compuesta por papá, mamá, hijo,
hija y abuelita posan para una foto en5 sillas
alineadas. Si la abuelita ocupa la silla central,
¿de cuántas formas pueden distribuirse las per-
sonas para la foto?
A) 25 B) 4 c) 20
D) 120 E) 24
UNMSM 2004-11
43

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Gráficamente se tendría:
serárocupados por el papá,
la mamá, el hijo y la hija,
además permutan entre ellos
| | ] 1
fijo
Total de L
formas 4l
=4x3x2x1
=24
Por lo tanto, se pueden ubicar de 24 formas di-
ferentes.
_cuave)
PROBLEMA N.” 48
María tiene 3 DVD de películas de terror, 2 de co-
media y 4 de acción. Si los quiere ordenar en un es-
tante de tal manera que los de un mismo género va-
yan juntos, ¿de cuántas formas los podrá ordenar?
A) 864 B) 1728 C) 720
D)| 1820 E) 1278
Resolución
Gráficamente se tiene que:
terror comedia acción
A
pu np e,
TIRITNIC 6 1A, 142 | As | Ay
|
i solo i solo 1 solo
Permutan
Cc Permutan
TF
pitón 5 A yO A
AV rormas 939% x 2lx 41
Do Permutan T; CyA
Permutan
= bx6x2x24
= 1728
Por lo tanto, se pueden ordenar de 1728 formas
diferentes.
_cuave QU)
PROBLEMA N.* 49
¿Cuántos partidos deben programarse en un
campeonato de fútbol de dos ruedas en el que
intervienen 12 equipos?
A) 142 B) 124 Cc) 120
D) 108 E) 132
UNMSM 2004
- 11
Resolución
Para programar un partido se debe seleccionar
a 2 equipos de los 12 que hay. Entonces:
Primera rueda — Segunda rueda
Total de|_ .12 12
Hino 1 + a
= zo
121
5 XxX
2 101x M
AL 1112
101
= 132
Por lo tanto, se deben programar 132 partidos.
_Cuave E)

e
PROBLEMA N.? 51
NIVEL INTERMEDIO
En el Congreso de la República se desea formar
PROBLEMA N.* 50 la comisión de ética para la investigación de cier-
En un sistema de ejes coordenados, una hormi-
ga se encuentra en el punto (-4; —-5) y desea
desplazarse hasta el punto (2; 3). ¿De cuántas
formas diferentes podrá llegar a su destino sin
retroceder ni pasar por el origen del sistema de
coordenadas?
A) 1477 B) 1743 C) 1760
D) 1250 E) 1648
Resolución
Gráficamente
h punto
1 09 45 d6s |369 783 (e; 3)
1743
1 8 36 [120 |204 |414 [960
1 7 28 |34 Jas [210 |546
1 6 21 ¡56 126 [336
1 a 10 20 35 56 84
Por lo tanto, puede ir de 1743 maneras.
_cuve Q)
tos congresistas, para ello se reúnen 10 congre-
sistas del partido A, 8 congresistas del partido
B y 6 congresistas del partido C. ¿De cuántas
maneras diferentes se puede formar dicha co-
misión si debe estar compuesta por 7 congre-
sistas donde debe haber al menos dos de cada
partido?
A) 56 700
B) 52600
C) 423000
D) 120 600
E) 113 400
Resolución
Hay
10 congresistas del partido A
8 congresistas del partido B
6 congresistas del partido €
Se debe seleccionar a 7 de ellos, donde debe
haber al menos 2 de cada partido.
(3A y 2B y 2C) 0 (2A y 3B y 2C) o (2A
y 2B y 3C)
10 10
e do + O7xc3x CS + CAGA
120x28x15 + 45x56x15 + 452820
50 400 + 37800 + 25200
113 400
_ CLAVE S
45

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.* 52
Para ir de Lima a Trujillo hay 8: líneas de trans-
porte diferentes y para ir de Trujillo a Huancha-
co hay 5 líneas de combis diferentes. ¿De cuán-
tas maneras diferentes puede ir María de Lima a
Huanchaco y regresar pero en líneas diferentes?
A) 560 B) 800 C) 1600
D) 1120 E) 1240
Resolución
5e tiene que
8 lineas 5 líneas
O) — A — Ga
Total de . y unta>
formas 1 x dx
= 40 x 28
= 1120
_cuve (Y)
PROBLEMA N.”* 53
Al cumpleaños de Germán asisten 7 amigos y 5
amigas. 5 al ritmo de la orquesta Germán deci-
de cantar una canción y sus amigos en la pista
deciden bailar, ¿de cuántas maneras pueden in-
tegrarse en parejas para bailar?
A) 120
D) 2520
B) 1260 C) 1890
E) 5040
46
a
Resolución
En la pista de baile hay 7 varones y 5 mujeres
que deben formar parejas de baile.
Consideremos que las mujeres escojan a su pa-
reja de baile
M, | M, | My | Ma | Ms
E y 1
=7x6x5x4x3
Total de
opciones
= 2520
_cuveY)
PROBLEMA N.* 54
De un grupo de 10 mujeres y 14 varones, ¿de
cuántas maneras se puede escoger de entre
ellos 2 parejas para un baile?
A) 4095 B) 8240 Cc) 8190
D)] 7840 E) 7920
Resolución
Hay 10 mujeres y 14 varones, de los cuales se de-
ben seleccionar 2 mujeres y 2 varones para que
bailen.
Sean VW, VW, MI, y MA,
los seleccionados al bailar
V, y M, o V, y M,
VW YM, ) (W,yM,
total d ms y Evan
e
| cz xr x2
=45 x91 x2
= 8190
_cuve Y)

Y
PROBLEMA N.? 55 Resolución
Jesús debe pintar una bandera que tiene 5 fran- — Dígitos: (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7)
jas horizontales y para ello dispone de cuatro
¡A o cero
colores diferentes de pintura: rojo, verde, ama-
rillo y blanco. Si dos franjas contiguas no pue-
den pintarse de un mismo color, ¿de cuántas
maneras distintas se podría pintar la bandera?
A] 648 B) 1024 C) 256
Dj) 423 E) 324
Resolución
Se tiene 4 colores R, V, A y B.
—= dl COÑOMES para escoger
.otn | Solo quedan 3
— | colores
para escoger
Foral de > 4x3x3x3X3=324
maneras
_cuveY)
PROBLEMA N.* 56
En un asalto al banco, un ladrón quiere abrir la
bóveda cuya clave consta de 5 dígitos. Solamen-
te sabe que los dígitos posibles a utilizar son los
mismos que sé utilizan en el sistema octanario y
"que el primer y último dígito deben ser impares
o cero. ¿Cuántos intentos como máximo deberá
realizar el ladrón para poder abrir la bóveda?
A) 12800
D) 6540
B) 5488 C) 6400
E) 16807
bol
5x 8x8x8X5= 1280
CLAVE [
PROBLEMA N.* 57
Sean los conjuntos
V=([A; E; 1; O; U)
B=(1; 2; 3; 4; 5; 6)
Se desea elaborar placas (para autos) de la for-
ma v,v,b,b,b,b, donde v, € V; b,€ B de mane-
ra que no existan dimbalos repetidos. Entonces
el número total de placas diferentes será
A) 7200 B) 1321 C) 480
D) 32 250 E) 32 400
UNI 2005 - 11
Resolución
Se tienen los conjuntos
V=(A,E,1,0,U) B=([1; 2; 3; 4; 5; 6)
Entonces
E V eEB
La 4 E .
Vi |V b; ba bz Da
Í 1 / ¡ Í |
5x4x6x5x4x3
= 7200
CLAVE
47

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.? 58
Leonardo desea llamar por teléfono a su ena-
morada Lucero pero solo recuerda los 4 prime-
ros dígitos y que los 3 últimos digitos son iguales
pero diferentes de cero. Si cada llamada cuesta
5/.0,40, ¿cuánto debe invertir como máximo,
para poder llamar a Lucero?
Aclaración: el número telefónico consta de 9
dígitos.
A) 5/.420 B) S/400 C) S/.360
D) S/.285 E) 5/,340
Resolución
Se conocen los 4 primeros dígitos, solo falta
averiguar los últimos 5 digitos. :
son iguales
LAA AÁAAÁáA,
XK XxX |A
o
10x10 x 39
total de
(T números
= 900
Luego, A Ó
llamada
Total de > 900 x(S/.0.40)
invertir
= 5/.360
_cuave
Y)
PROBLEMA N.* 59
Una familia compuesta por un padre, una ma-
dre y 3 hijos (1 varón y 2 mujeres) salen de pa-
seo al campo. ¿De cuántas formas se pueden
acomodar en un auto de 5 asientos, si solo los
varones saben manejar?; además, al lado del pi-
loto debe ir una mujer.
A) 32
D) 36
B) 18 C) 24
E) 48
48
Ga a
Resolución
En el auto abordarán 2 varones y 3 mujeres,
2 opciones
los 3 que van atrás
pueden permutar
Total de
más J=2xaxa!
=2x3x6
= 36
_Cuave
Y)
PROBLEMA N.* 60
¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se
pueden formar con las cifras 1,3, 4,5,7,8 y 9 si
estos deben ser mayores que 60007?
A) 360 B) 420 C) 240
D) 180 E) 280
Resolución
$e tienen 3 casos:
A
6x5x4 + 6x5x4
120 + 120 + 120
6Bx5x4 +
> (Total de números)=360
_cuveY)

II A A A ..
En un matrimonio civil comunitario 5 parejas de Gráficamente se tendría:
esposos posan en fila para una fotografía, ¿De: 1 solo
cuántas maneras pueden ubicarse si los miem- Alblicio
bros de cada pareja deben aparecer juntos?
i +PermutanJ y E
A) 960 8) 1920 C) 3840 (Total de formas)=61x2!
D) 5040 E) 7220
=720x2
. =1440
Resolución
Gráficamente tendríamos: _cuave (Y)
isolo 1solo isolo 1solo 1solo
Va [Mi] Va [M,] V3 [Ma] Va [Má] Vs [M5
: PROBLEMA N.* 63
xi xd x2 x2 xa
(Total de maneras) = 51x2x2x2x2x2
= 3840
_ciave
PROBLEMA N.?” 62
Johnny, Eliana y 4 amigos más van al teatro
y
encuentran disponibles 8 asientos vacios en
una misma fila. ¿De cuántas formas diferentes
se podrán ubicar si entre Johnny y Eliana debe
haber un asiento vacio?
A) 680
B) 1440
C) 720
D) 240
E) 1260
Una familia compuesta por papá, mamá y sus 4
hijos asiste al cine y encuentran una fila con 9
asientos vacios. ¿De cuántas maneras diferen-
tes se podrán ubicar, si los padres deben sen-
tarse juntos?
A) 4500
B) 6220
C) 6720
D) 13440
E) 8420
Resolución
Sean las personas: P; M; A; Hu H, Y Ha
Entonces, graficando se tendría
Astentos vacios
amenos ns)
zea 1.4.1
p m]a H¿|H3|Ha
LA 1.1117
B elementos
49

LUMBRERAS EDITORES
Se tendría una permutación con elementos re-
petidos.
Permutan Py M
Total de Bl
formas lara
S _—__———Ey
11 111111131
40320
6
=6720x2
=13 440
x2
_cuve Y)
PROBLEMA N.* 64
Ocho amigos (3 mujeres y 5 varones) se sientan
en una fila con 8 asientos. ¿De cuántas maneras
pueden ubicarse si las mujeres deben estar jun-
tas y Jaime se sienta al lado de Erick?
A) 1240 B) 1440 c) 1120
D) 1280 E) 1410
Resolución
Gráficamente se tendría
AA A
M,|M¿| M3 |V1 | Va | Vall J | E
ti NADIA ID
1 solo 1 solo
Permutan las mujeres
id Permutan y E
Total del 21,1%21
formas
=120xb6x2
=1440
_cuave Y)
50
e e ll
PROBLEMA N.* 65
Seis amigos (3 varones y 3 mujeres) van de cam-
pamento y por la noche hacen una fogata. Indi-
que de cuántas formas se podrán sentar alrede-
dor de la fogata en los siguientes casos:
* > Silas mujeres desean sentarse juntas.
+ Si Ana y Betty desean sentarse lo más lejos
posible.
l
A) 36; 48 B) 36; 24 C) 72,24
D) 48; 48 E) 36; 18
Resolución
1 solo
V/ PS
Va
Y
ur las
Total de mas
formas Je apa!
=3 1x3!
=36
CH)
— fio
E 67
E] 17
(Hey)
Fijamos a una persona (Ana) y como Betty
está frente a ella, también se fija a ella.
Todos permutan, menos
(Ana y Betty
Total de
formas
=24
_Cuave

e A ANÁLISIS COMBINATORIO
PROBLEMA N.* 66
Seis hermanas ingresan al cine acompañadas de
sus enamorados y de sus 3 hermanos menores.
Si encuentran 15 asientos vacios en una fila, ¿de
cuántas maneras podrán sentarse de tal manera
que los hermanos no separen a ninguna pareja?
A) 121x2? B) 91x2? C) 81x2*
D) 101x2 E) 121x2*
Resolución
Para que los hermanos menores no separen a
sus hermanas de sus enamorados, necesaria-
mente las parejas deben estar juntas.
1 solo. 15olo 15olo slo e 1 solo
Total de |-o x2x2x2x2x2x2
formas
=91x 28
_cuveY)
PROBLEMA N.”" 67
Un grupo de 4 varones y 3 mujeres se deben
ubicar en una fila. ¿De cuántas maneras dife-
rentes se pueden ubicar si las mujeres no deben
estar juntas por ningún motivo?
A) 1440
B) 720
C) 1280
D) 672
E) 848
Resolución
Primero fijemos a los varones y después ubica-
mos a las mujeres de tal manera que no hayan
2 mujeres juntas.
5 lugares para ser ocupados por M,; M, y M,
Y lv Ya 1 Va
permutan
tds
ce J=alx5xax3
=1440
_cuveY)
PROBLEMA N.* 68
Lucero, Francesca, Mariela, Karen, John, Leo-
nardo, Kike y Omar ingresan a la piscina y se
colocan alrededor de un flotador. ¿De cuántas
maneras diferentes se podrán ubicar si los varo-
nes no pueden estar juntos?
A) 120 B) 72 C) 360
D) 144 E) 36
Resolución
Deben ubicarse de forma intercalada.
John Leonardo
Permutan las a
Permutan varones
[ta de a "
al x41
=6x24
=144
_cuave
51

PROBLEMA N.* 69
_¿De cuántas maneras 3 argentinos, 4 peruanos,
4 chilenos y 2 bolivianos pueden sentarse, orde-
nadamente, en una mesa redonda de modo que
los de la misma nacionalidad se sienten juntos?
A) 3456 B) 6912 C) 20736
D) 41472 E) 165 888
UNI 2002 - 11
Resolución
Los de una misma nacionalidad deben estar juntos.
Total de
formas
) =p (A)x3Ix41xaDx2!
=31x31x41x41x21
=6x6x24x242
=41 472
_cuveY)
PROBLEMA N.* 70
Un grupo de seis amigos deciden ir de campa-
mento y en la noche realizan una fogata, ¿De
cuántas formas se podrán sentar alrededor de la
fogata si dos de ellos no pueden sentarse juntos?
A) 36
D) 96
B) 72 C) 78
E) 112
52
recon Y
Resolución
Sean A, B, C, D, E y Flos amigos. Consideremos
que E y F no deben estar juntos.
1. Ubicamos a los amigos A, B, C y D.
2. Luego ubicamos a E y F de tal manera que
no estén juntos.
a
S
Quedan
á espacios
para EyF
[07
A
AB,CyDE E
A, pa pl,
=P (4)x4x3
= 3 x4x3
=)?2
Total de
formas
_cuve
Q)
PROBLEMA N.* 71
El chef Juan invita a cenar a 5 de sus amigos y
deben de escoger entre dos platos distintos que
ha preparado. ¿De cuántas maneras diferentes
se podrán ubicar alrededor de una mesa circu-
lar con 6 asientos de colores diferentes numera-
dos del 1 al 6 y escoger un platillo, si importa el
color de la silla en que se ubican?
A) 32560
B) 29210
C) 58420
D) 23040
E) 46.080

"O ANÁLISIS COMBINATORIO
Resolución
Como los asientos son de colores diferentes y
nos importa el color de la silla en que se ubican,
entonces:
permutan 6 personas en hay 2 opciones
para
6 asientos de colores escoger un platillo
diferentes [importa el color)
Total de
formas
Lota Ia 2 x2x2
=7 2064
=46 080
_CLave d
PROBLEMA N.* 72
Seis amigos van a una pastelería en la que se
sientan alrededor de una mesa circular y cada
uno de ellos elige un tipo de pastel de los 6 tipos
diferentes que hay. ¿De cuántas maneras pue-
den ubicarse y hacer su pedido si a 3 de ellos solo
les gusta 3 de los 6 pasteles que hay?; además,
Emanuel se sienta al lado de su novia Eliana.
A) 559872
B) 279936
C) 139968
D) 69 984
E) 23328
Resolución
1. Se ubican en la mesa (2 de ellos juntos).
2.” Escogen su pastel (3 de ellos tienen 6 opcio-
nes, y los otros 3 tienen 3 opciones).
Seubican y escogen pastel
o ne Ps(5)x21 x 6x6x6x3x3x3
=41 x2lx 6xbxbx3x3x3
=48 x 5832
279936
| _cuve
PROBLEMA N.* 73
Se lanza una moneda 10 veces, ¿de cuántas mane-
ras diferentes se pueden obtener 5 caras y 5sellos?
A) 245 B) 252 C) 248
D) 225 E) 235
Resolución
Se tiene que
rrrrserrro
TT ECO
ccc c c 55555
El número de formas que pueden salir 5 caras y 5 sellos
será permutando
estos elementos
Número de =p10
maneras | 55
101
101 = 252
Sh<5!
_cuave
GD)
53

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.* 74
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubi-
car 3 parejas de esposos en una fila con 8 asien-
tos, si cada pareja desea estar siempre junta?
A) 480 B) 240 C) 360
D) 600 E) 960
Resolución
Sean las parejas V My; v,-M, y v," M,.
Al ubicarlos en una fila con 8 asientos se tendría.
V, [Mi | V¿|M,| V3 [M3
4
1 solo 1 solo isolo 2 asientos vacios
(se considera como
elementos iguales)
Total de 5 3
formas Jan. 1,1; q
= A
11x11x11x21
= 3
2l
= 480
_cuaveY)
PROBLEMA N.* 75
Con todas las letras de la palabra ALIBABA,
¿cuántas palabras diferentes se podrán formar,
si las vocales deben ir a los extremos?
A) 180
D) 60
B) 150 Cc) 120
E) 80
54
Resolución
Se tendrian 2 casos:
Os
A|LIBAB|A o AIBABA|/
AAA o
q 5
Poa1,2 E Pr 292!
51 51
c+
1x11x11x21 11x21x 21 A
51. 5
— + —
2l 2
50 +60
120
_cuave
)
PROBLEMA
N.* 76
¿Cuántos números de 8 cifras del sistema octa-
nario cumplen que el producto de sus cifras es 8?
A) 56 B) 112 Cc) 120
D) 48 E) 28
Resolución
Se tendría 2 casos
Permutan las cifraz
ES
(/1f111/1f1/2/4/0 (1/1f13f1/1[2/2/2]
Pe, 151 * es 3
_2 . BL
6lx11x 1! 531
56 + 56
112
_ciave$)

e a
PROBLEMA N.? 77
¿Cuántos numerales de 7 cifras del sistema sena-
rio existen tal que la suma de sus cifras sea 33?
A) 18 B) 20 C) 24
D) 25 E) 28
Resolución
Se tendrían 2 casos
Permutan las cifrás
LAS
[sIs[sisi5Is[3]0 [sIsi5[5|5[a]a)
7 7
Po.1 + Ps.
7 71
—— +
6lx 1! 5ix 21
7 + 21 = 28
_Cuave
Y)
PROBLEMA MN.” 78
Si (m, n, p, q) < Z¿, determine el número de
soluciones que tiene la ecuación:
m+n+p+q=10
A) 268 B) 286 Cc) 432
D) 143 E) 232
Resolución
Podemos — utilizar separadores como
m+n+p+g=10, entonces
TE A A |||
A
10 unidades 3 signos (+)
Permutando las + y los | se encuentran las
soluciones. Por ejemplo, una solución sería:
sae kasado mía 6d
A»
y
3 + + 2 + 3 = 10
13
- (NS de soluciones) =P23., =——
10:37 101x31
_ MÍ 11 12x13
10Í x6
11x12x13
6
=286
_cuveY)
PROBLEMA N.” 79
Rosita tiene 12 amigas y el fin de semana or-
ganizará una cena, ¿de cuántas maneras puede
invitar a 6 de ellas si Karina debe asistir de todas
maneras?
A) 720 B) 792 C) 116
D) 232 E) 462
Resolución
Como Karina asiste a la cena, entonces solo falta
invitar a 5 amigas de las 11 restantes.
(N.2 de maneras) =cY =
6!x 51
_ BÍx7xBx9x10x11
_ BÍxs!
_7x8x9x10x11
- 120
= 462
_ciave
55

LUMBRERAS EDITORES *
PROBLEMA N.* 80
En una circunferencia se ubican 9 puntos,
¿cuántos cuadriláteros convexos con vértices
en esos puntos se pueden construir?
A) 3024
B) 63
C) 126
D) 144
E) 252
Resolución
Gráficamente se tiene
Para construir un cuadrilátero se necesita unir
4 puntos.
- Escogemos 4 puntos de un total de 9.
Número de g ql
cuadriláteros) —* 5x4!
_BÍX6X7X8X9
Six
4!
_6x7x8x9
24
=126
_cuve
Y
56
PROBLEMA N.' 81
Un equipo de fulbito consta de 10 jugadores, si
solo deben salir 6 a la cancha, ¿de cuántas ma-
neras se puede seleccionar al equipo si Samuel
no puede jugar al lado de Cristian?; además, el
equipo cuenta con 2 arqueros.
A) 72 B) 28 C) 96
D) 78 E) 84
Resolución
Resolvemos el problema de forma indirecta,
Para seleccionar a los jugadores que saldrán a la
cancha debemos escoger 1 arquero y 5 jugadores.
Casos ( cuando Samuel y
totales Cristian juegan juntos
(1Ara.) y (Siue) (1
Ara) y (2
uel
xn - 2x €
8! 6!
” 2 x
31x5! 31x31
112 - 40
72
_cuave
PROBLEMA N.* 82
Un equipo de béisbol consta de 6 jardineros, 7
jugadores de cuadra, 5 lanzadores y 2 receptores
(entre titulares y suplentes). ¿De cuántas formas
diferentes se puede elegir un equipo de 9 juga-
dores, sabiendo que deben haber 3 jardineros, 4
jugadores de cuadra, un lanzador y un receptor?
A) 7 8) 70 C) 700
D) 7000 E) 70.000
UNI 1999 -1

al z
Resolución
Se tiene:
Jardineros —6
J, de cuadra => 7
Lanzadores 5
Receptores — 2
Se necesita
(3 jard.) y (4 cdra.)
y (1 lanzador) y (1 receptor)
-7 -5
CS xo Cc Xx G x d
20 xx 3-5 x 5 xXx 2
_cuave
7000 formas diferentes
PROBLEMA N.* 83
En un plano existen n puntos, en el que no hay
más de dos que sean colineales y con los cuales
se forman segmentos tal que el número de es-
tos es igual a 5n. Halle el valor de n.
A) 8 B) 9 Cc) 10
D) 11 E) 15
UNMSM Z010-1
Resolución
5e tiene un plano P con n puntos
Para formar un segmento se debe unir 2 puntos
cualesquiera.
Nos piden n y como dato tenemos que
Número de LS
segmentos | 521
C) =5n
ni
—— ==59
(n-2)1x21
PROBLEMA N.” 84
Rodrigo tiene 10 amigos, pero 2 de ellos no
pueden asistir juntos a la misma reunión. ¿De
cuántas maneras diferentes podrá invitar a 6 de
sus amigos?
A) 128
B) 132
C) 124
D) 140
E) 160
57

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Resolveremos el problema de forma indirecta,
es decir, calculamos los casos sin restricciones
y restamos los casos cuando los 2 amigos van
juntos.
E
totales [| vanjuntos
E .= Como 2 asisten solo
CH —- CPi— faltainvitara4
a de los
8 restantes
101 _ al
4álx6! 441
BÍXTX8Bx9Xx10 _ AÍX5x6x7x8
ax pÍ Mxa!
/x8x9x10 5x6x7x8
24 24
210-70=140
_cuave Y)
PROBLEMA N.* 85
Un examen consta de 12 preguntas de las cuales
Manuel debe contestar 8. Si de las 5 primeras
debe contestar al menos 4, ¿cuántas posibilida-
des tendrá Manuel para elegir las 8 preguntas?
A) 200
8) 210
Cc) 180
D) 160
E) 172
58
Resolución
Se debe contestar 8 preguntas de un total de
12. Entonces:
Ron ORGIAS UNE Td
A a E
Preguntas | 1al5 [Gal 12| o | 1al5 ¡Gal 12
| | | |
Total de
formas |= Ch x q r ExG
=5x35 3+ 1 x35
= 175 + 35
= 210
_Cuave
)
PROBLEMA N.* 86
En una juguería se dispone de 7 frutas diferentes.
¿Cuántos jugos surtidos se pueden preparar?
A) 120 B) 60 Cc) 112
D) 128 E) 127
Resolución
Se tiene un conjunto F de 7 frutas
F=[a, b, c, d, e, f, g)
Para preparar jugos surtidos necesitamos al me-
nos 2 frutas [por ejemplo; ab, abc, edcb, ...)
Entonces:
mas] 7 7 7 7 7
O
Ni A E
gt E, + EA Eg Cgr gt Eg? E7C,
2? -1-7
= 128-—8
= 120
_cuave

e
PROBLEMA N.* 87 :
De una baraja de 52 cartas se extraen 6 cartas.
Indique de cuántas formas diferentes se puede
obtener:
* Cuatro diamantes y dos tréboles.
* Cuatro cartas de un mismo valor y las otras
de cualquier valor.
Dé como respuesta la suma de resultados.
A) 62 420 B) 70.434 C) 45 460
D) 54 600 E) 72 430
Resolución
Se extraen 6 cartas de una baraja de 52 cartas.
13 cartas
* Se quiere
Cie) y Ce)
ox cr
131 G 131
91x41 11x2I
715x78
=55 770
* Se quiere
4 cartas de un 2 cartas
mismo valor | Y | cualesquiera
AB
13 Xx c 2
13 x 481
46x2!
13 x 1123 = 14 664
Piden
55 770+14 664=70 434
_cuave
PROBLEMA N.” 88
Erika debe repartir 10 regalos entre sus tres so-
brinos. ¿De cuántas maneras diferentes puede
repartir los regalos si el mayor debe recibir 4 re-
galos y los menores 3 regalos cada uno?
A) 4200
B) 2100
C) 3450
D) 5400
E) 4800
Resolución
Se debe repartir 10 regalos entre 3 sobrinos.
Escogemos 4 Escogemos 3 Escogemos 3
regalos de los regalos de los regalos de los
10 que hay 6 que restan 3 que restan
$ 1 |
mayor (4) intermedio
(3) menor (3)
oxox e
101, 6l
blx 4! 31x 31
210 x 20 x 1
4200
59

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.* 89
¿Cuántos paralelogramos se forman al cortarse
un sistema de 7 rectas paralelas con otro siste-
ma de 9 rectas paralelas?
B) 912
A) 756 C) 726
D) 786 E) 448
Resolución
Para formar un paralelogramo se deben inter-
sectar 2 rectas de un sistema (=) con 2 rectas
del otro sistema |//).
(2 rectas
=) y (2 rectas //)
Total de _ 9 7
paralelogramos | E a E
_ A x 71
7x2! 51x21
= 36 x 21
= 756
A) 2240
PROBLEMA N.* 90
Los lados de un cuadrado se han dividido en 4
partes. ¿Cuántos triángulos se pueden construir
cuyos vértices sean los puntos de división?
A) 126 B) 212 C) 216
D) 248 E) 252
Resolución
;
Para construir un triángulo se deben unir 3 pun-
tos no colineales.
Escogemos 3 puntos
de un total
da 12 Casos donde
hay
3 puntos
Total de l Fr colineales
: Jae db
triángulos 3
y
91x 3|
=220 - 4
= 216
_Cuave
PROBLEMA N.* 91
Entre 7 diccionarios diferentes y 4 obras literarias
diferentes se seleccionan 3 diccionarios
y 2 obras,
y se colocan en una estantería de forma que las
obras vayan a los extremos, Halle el número de
formas en que esto se puede llevar a cabo.
B) 2520 C) 2340
D) 2250 E) 2460

ds”
Resolución
Se tienen 7 diccionarios y 4 obras.
Ordenamos
2 de 4
| Ordenamos 3 de 7 |
A
AA
[ obra | Dicc. | Dicc.| Dicc.
| obra |
T T pa]
4x7x6x5x_3=-2520
_cuaveY)
PROBLEMA N.” 92
Un grupo de 8 amigos (5 varones y 3 mujeres)
desean tomarse una foto, pero debido al espa-
cio solo pueden ubicarse 5 de ellos. ¿Cuántas
fotos diferentes se podrán tomar si en la foto
debe haber al menos una mujer y un varón?
A) 6600 B) 6200 C) 6060
DJ) 6560 E) 6006
Resolución
Debemos escoger a las 5 personas y luego las
ordenamos. "
(ordenamos)
(escogemas
a 5 personas)
2. IVY BM a rl ir
pe =(cxci+cixci+cixci)xsi
H
(10x1 + 10x3 + 5x3) x 5!
= 55 x 120
_ CLAVE >
6600
PROBLEMA N.* 93
En un club deportivo, con 20 miembros, hay
que formar un equipo de 4 personas para par-
ticipar en una carrera de relevos de 500 metros
(50-100-150-200). ¿De cuántas maneras se
podrá formar el equipo?
A) 58140 B) 116280 C) 232560
D) 77520 E) 112 860
Resolución
Seleccionamos a los 4 que participarán en la ca-
rrera y luego los ordenamos.
Seleccionamos
a 4 de ellos Ordenamos
Número dej _ 20
maneras “ € Xx 41
_ 2a
161x 41
= 4845 x 24
= 116 280
_cuve
PROBLEMA N.* 94
¿Cuántos números de cuatro cifras significativas
y diferentes existen que tengan al menos una
cifra impar en su escritura?
A) 3024
B) 3000
C) 3200
D) 3420
E) 2820
61

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Resolveremos el problema de forma indirecta.
1.2 Calculamos todos los números de 4 cifras
significativas y diferentes.
ob cd
dd)
9x8x7x6=3024
2.2 Calculamos todos los números de 4 cifras
significativas y diferentes que no contengan
una cifra impar en su escritura. Es decir, solo
disponemos de las cifras 2; 4; 6 y 8.
ob cd
E
áx3x2x1=24
Luego;
dE |- 3024-24=3000
úmeros
_cuave
PROBLEMA N.” 95
Miguel ha adquirido 5 libros de análisis mate-
mático diferentes y 4 libros de física diferentes.
¿De cuántas maneras puede acomodar 2 libros
de análisis y 3 de física en un estante con espa-
cio para cinco libros?
A) 3600 B) 4800 Cc) 720
D) 1440 E) 72
Resolución
Se tiene 5 libros de análisis matemático (AM) y
4 de fisica (F).
62
Seleccionamos a 2 de AM con 3 deF y luego los
ordenamos.
AE EE É cerrara
a ii
Total de 5 Y,
=C 4
formas 2 + G x 5)
5! dj!
= — x
31x21 11x 31
= 10 x dá x 120
Ea 4800
_cuave
PROBLEMA N.* 96
En una urna se tienen 20 esferas numeradas del
1 al 20. Si se eligen 3 esferas al azar, ¿de cuántas
formas se puede obtener al menos un número
divisible por 4?
A) 685
8) 586
C) 856
D) 432
E) 243
Resolución
Del 1 al 20 se tiene
o
5 números que son 4
o
15 números que no son 4
Escogemos al azar 3 números tal que al menos
uno de ellos sea 4,

Resolviendo de forma indirecta.
Escogemos a Escogemos 3
p números in] pines y que ]
restricciones ninguno sea 4
Total de NN _ (5 il
formas] 73 3
201 151
217x317 121x3l
= 1140 - 455
= 685
_cuve
Y
PROBLEMA N.* 97
Se tienen cinco números positivos y seis núme-
ros negativos (todos diferentes). ¿Cuántas ter-
nas de números se pueden formar de tal mane-
ra que el producto de ellos sea positivo?
A) 75 B) 96 o 72
D) 85 E) 100
Resolución
Se debe escoger 3 números tal que su producto
sea positivo, si se tiene 5 números positivos y 6
negativos.
(3 positivos) O (2 negativos y 1 positivo)
go +. 4 xd
51 61, 5
21x 3! álx2l 4lx1!
10 + 15 x 5
85
Por lo tanto, son 85 ternas de números que su
producto es positivo.
_Ccuve
VERE RRA A FG
1 AB A
- PROBLEMA N.* 98
Con los dígitos O, 1, 2, 3, 4,...,8 y 9, ¿cuántos nú-
meros de tres cifras podamos formar si 'a suma
de sus cifras debe ser par?
A) 455 B) 475 C) 450
D) 472 E) 520
Resolución
Tenemos los siguientes casos:
PPP JO[P|1 E pp I1jP
200 211 110
4 22 433 z > > 3372
644 655 545 554
866 8 77 767 776
8383 99 989 998
4x5x5 dx5x5 5x5x5 5x5x5
Total de
dormia Juax5x5Hx5x5+5x5X5+5X5X5
= 100 + 100 + 125+ 125
= 450
_CuaveY)
PROBLEMA N.” 99
Javier dispone de nueve fichas numeradas del
1 al 9. ¿De cuántas maneras diferentes se po-
drá tomar cuatro de ellas y lograr que su suma
sea par?
A) 72 B) 48 C) 56
D) 66 E) 76
63

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Se tiene
eJejelelelolololo
9 fichas (4 pares
y 5 impares)
Escogemos 4 fichas al azar tal que la suma de
ellas sean par.
Se tienen los siguientes casos:
(1 29.) (.. ( fichas spa]
pares impares y 2 impares
A A
Total d
(fermas)o
+ + a
=1 +5 + 6x10
= 1 + 5 + 60
= 66
_cuve
Y
PROBLEMA N.* 100
Se tienen 4 perritos de peluche de color blanco
y 3 de color negro (todos de diferente tamaño).
¿De cuántas maneras distintas se pueden ubi-
car en una repisa donde solo entran 5 de ellos y
además deben estar alternados según el color?
A) 72 B) 144 C) 216
D) 220 E) 238
Resolución
Se pueden ordenar de 2 maneras
[¡BIN|B¡N/B o|N[B[N[B|N
(Total de)= 4x3x3x2x2 + 3x4x2x3x1
formas
144 + 72
= 216
_cuve
Y
64
Aran ean pu . hy
PROBLEMA N.?* 101
Una ficha de dominó consiste en dos mitades,
cada una de ellas conteniendo una cierta canti-
dad de puntos, entre O y 6. ¿Cuántas fichas dis-
tintas pueden confeccionarse?
A) 28 B) 14 C) 56
D) 42 E) 45
Resolución
Las fichas
son de la forma
e
> $
o
Li
Los valores
van del 0 al 6
Calculemos el total de fichas.
dee as TEE
0 o
1
2
3 $ 7cas0s
4
5
6 a
1 1
2
3
4 Pp bcasos
5
6 ?
2 2 7
3
: ' 5 casos
PT 6 a
5 5
6 Y 2 casos
,
1 caso
Total de
=74+64+54+4+34+2+1=28
formas |
_cuve Q)

ANÁUSsIS COMBINATORIO
coc
PROBLEMA N.* 102
De un grupo de 5 varones y 6 mujeres se desea
escoger 3 personas (2 varones y 1 mujer) o 4 re-
presentantes (1 varón y 3 mujeres). ¿De cuán-
tas maneras se puede elegir si una pareja en
particular siempre debe conformar dicho grupo?
A) 12 8) 15 C) 14
D) 8 E) 20
Resolución
Los grupos deben ser conformados de la si-
guiente manera
Falta un Falta 2 mujeres
varón de los 4 a o ee
que resta»
E m
Cs
Total de 5
formas | a *
= +10
= 14
CLAVE 8
PROBLEMA N.* 103
Valeria tiene 12 galletas de distintos sabores y
debe de repartirlas entre sus 3 sobrinas. ¿De
cuántas maneras las podrá distribuir, si las canti-
dades deben estar en PLA. y todas deben recibir
al menos una, pero no la misma cantidad?
A) 22770
D) 45 540
B) 34 155 C) 54 540
E) 45 400
Resolución
El reparto podría realizarse de la siguiente manera.
Formas - 3 4 5
[se distri Dar] E a 6
las galletas 1 4 7
Se tiene 3 casos. Entonces:
Total de 5,12. -10 12.11.77
e JC ci cc
=220x126x1+66x 210x1+12x330x1
= 27720+ 13860 + 3960
= 45 540
_cuve
Y)
PROBLEMA N.* 104
Anthony, Belén, Carlos y Daniel se sientan en
una fila de 10 asientos. ¿De cuántas maneras
pueden ubicarse si no puede haber alumnos
sentados contiguamente?
A) 180
B) 630
C) 840
D) 450
E) 960
65

LUMBRERAS EDITORES a [*
Resolución
Gráficamente tendriamos
Asientos vacios
Í Í j | i j
ALAS
7 lugares disponibles para ubicar A; B; C; D
Luego,
Á BOC D
1 | | 4
Total de A
formas
= 840
CLAVE $
PROBLEMA N.” 105
¿De cuántas formas diferentes se pueden colo-
car 8 torres iguales en un tablero de ajedrez de
modo tal que no puedan comerse una a la otra?
A) 40320 B) 20160 Cc) 5040
D) 10080 Ej 25640
Resolución
Gráficamente tenemos
19 qu 3o de go ge 70 go
X
X
B8Bx7x6x5*x4x3x2x*1= 8l
66
Para que las torres no puedan comerse, neces-
rlamente debe haber una torre en cada columna.
Empezaremos a ubicar las torres una a una por
columnas.
Total de = l=
voneed di
_CuveY)
PROBLEMA N.* 106
Un grupo de 5 varones y 6 mujeres se ordenan
en una misma fila de tal manera que las per-
sonas de un mismo género estén juntas. ¿De
cuántas maneras diferentes se podrán ordenar,
si Alan y Mario no deben estar juntos, así como
tampoco Betty y Teresa?
A) 69120 B) 45630 C) 138 240
D) 34 560 E) 125 600
Resolución
Resolwveremos el problema de forma indirecta,
Picaedl
00
Li Miracó
io a[1))
| T
(5/-41x2) x (6l-5!1x2) x2l
— — j
Casos Casos Permutan
cuando 4 y M cuando ByT varones
y
estan juntos estan juntas — mujeres
a (51-41x2)x(61-51x2)x21
= 7 x 480 x2
= 69 120
_cuve
Y

N" ANÁLISIS COMBINATORIO
PROBLEMA N.* 107
Joao, Bryan, Hugo y Miguel se ubican en una fila
con 7 asientos, ¿de cuántas maneras diferentes
pueden quedar distribuidos los asientos vacios?
A) 24 B) 63 C) 35
D) 45 E) 72
Resolución
Nos interesa como quedan distribuidos los asien-
tos vacios, si permutan las personas no interesa.
Aslentos vacios
las personas (se consideran
no interesa Iguales)
Í 4 ] 1 4 1 1
J¡B|H|M
NANO
Se tomará como
elementos iguales
51 permutan
Se presenta un caso de permutación lineal con
elementos repetidos.
7
Ax 31
_AÍx5x8Bx7
ES
=5x7
=35
7
Pa;3=
_Cuave
Y)
PROBLEMA N.* 108
En una escuela de fútbol donde asisten 12 de-
portistas, el profesor los divide en dos grupos
de 6 para disputar un partido de práctica de fut
bito. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo si 2 de
los deportistas son arqueros?
A) 257 B) 504 C) 426
D) 245 E) 550
Resolución
Será suficiente con seleccionar solo 1 arquero y
5 jugadores (un solo equipo), pues los restantes
formaran necesariamente el segundo equipo.
(1 arquero) y (5 jugadores)
—
Total de E a di 10
aneras 5
me 2 x 252
= 504
_CuaveY)
PROBLEMA N* 109
En los primeros 50 números naturales, calcule
de cuántas formas se puede elegir a dos ellos
cuya suma sea par.
A) 600 B) 450 Cc) 300
D) 480 E) 720
Resolución
(2; 2;3; 4; 5; 6; 7; ...; 50)
25 números pares y 25 impares
Debemos escoger 2 números tal que la suma
sea par.
Escogemos Escogemos
2 pares |¿ |2 impares
Número 5 5
de Pro] = + Cs
= 300 eE 300
_cuveY)
67

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N* 110
Un coleccionista de monedas tiene 5 monedas
diferentes, ¿de cuántas formas podrá guardar-
las en los 2 bolsillos de su pantalón?
A) 21 B) 32 Cc) 45
D) 25 E) 36
Resolución
Cada moneda tiene 2 posibilidades para guar-
darlo en un bolsillo,
OJOJCIOJO,
laz riada
_cuve
Total de
formas
PROBLEMA N.? 111
En un circo se presentan 10 números diferentes,
¿de cuántas maneras diferentes podrán presen-
tar la secuencia de los números, si hay 4 que ne-
cesariamente deben de ser presentados al inicio?
A) 16430 - B) 14560 C) 12400
D) 17280 E) 16420
Resolución
Hay 4 números que deben ser presentados al
inicio.
Entonces,
6* 7* B* 9* 10*
1" 3" E qe 5:
AP 4x3x2x1| 6x5x4x3x2Xx1
formas
=24x 720
= 17 280
_cuave
Y)
A a]
PROBLEMA N.* 112
Un examen consta de 5 preguntas y cada una
de estas tiene 4 alternativas. ¿De cuántas for-
mas puede responder un estudiante 3 de las
preguntas?
A) 460 B) 640 C) 480
D) 1280 E) 320
Resolución
Primero seleccionamos las 3 preguntas y luego,
¡ec it: Parma q
a
3 preguntas | Y | alternativas
Ue del y aña
formas 3
= 10 x 4x4x4
= 640
_cuve Q)
PROBLEMA N.? 113
Pepe y 6 de sus amigos deben cruzar un puen-
te angosto en fila india. ¿De cuántas maneras
podrán cruzarlo, si Luis debe cruzar inmediata-
mente después que Mario, además este último
no cruza primero?
A) 720 B) 480 C) 260
D) 560 E) 600
Resolución
US pun
dl 1 solo :
posibilidades

50. de
o] Six
=120x5
= 600
CLAVE BD
PROBLEMA N.* 114
De un grupo de 20 personas (8 varones y 12
mujeres) se quiere elegir 5 representantes. ¿De
cuántas formas puede hacerlo, si Luis y Julia
siempre van en el grupo?
A) 846
B) 816
C) 735
D) 675
E) 824
Resolución
Como Luis y Julia siempre van en el grupo, solo
falta elegir a 3 de los 18 que quedan.
Total e) 18
formas |” “3
181
151x3!
_ 15/x16x17x18
15Íx6
16x17x18
6
816
PROBLEMA N.* 115
Un grupo de 8 paracaidistas se arroja de un
avión y en el aire forman dos circulos en grupos
de 4, ¿De cuántas maneras diferentes se puede
dar esto?
A) 1250 B) 2250 C) 2520
D) 2050 E) 2450
Resolución
Primero formamos los grupos y luego los orde-
namos.
lO) lO)
Cc D G H
——
Solamente escogemos
a dí de ellos, los
restantes forman
el otro grupo
permuta el — permuta el
primer grupo ia grupo
mee). Áx3lx3l
=70x6x6
=2520
_cuaveY)
PROBLEMA N.” 116
¿Cuántos números de cuatro cifras múltiplos de
4 pueden formarse con 1; 2; 3; 4 y 5 si una cifra
se puede repetir varias veces?
A) 56 B) 215
D) 60
C) 125
E) 112
69

Resolución
a b
bo]
555
5x5
o
c d =4
5 formas
Total de ]=5x5x5=125
maneras
_ciave
Y)
PROBLEMA N.* 117
Enrique tiene que enviar 10 invitaciones para
su boda. ¿De cuántas maneras distintas puede
efectuarse esto, si para enviar las invitaciones
se dispone de 3 mensajeros y cada invitación se
puede entregar a cualquiera de ellos?
A) 19683 B) 59 049 C) 6561
D) 2187 E) 1000
Resolución
Cada invitación se le puede entregar a cualquie-
ra de los 3 mensajeros.
3x3...3
er:
|
=3
x 3 x
N£ de
formas
= 3%
- 59 049
_Cuave Y
70
e
PROBLEMA N.” 118
Dos alumnas asisten a un curso de capacitación en
la UNI, Si dicha capacitación se dicta en 3 faculta-
des de 6 aulas cada una y cada aula con 8 carpetas
de 2 asientos, ¿de cuántas formas se pueden ubi-
car si deben sentarse en la misma carpeta?
A) 112 B) 145 C) 124
D) 144 E) 288
Resolución
- Sedebe escoger una facultad, 1 aula y 1 carpeta.
facultad aula carpeta
| ! / | -= Permutan
x B x 21 Pier
_cuave
Q)
=3 x 6
formas
= 288
PROBLEMA N.* 119
¿Cuántas ordenaciones se pueden dar con las
letras de la palabra MARACUYA, si las vocales
deben ir juntas?
A) 600
D) 700
B) 720 C) 240
E) 480
Resolución
MARACUYA
8 letras
Ordenándolas
AJA[AJU|M|RÍ|C|Y
i solo

ae Ses:
Total de r Permutan las Resolución
formas |- 51x4 Se tiene que
=120x4 Escogen s oy
= 480 película y en fila
25 K—————_—— A
Número
cuave GH) de formas| = 3xX3x3 x 31
DS = 27 x 6
= 162
PROBLEMA N.” 120
Un grupo de 10 profesores deben dictar un se-
minario de aritmética en 3 locales diferentes
(A, B y €). Sia dichos locales A, B y C deben de
asistir 2, 3 y 5 profesores, respectivamente, ¿de
cuántas formas se podrá realizar este reparto?
A) 2520 B) 2220 C) 2420
D) 2330 E) 2140
Resolución
Debemos distribuir a los 10 profesores en los 3
locales.
na A y B y£
otal de 0
laca x Co
= 4A5x 56 x1
= 2520
_Cuve Y)
PROBLEMA N.? 12]
Tres amigos asisten al cine y observan que hay
3 películas de estreno, ¿de cuántas formas po-
drán escoger una película y hacer una fila para
comprar las entradas en la boletería?
A) 81
D) 124
B) 162 “C) 192
E) 248
_ciave
PROBLEMA N.* 122
En un estante se quiere ordenar 7 libros diferen-
tes, de tal manera que 4 de ellos no estén jun-
tos. ¿De cuántas formas se puede realizar dicho
ordenamiento?
A) 3498
B) 4342
C) 4564
D) 4464
E) 3980
Resolución
ordenamos | _ [ordenamos cuand
Be Vean) ( 4 van juntos )
pi TT
= 5040 - 576
m 4464
_cuve Q)
71

LUMBAERAS EDITORES
PROBLEMA N.” 123
De los primeros 15 números primos, se escoge
al azar 3 de ellos, ¿de cuántas formas el produc-
to de ellos resultará un número par?
A) 91 B) 78 Cc) 60
D) 72 E) 110
Resolución
12; 3; 5;7; 11; ...)
PEAK _ _—
14 primos (impares)
Para que el producto de 3 de ellos sea par, ne-
cesariamente uno de los primos es el 2. Faltaría
escoger a 2 números más de los 14 que restan.
Total de
= 14_
formas | Cc 91
_cuveY)
PROBLEMA N.? 124
¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 perso-
nas (3 varones y 4 mujeres) alrededor de una
mesa circular, si 2 varones y una mujer en par-
ticular desean sentarse juntos?
A) 36 B) 144 C) 48
D) 72 E) 112
Resolución
Gráficamente
72
Jo Pe (5)
x 31
formas | *
41 x31
= 24 x6
_cuve Y)
PROBLEMA N.* 125
Un examen consta de 12 preguntas de las cuales
el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 pri-
meras preguntas debe contestar por lo menos
5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas
tiene el estudiante?
A) 15 B) 36 Cc) 51
D) 21 E) 27
UNI 2000-11
Resolución
De las 12 preguntas se debe seleccionar 10 de
ellas. Se tendrían 2 casos:
5 preg. 5preg. 6preg. 4preg.
(1a16|7a112Jo(1a16[72112]
Cd505
ns]
6! 6! 6!
= x +1x
1x5! 11x51 21x 41
6x6 +1x15
36 + 15
51
_cuave
)

E LS ANÁLISIS COMBINATORIO
PROBLEMA N.* 126
A una conferencia internacional asisten 5 diplo-
máticos peruanos y 9 colombianos. ¿De cuántas
maneras se puede formar una comisión de tra-
bajo de 6 miembros en la que estén presentes
por lo menos 3 diplomáticos peruanos y por lo
menos un colombiano?
A) 840
B) 1029
C) 1020
D) 849
E) 720
UNI 1998 - 11
Resolución
5e tiene a 5 peruanos y 9 colombianos. 5e debe
formar comisiones de 6 miembros donde por lo
menos hayan 3 peruanos y 1 colombiano. Luego
se tendrían los siguientes casos
3 per. [3 col. lo[ 4 per. [ 2 col. o 5 per. | 1col.
O O
3x0 + C0ÍxC+ dG
51 3l :
x e re 1x9
21x31 6lx3l 11:41 7Ix2!
10 x B4 + 5 x 36 + 9
9 = 1029
840 + 180 +
_cuave
Y)
PROBLEMA N.* 127
¿Cuántas palabras de seis letras que contengan
dos vocales diferentes y cuatro consonantes
distintas se pueden formar con cuatro vocales
incluyendo la “e” y seis consonantes incluyendo
la *s”, de manera que empiecen con “e” y con-
tengan “s”?
A) 216 000 B) 3600 C) 7200
D) 10800 E) 9600
UNI 2000-11
Resolución
Se dispone de
4 vocales (incluyendo la “e”)
6 consonantes (incluyendo la “s”)
Las palabras deben tener
2 vocales y 4 consonantes
Entonces
fi
T ja
uE
Falta escoger 1 vo-
cal y 3 consonantes
Se escoge Se escoge 3
1 vocal (7 “ensonantes
Total del La esco
leotatras]= Cy 3x5!)
E. Permutan las letras
|
= 3x 3 ax 5]
21x31
=3x10 x 120
= 3600
_cuave )
73

LUMBRERAS EDITORES
A E a
PROBLEMA N.? 128
En un juego infantil se van diciendo números
consecutivos del 1 al 100 y se aplaude cada vez
que se dice un múltiplo de 3 o un número que
termina en 3. El juego termina cuando se llega
al número 100. ¿Cuántas veces se aplaudió du-
rante el juego?
A) 10 B) 33 C) 39
D) 43 E) 47
ONEM 2008 (fase 1 - nivel 1)
Resolución
Debemos contar cuantos números del 1 al 100
son múltiplos de 3 o terminan en 3.
Entonces
Números que aa.
* (temnanens)" 2:13:29)
10 numeros
9
: a 2) 6; 9; 12;...; 99)
A y A AÁAÁKÁÉÁ2
33 números
total de números : 100
ES múltiplos de 3 y que
terminan
en 3
Total de | _
( Hecas )=29+4+
=39
74
PROBLEMA N.* 129
¿Cuántos números de 3 cifras tienen al menos
una cifra 5 en su escritura? -
A) 546 B) 434 C) 252
D) 354 Ej 654
Resolución
1. Buscamos la cantidad de números de 3 cej-
fras
ob ce
+ dd
9 x10x 10=900 números
2.* Buscamos la cantidad de números que no
tienen cifra 5.
wo
0
a
e
tl
A
O
f—Ák
was)
—
A
Pos
sm
e
e
O
—
pp
648 números
ba
x
LD
X
pi]
"!
Luego,
Total de N.* Total de N.* que
(a s a =| que no tienen |+| tienen al menos
2 ENTAE la cifra $ una cifra 5
900 ED
Por lo tanto, hay 252 números que tienen al me-
_Cuve E)
nos un 5.en su estructura.

al"
PROBLEMA N.* 130
¿Cuántos números de la forma a(a+b]b existen?
A) 55
D) 28
Resolución
Fijando valores a la primera cifra, se tendría los
siguientes casos:
a (a+b) b
Total de
números
= 45
B) 45
ha
A
a
A
|
.=<
Wo
oO
o
Cc) 40
E) 20
3 números
7 números
) 2 números
) 1 número
)=9+8+7+..+241
cuve Y
PROBLEMA N.* 131
Pedro tiene 5 libros de matemáticas (todos di-
ferentes) y 3 libros de fisica (todos diferentes).
¿De cuántas maneras diferentes se podrán or-
denar 3 libros de matemáticas y 2 de física en
un estante con 5 espacios?
A) 1800
B) 2700
C) 3480
D) 3600
E) 3820
Resolución
Se tienen 5 libros de matemática y 3 de física.
Se debe escoger 3 de matemática y 2 de física y
luego ordenarlos. Entonces:
se escogen
3
EE.
ae de
maneras
se escogen 2
ea
E 5 x
51 3l
en xXx
21x31 11x2!
=10x3x120
=
= 3600
yn
3 x(51
los libros

LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.* 132
Un pintor dispone de 5 témperas de colores di-
ferentes. ¿Cuántos tonos diferentes adicionales
a los que tiene podrá obtener mezclando en
cantidades iguales las témperas?
A) 10 B) 18 Cc) 26
D) 31 E) 32
Resolución
Se dispone de 5 colores y para obtener tonos de
color distintos a los que ya tiene deberá mezclar
de2 en 2, de 3en 3, de 4en4ode5enS5.
A A. A
NS de tonos 5 5 5
2 ÉdiCaste
de color | a : . ,
_ Si 5| 5|
31x21. 2x3! 1x4
=10+10+5+1
= 26
_cuave Y
PROBLEMA N.* 133
Se lanzan n dados y m monedas. ¿Cuántos re-
sultados diferentes se pueden obtener?
A) mixn!
B) 6x2”
gi"
D) (mxn)*?
E) 2x3"
76
Resolución
n dados m monedas
3530909
dy | | | |
Total de
py t6 6: 6x2 242
- 6" Xx 3”
= 6 x 27
Por lo tanto, se obtienen 6"x2” resultados di-
ferentes.
_cuve G)
PROBLEMA N.* 134
¿Cuántas expresiones existen de la siguiente
y
forma ne >),
A) 1440 B) 1280 Cc) 740
D) 760 Ej 640
Resolución
Se tienen las expresiones
a (b - 2)b m (2m) y (2)
1 pa Ia
14 1 0
2 3 2 2
34 3 4
.. + 6
' 8
9, xx 3-20
9x8 =72

Luego,
ems” ma.
Total de ni ¡ po
=72 x 2
expresiones
CLAVE
e
PROBLEMA N.* 135
Francisco debe comprar 10 chompas y existen 4
modelos diferentes. Si debe llevar al menos 1 de
cada tipo, ¿cuántas opciones de compra tiene
Francisco?
A) 84
B) 72
C) 88
D) 96
E) 64
Resolución
Se debe comprar 10 chompas entre 4 modelos
diferentes, pero como se debe comprar al me-
nos 1 de cada modelo, entonces solo será ne-
cesario adquirir 6 chompas entre los 4 modelos
que hay.
modelo 1 modelo modelo3 modelo4
+ A + di =6
Debemos buscar el número de soluciones de la
ecuación
o+b+c+d=6
Pa
os Sl ¿9
formas ) *P * 51x31
blx7xBx9
bl x3!
7x8x9
6
=84
PROBLEMA N.* 136
2 n n 2n
5i + + =12, halle el valor de ,
1 2 3 6
A) 56
B) 28
Cc) 24
D) 210
E) 14
LINMSM 2009 -1
”n

LUMBRERAS EDITORES
5e tiene
2 n ñ E
(lo)
C+0+C3=12
93 7 2” =12
" An—2)Ix 21 (n-3)1x31
nz z mara =10
3-n:(n—1)+n:(n—1)(n-—2) 210
6
n(n—1)(n+1) =60
a 3 5
n=4
Luego, nos piden
Ns
_cuve
G)
PROBLEMA N.? 137
Se tiene una urna con 6 bolas blancas, 3 negras
y 3 rojas. Determine de cuántas maneras se
pueden extraer 4 bolas, de tal manera que:
Il. Sean de cualquier color.
ll, Sean 2 blancas, 1 negra y 1 roja.
78
A) 430;135 B) 45p,140 C) 495;140
D) 135; 140 E) 495; 135
Resolución
Se tienen 6 bolas blancas, 3 bolas negras y 3
bolas rojas. $e deben extraer 4 bolas al azar tal
que
l.. Sea de cualquier color:
Total de (2
formas | *
121
8!x41
=495
ll. Sea 2 blancas, 1 negra y 1 roja
28 1N 3R
Total del 6. 3.3
oa Jah
=15x3x3
=135
_cuveY)
PROBLEMA N.* 138
Dado los siguientes puntos donde solo 6 puntos
son colineales,
¿cuántos triángulos se pueden formar tomando
como vértices los puntos mostrados?
A) 180
D) 120
B) 200 C) 220
E) 145

a"
Resolución
Se tienen los puntos
para formar un
triángulo se
necesitan tres
puntos no
colineales
haci
(2 puntos)
y (1 punto) —C5xC5=90
se tienen
3 casos | (1 PUNto) y (2 puntos)—-C5xC5=90
(3 puntos) —C5=20
(roms) =s0+00+20=20
_cuaveY)
PROBLEMA N.* 139
Paola se va a preparar un jugo mezclando 5 fru-
tas diferentes, para ello cuenta con las siguien-
tes frutas: papaya, piña, plátano, manzana, na-
ranja, mango, mandarina, maracuyá y melón.
¿Cuántos jugos diferentes podrá preparar si no
puede mezclar mandarina ni naranja a la wez?
A) 91
8) 104
Cc) 68
D) 58
E) 72
Resolución
Se dispone de 9 frutas diferentes y debemos
mezclar 5 de ellas sin que la naranja y la manda-
rina estén juntas.
De forma indirecta se tendría
Total de jugos
- (Total de jugos
Ca _| con naranja
y G a su la
4 | mandarina BA Y
jugos juntas mandarina
estén juntas
_—_—_ A o
Go= Goes 0
Si la naranja y mandarina
están juntas, solo faltaría se-
leccionar 3 frutas más de las
7 que quedan.
C=c+x
9l 7
+x
á1x51 41x3l
126=35+x
=%1
_cuave
QU)
PROBLEMA N.* 140
En un programa de televisión se sortearán 10
refrigeradoras para 3 distritos diferentes; 4 para
Chosica, 3 para San Juan de Lurigancho y 3 para
Los Olivos. ¿De cuántas maneras diferentes
puede realizarse el sorteo si las refrigeradoras
son de modelos diferentes?
A) 1650 B) 1800 Cc) 2100
D) 4200 E) 2400
79

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Se tienen 10 refrigeradoras, primero escoge-
mos 4 para sortear en Chosica, luego se escoge
3 para SJL y las 3 restantes para Los Olivos.
(hosica) (Si) (Los Olivos)
Total de]_ 10 6
mas | 4 46
10! 61
= x xk
61x4!| 31x31
=210 x 20 x1
= 4200
car)
PROBLEMA N.* 141
Seis niños van al parque y juegan a la ronda
alrededor de un árbol. Si dicho parque cuenta
con 5 árboles (uno en cada esquina y uno en el
centro), ¿de cuántas maneras diferentes podrán
realizar dicho juego?
A) 520 B) 480 C) 600
Dj 620 E) 700
Resolución
5e tiene
5e escoge
un árbol Al jugar a la ronda
permutan los
6 niños
Número de L/
maneras ] = 5xP2(6)
=5x5!
=5x120
= 600
_cuave
Y)
PROBLEMA N.* 142
¿De cuántas formas se pueden escoger 3 pun-
tos colineales en la siguiente figura?
A) 12 B) 16 Cc) 20
D) 24 E) 32
Resolución
Del gráfico,
5e tienen 5 segmentos con 4 puntos colineales
cada uno.
escogemos 3 de los
Total de
casos )- ci x 5
=4x5
=20
_cuave Y)

PROBLEMA N.”? 143
Se quiere formar una asamblea constituyen-
te de 5 miembros y se tienen 12 congresistas.
Halle cuántas formas hay de formar el comité si
dos de ellos no pueden ir al mismo tiempo.
A) 495 B) 672 Cc) 240
D) 210 E) 200
Resolución
Se debe seleccionar a 5 congresistas de un total
de 12, pero hay 2 que no pueden ir juntos.
Resolviendo de forma indirecta, supongamos
que A y B no deben ir juntos. Entonces:
Casos
Pa :) | cuando l
casos A yB están
a juntos
id
cs = a + Xx
| N
Escogemos a 5 E
sin restricciones que faltan de los
10 restantes
AyBno
Casos cuando
están juntos
CR, y
121 10!
= +K
Fix5l 71x3l
792=120+x
x=672
_cuve
Q)
PROBLEMA N.* 144
Una persona jugó a la ruleta 8 veces, si ganó 3
veces perdió las restantes. ¿De cuántas mane-
ras pudo haber ocurrido esto, si en el primer
juego no perdió?
A) 56 B) 42 C) 24
D) 28 E) 21
Resolución
Se jugó 8 veces, ganó 3 y perdió 5 entonces
12 2232 14.5 42.72 y?
00/00/0005
fijo permutan
Total de =p?
maneras |" 25
- 71
21x 51
PROBLEMA N.? 145
Edith debe matricularse en 5 cursos en la universi-
dad. Si cada uno de ellos tiene 3 horarios diferen-
tes para la teoría y 2 horarios diferentes para las
prácticas y además se sabe que no hay cruce en
ninguno de los horarios, ¿de cuántas formas dife-
rentes puede elaborar su horario si debe escoger
uno solo para la teoría y otro para la práctica?
A) 7776
D) 4560
8) 15625 C) 3125
E) 7860
81

LUMBRERAS EDITORES
Resolución
Para escoger el horario de un curso debe esco-
ger uno de teoría (3 opciones) y uno de práctica
(2 opciones)
(teoria) y (práctica)
3 Xx 2 =6
Entonces, puede escoger el horario de un curso
de 6 formas diferentes.
Para elaborar un horario de 5 cursos, se tendría:
Total de | _ curso1 curso2 cursod curso4d cursoS
opciones|”
6 X 6 X 6 X 6 X 6
=77176
_Cuve
Y)
PROBLEMA N.* 146
De un grupo de n varones y 8 mujeres, se desea
formar una comisión de 3 varones y 3 mujeres.
Halle n si se tiene en total 1120 formas diferen-
tes de poder formar dicha comisión.
A] 5 B6. 7
D) 8 E) 9
Resolución
Hay n varones y 8 mujeres, y existen 1120 for-
mas de seleccionar a 3 varones y 3 mujeres. Es
decir
3 varones 3 mujeres
Cc x (EG =1120
82
9
_ nn A =1120
(n—3)1x3! 51x31
¿A 7x8 =1120
(n—-3)1x6 '
M-=120
[n—3)!
(n—2)ín-1) n =120
a
4 5 6
n=6
_Cuave
QU)
PROBLEMA N.* 147
En una liga distrital de fútbol participan 20
equipos y se juegan 2 rondas (ida y vuelta) to-
dos contra todos. Si para definir al campeón se
juega adicionalmente una liguilla todos contra
todos con los 8 mejores equipos de las ruedas
ya jugadas, ¿cuántos partidos se juegan en total
para determinar al campeón?
A) 380 B) 408 C) 436
D) 418 E) 396
Resolución
Se tienen a 20 equipos y para programar 1 parti-
do se debe escoger a 2 equipos, entonces
segunda
primera etapa etapa
Total de] _ 20 20 3
(Pardos) = A
ida vuelta
201 201 8!
181x21 ' 181x21 ' 61x21
190 + 190 + 28
= 408
_cuave

Ls ANÁLISIS COMBINATORIO
PROBLEMA N.” 148
En una reunión hay 4 niños, 4 niñas y 2 adul-
tos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden
sentar en una banca con capacidad para 10 per-
sonas si los niños deben estar juntos y las niñas
también? :
A) 2x(31)*
B) 2x(41)?
Cc) (31
D) (41)
E) (a1P
Resolución
Gráficamente se tendría
4 elementos
l | Lo4
PIP IP ASIS
ISS A [a
|
1 solo (4 niñas) 1 solo (4 niños)
T permutan las niñas
lcd (4041 41
numerales! *--
| L permutan los niños
permutan las
elementos
=(41)"
_CLAVE
PROBLEMA N.”* 149
En una carrera donde participan 12 caballos
existen 2 tipos de apuesta: en la primera se debe
acertar cuáles van a ser los 3 primeros, pero
no el orden de llegada; en la segunda hay que
acertar cuál quedará primero y cuál segundo. Si
Pedro desea realizar una apuesta, ¿de cuántas
formas diferentes podrá realizarla?
A) 320 B) 352 C) 240
D) 262 E) 210
Resolución
Solo debemos escoger a 3 de un total de 12.
Total de = (2
formas | 3
_ al
91x3!
_ A x10Xx11X12
alx6
=220
Otra forma
Debemos acertar el 1.* y 2.* lugar
1.“ lugar | 2.* lugar
| |
=12 x 11
Be 5 -132
formas
Luego,
Total de formas
de apostar
] =220+132
=352
_ciave
83

PROBLEMA N.* 150
Pepito ha recibido una flauta con 7 orificios por
su cumpleaños. ¿Cuántos sonidos distintos pue-
de producir?
A) 128 B) 49 C) 127
D) 42 E) 256
Resolución
Se tiene
Se puede emitir diferentes sonidos cubriendo
los orificios o sin cubrir los orificios.
se cubre se cubren
no se cubren un orificio — dos orificios
los orificios
Total del_-7,r7,07,p7 $ a
(Sonidos )-3+ +2 +3 +..+3+0)
=CG+C4CI+
CI +... +04 C;
es 2?
= 128
_cuveY)
NIVEL AVANZADO
PROBLEMA N.* 151
En un pueblo suelen dar varios nombres a sus
hijos. ¿De cuántas formas se puede dar un nom-
bre al niño si el total de nombres existentes es n
y le dan no más de tres nombres?
A) n?-2n*+3n
B) n*-2n7+2n
C) n+2n4+2n
D) n-3n%+2n
E) n7+3n7+3n
Resolución
Las personas pueden tener uno, dos o tres nom-
bres. Entonces,
Eta 2 nombres
as] = p +n:(n-1)+nin-1)(n-2)
1 nombre 3 nombres
= 54 M5-Á + P-3+2n
= r4n-3n?+2n
3 2
= n—-2in"+2n
_cuave )
PROBLEMA N.* 152
Al lanzar un dado 12 veces, se tuvo que:
+ Ellyels salieron tres veces cada uno
. El4 salió cuatro veces
. El6 salió 2 veces
¿De cuántas maneras pudo haber ocurrido esto,
si el 1 y el 5 no salieron ni en el primer ni en el
último lanzamiento?
A) 43.300
D) 23100
B) 36800 C) 42 600
E) 63000

su"
Resolución
Se presentan 3 casos
aaa cae] El]
10! V caso
ld
pa
22233" 2213131
= 25200 ]
ajajajaja ajajejojefo)
plo - 101
62" 413131
= 4200
> caso2
x2
0 CIRIA E)
2x101
31:31x31x11
= 33 600
.. -_ » caso
3
2XP3331=
Ls de
form
95 )= 25200 + 4200 + 33 600
= 63 000
- aw)
PROBLEMA N.? 153
Si en una circunferencia se ubican 12 puntos,
¿cuántos poligonos convexos con vértices en
esos puntos se pueden construir?
A) 4017
D) 4196
B) 2048 C) 1224
E) 4230
Resolución
Para construir polígonos, debemos unir al me-
nos 3 puntos.
Podemos construir triángulos, cuadriláteros,
pentágonos, ... y dodecágonos.
Número de] _ -12, -12, p12 ,r12 12
polígonos |=c +C4 +0: + +1)
a AE A da 12 12 1212
Co HC, H) +0, +0; Pty Co Es C5
le
q —1-12-66
qa - 79
= 4017
_ciaveY)
PROBLEMA N.? 154
En un pueblo no había dos habitantes con igual
cantidad de dientes. ¿Cuál puede ser la pobla-
ción máxima en este pueblo?
Nota: el mayor número de dientes es 32.
22
E) 29760
A) 32 B) 32%
D) 992
85

LUMBRERAS EDITORES
a A
Resolución
Habrá personas que tienen
N.2 dientes: O 1 2 3 .. 3132
1 AE 113
MTM Tus” 32
2 habitantes como máximo
_Cuave Y)
. PROBLEMA N.* 155
¿Cuántas palabras se pueden formar con las le-
tras de la palabra ARITMÉTICA, con la condición
de que las letras iguales deben estar siempre
equidistantes a los extremos?
A) 1220 B) 1440 C) 1430
D) 1340 Ej 1404
Resolución
Primero ubicamos a las letras iguales de modo
que se encuentren equidistantes a los extremos
(suficiente con ponerlas en los 5 primeros luga-
res) y luego permutan las letras restantes.
5e tiene: (A, A,1,1,1,T,M,E,R, C)
a[¡|timjelr[cit|1ja]
ublcamos a Ros permutan
AylyT
5x4dx3
Total de )= 5x4x 3x4!
maneras
Es 60 x24 '
= 1440
86
PROBLEMA N.* 156
Beatriz ha preparado 3 litros de chicha morada
y 2 litros de refresco de maracuyá, y dispone de
12 botellas de colores distintos de 1 litro de ca-
pacidad cada una de ellas. ¿De cuántas maneras
diferentes puede escoger 5 botellas y llenarlas
con los refrescos preparados?
A) 7220 B) 7090 C) 7290
D) 7920 E) 7960
Resolución
Debemos escoger $ botellas y luego llenar con
los refrescos.
Se escoge Escogernos
3 botellas
5 botellas para llenar con chicha
|
Total del _ -12 5 2
formas )=c2 »x € x q
Se llena con
maracuyá
=792 x10 x1
=7920
_cuave
$)
PROBLEMA N.” 157
Un alumno del CEPRE-UNI participa en un con-
curso que consiste en elegir al azar uno de los nú-
meros 1, 2, 3; luego debe lanzar un dado tantas
veces como indique el número escogido y gana si
la suma de puntos, en los lanzamientos del dado,
es el triple del número escogido. ¿De cuántas
maneras puede ganar, si eligió el número 3?
A) 15
D) 25.
B) 20 Cc) 21
E) 27

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