Problema extraído de la Evaluación Final de la Materia del día 9 de agosto de 2023

1. Solicitación por Torsión
Puesta en Común
Problema para discutir
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol

2. Problema para discutir en Clase
En el siguiente espacio se propone un Problema Conceptual para Discusión y puesta en
común al Grupo (luego de recapacitar durante la semana) por los diferentes grupos antes de
comenzar con la clase correspondiente al Cronograma de Actividades Programadas y
para dar cierre a la explicación del Práctico N° 4 – Solicitación por Torsión.
Para facilitar la tareas se adjuntan dos ejercicios conceptualmente
similares para que sirvan de referencia.
(Problema extraído de la Evaluación Final de la Materia del día 09 de agosto del 2023)

3. Para la barra de las figura que a
continuación se detalla (cuya
sección es circular), se pide analizar
lo siguiente:
Problema 1
Datos:
Mt = 11 tm
G = 0,85 E6 kg/cm2
D = 17,50 cm
L = 80 cm

4. 1. Reacciones de vínculo externo.
2. Diagrama de momentos torsores a lo
largo de las barras.
3. Diagrama de tensiones tangenciales a
lo largo de las barras.
4. Diagrama de tensiones tangenciales en
la sección T-T que está ubicada a L/2.
5. Diagrama de ángulos de torsión
específicas.
6. Diagrama de ángulos de torsión.
Problema 1

5. Cálculo de las
reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria
de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser constante a lo largo de
toda la barra e igual al valor de la reacción de
vínculo.
t
B
B
t
T M
M
M
M
M 




 0
   
cm
kg
m
t
cte
M
M t
B 





 5
10
11
11
Datos:
Mt = 11 t.m
G = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 17,5 cm
L = 80 cm
Problema 1

6. Cálculo de las tensiones
tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor
y al radio de la sección de la barra e inversamente
proporcional al momento de inercia polar de la
sección:
Al ser constante el momento torsor y la sección de la barra a lo largo de todo el eje, en la
sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior.
 
 
  


















 2
3
5
3
4
0
0
32
,
045
.
1
50
,
17
10
11
16
16
32
;
2
cm
kg
cm
cm
kg
D
M
D
J
J
D
M
t
t











 2
32
,
045
.
1
cm
kg

Problema 1

7. Cálculo del ángulo torsión y
de torsión específicas
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos
como sigue:
 
 
 































cm
cm
cm
kg
cm
kg
D
G
M
D
J
J
G
M
t
t
1
10
41
,
1
50
,
17
10
85
,
0
10
11
32
32
32
;
4
4
2
6
5
4
4
0
0





El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:
    0112
,
0
80
1
10
41
,
1
32
32 4
4
0
4
0





















 

 cm
cm
L
D
G
M
dx
D
G
M
dx
x t
L
t
L




Problema 1

8. Veamos los
gráficos
Problema 1

9. En un motor de combustión interna
alternativo, la combustión de la
mezcla combustible-aire genera un
aumento de la presión en el interior de
los cilindros del motor. Esta presión
interior produce a su vez una fuerza (F)
de empuje sobre el pistón que lo
desplaza, generando el mecanismo de
biela-manivela la conversión del
movimiento de traslación del pistón en
el interior del bloque motor en un
movimiento circular de giro del
cigüeñal.
Veamos algunos
concepto preliminares…
F
Por su parte, el par motor o "torque" (T) es el producto de la
fuerza aplicada (F) de empuje a los cilindros por la distancia (d)
al eje geométrico de giro del árbol del cigüeñal.
𝑻 = 𝑭 ∙ 𝒅
Problema 2

10. La potencia (P) desarrollada por un par motor (T)
viene dada por la siguiente expresión:
𝑷 = 𝑻 ∙ 𝝎
…dónde (ω) la velocidad angular de giro (rad/s) del eje de transmisión o eje del
cigüeñal y la potencia del motor se mide, según el SI de unidades, en watios (W).
En ocasiones es interesante conocer la potencia en función de las revoluciones por minutos
(r.p.m.) a la que gira el motor en vez de la velocidad angular. En efecto, si (n) son las
revoluciones por minuto a la que gira el motor, entonces la potencia (P) se expresa como
sigue:
𝑷 = 𝑻 ∙ 𝝎 =
𝟐𝝅 ∙ 𝑻 ∙ 𝒏
𝟔𝟎
…dónde
P es la potencia motor, en W;
T es el par motor, en N·m;
n son las revoluciones por minuto de giro del motor (r.p.m.)
Pero también resulta útil conocer la potencia expresada en otras unidades de uso muy común,
como son: HP (o caballo de potencia, es la unidad de medida de la potencia empleada en el sistema anglosajón de
unidades, y se define como la potencia necesaria para levantar a la velocidad de 1 pie/minuto un peso de 32572
libras) y CV (o caballo vapor, es la unidad de medida que emplea unidades del sistema internacional, y se define como la
potencia necesaria para levantar un peso de 75 Kgf. en un segundo, a un metro de altura.)
Veamos algunos
concepto preliminares…
Problema 2

11. En ocasiones es interesante conocer la potencia en función de las revoluciones por minutos
(r.p.m.) a la que gira el motor en vez de la velocidad angular. En efecto, si (n) son las
revoluciones por minuto a la que gira el motor, entonces la potencia (P) se expresa como
sigue:
𝑷 = 𝑻 ∙ 𝝎 =
𝟐𝝅 ∙ 𝑻 ∙ 𝒏
𝟔𝟎
…dónde
P es la potencia motor, en W;
T es el par motor, en N·m;
n son las revoluciones por minuto de giro del motor (r.p.m.)
Pero también resulta útil conocer la potencia expresada en otras unidades de uso muy común,
como son: HP (o caballo de potencia, es la unidad de medida de la potencia empleada en el sistema anglosajón de
unidades, y se define como la potencia necesaria para levantar a la velocidad de 1 pie/minuto un peso de 32572
libras) y CV (o caballo vapor, es la unidad de medida que emplea unidades del sistema internacional, y se define como la
potencia necesaria para levantar un peso de 75 Kgf. en un segundo, a un metro de altura.)
Sus equivalencias con las unidades del SI son: 1 HP = 745,69987 W
1 CV = 735,49875 W
Veamos algunos
concepto preliminares…
El par motor genera en ejes y árboles de transmisión una solicitación por
torsión que podemos calcular en función de la potencia y rpm del motor.
La potencia (P) desarrollada por un par motor (T)
viene dada por la siguiente expresión:
𝑷 = 𝑻 ∙ 𝝎
…dónde (ω) la velocidad angular de giro (rad/s) del eje de transmisión o eje del
cigüeñal y la potencia del motor se mide, según el SI de unidades, en watios (W).
Problema 2

12. La polea C recibe 100 HP, mientras que la
polea B toma 40 HP y la polea D toma 60 HP.
El número de revoluciones es de n = 175 rpm.
Adoptar una tensión admisible Adm = 120
kg/cm2 y un valor de G = 840.000 kg/cm2.
Repetimos el cálculo para un árbol hueco de
relación de diámetros m = 0,5 ¿Qué sucede si
intercambio de posición las poleas C y B?
Calcular un árbol de transmisión
como el de la figura, con dos apoyos
y tres poleas…
Resolución
Convertimos las potencias (dadas en HP) en
momentos torsores y trazamos el diagrama de MT
𝐌𝐁 = 𝟕𝟏𝟔𝟐𝟎
𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦 ∙ 𝐫𝐩𝐦
𝐇𝐏
∙
𝟒𝟎 𝐇𝐏
𝟏𝟕𝟓 𝐫𝐩𝐦
≅ 𝟏𝟔𝟒𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦
𝐌𝐂 = 𝟕𝟏𝟔𝟐𝟎
𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦 ∙ 𝐫𝐩𝐦
𝐇𝐏
∙
𝟏𝟎𝟎 𝐇𝐏
𝟏𝟕𝟓 𝐫𝐩𝐦
≅ 𝟒𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦
𝐌𝐃 = 𝟕𝟏𝟔𝟐𝟎
𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦 ∙ 𝐫𝐩𝐦
𝐇𝐏
∙
𝟔𝟎 𝐇𝐏
𝟏𝟕𝟓 𝐫𝐩𝐦
≅ 𝟐𝟒𝟔𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦
𝐌𝐁
𝐌𝐃
𝐌𝐂
Problema 2

13. Calcular un árbol de transmisión
como el de la figura, con dos apoyos
y tres poleas…
𝐌𝐁
𝐌𝐃
𝐌𝐂
El tramo de árbol más solicitado será el tramo C-D. En el mismo
actuará un momento torsor 𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
= 𝐌𝐃 ≅ 𝟐𝟒𝟔𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦
Resolución
Convertimos las potencias (dadas en HP) en
momentos torsores y trazamos el diagrama de MT
𝐌𝐁 = 𝟕𝟏𝟔𝟐𝟎
𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦 ∙ 𝐫𝐩𝐦
𝐇𝐏
∙
𝟒𝟎 𝐇𝐏
𝟏𝟕𝟓 𝐫𝐩𝐦
≅ 𝟏𝟔𝟒𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦
𝐌𝐂 = 𝟕𝟏𝟔𝟐𝟎
𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦 ∙ 𝐫𝐩𝐦
𝐇𝐏
∙
𝟏𝟎𝟎 𝐇𝐏
𝟏𝟕𝟓 𝐫𝐩𝐦
≅ 𝟒𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦
𝐌𝐃 = 𝟕𝟏𝟔𝟐𝟎
𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦 ∙ 𝐫𝐩𝐦
𝐇𝐏
∙
𝟔𝟎 𝐇𝐏
𝟏𝟕𝟓 𝐫𝐩𝐦
≅ 𝟐𝟒𝟔𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦
La polea C recibe 100 HP, mientras que la
polea B toma 40 HP y la polea D toma 60 HP.
El número de revoluciones es de n = 175 rpm.
Adoptar una tensión admisible Adm = 120
kg/cm2 y un valor de G = 840.000 kg/cm2.
Repetimos el cálculo para un árbol hueco de
relación de diámetros m = 0,5 ¿Qué sucede si
intercambio de posición las poleas C y B?
Problema 2

14. Dimensionamos el árbol suponiendo para el
mismo un diámetro constante:
𝐌𝐁
𝐌𝐃
𝐌𝐂
𝝉𝒂𝒅𝒎 =
𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
∙
𝑫
𝟐
𝑱𝟎
→
𝑱𝟎 =
𝝅 ∙ 𝑫𝟒
𝟑𝟐
𝜽 =
𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
𝑮 ∙ 𝑱𝟎
…reemplazando 𝑱𝟎 y despejando 𝑫 se tiene:
→
𝑫 =
𝟑 𝟏𝟔 ∙ 𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
𝝅 ∙ 𝝉𝒂𝒅𝒎
≅ 𝟏𝟎, 𝟏𝟒 𝒄𝒎
𝜽 =
𝟑𝟐 ∙ 𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝑫𝟒
≅ 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎−𝟔
𝒓𝒂𝒅
𝒄𝒎
Repetimos ahora el cálculo para
un árbol hueco de relación de
diámetros m = 0,5…
Problema 2

15. …en este caso será:
Resolución
𝐌𝐁
𝐌𝐃
𝐌𝐂
𝝉𝒂𝒅𝒎 =
𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
∙
𝑫
𝟐
𝑱𝟎
→
𝑱𝟎 =
𝝅 ∙ 𝑫𝒆
𝟒
∙ 𝟏 − 𝒎𝟒
𝟑𝟐
𝜽 =
𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
𝑮 ∙ 𝑱𝟎
𝒎 =
𝒅𝒊
𝑫𝒆
…reemplazando 𝑱𝟎 y despejando𝑫𝒆 se tiene:
→
𝑫𝒆 =
𝟑 𝟏𝟔 ∙ 𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
𝝅 ∙ 𝝉𝒂𝒅𝒎 ∙ 𝟏 − 𝒎𝟒 ≅ 𝟏𝟎, 𝟑𝟕 𝒄𝒎
𝜽 =
𝟑𝟐 ∙ 𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝑫𝒆
𝟒
∙ 𝟏 − 𝒎𝟒
≅ 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
𝒓𝒂𝒅
𝒄𝒎
Repetimos ahora el cálculo para
un árbol hueco de relación de
diámetros m = 0,5…

16. Calculamos el área de ambas secciones:
𝐌𝐁
𝐌𝐃
𝐌𝐂
Analizamos ambas
secciones…
𝑭● =
𝝅 ∙ 𝑫𝟐
𝟒
≅ 𝟖𝟎, 𝟕𝟓 𝒄𝒎𝟐
𝑭◎ =
𝝅 ∙ 𝑫𝒆
𝟐 ∙ 𝟏 − 𝒎𝟐
𝟒
≅ 𝟔𝟑, 𝟑𝟒 𝒄𝒎𝟐
Así será:
𝑲𝑭 =
𝑭● − 𝑭◎
𝑭●
≅ 𝟐𝟐%
…la sección hueca será un 22% más liviana
𝑲𝑫 =
𝑫 − 𝑫𝒆
𝑫
≅ 𝟎, 𝟑%
…la sección hueca tendrá un diámetro apenas un 0,3% mayor
Problema 2

17. …en dónde intercambiamos las posiciones de
las poleas B y C:
𝐌𝐁
𝐌𝐃
𝐌𝐂
Analizamos ahora la
siguiente configuración…
…el diagrama de momentos torsores ahora será:
𝐌𝐂
𝐌𝐁
𝐌𝐃
Problema 2

18. …en dónde intercambiamos las posiciones de
las poleas B y C: Resolución
𝐌𝐁
𝐌𝐃
𝐌𝐂
Analizamos ahora la
siguiente configuración…
…el diagrama de momentos torsores ahora será:
𝐌𝐂
𝐌𝐁
𝐌𝐃
…y el tramo de árbol más solicitado será el C-B. En el mismo actuará un
momento torsor 𝑴𝑻𝒎𝒂𝒙
= 𝑴C = 𝟒𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐊𝐠 ∙ 𝐜𝐦 > 𝑴D

19. Bibliografía
Recomendada
(en orden alfabético)
 Estabilidad II - E. Fliess
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

20. Muchas Gracias