Teorías de Estado Límite (Teórica-13a - Presentación del Tema)

1. Teorías de Estado Límite
(Presentación del Tema)
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Los estados límite se
define como aquellos
estados…
…que lleva a la estructura a dejar de comportarse dentro de los parámetros establecidos
como admisibles.
Un límite muy utilizado es el límite elástico, que es el momento en el que el material deja
de comportarse como un material elástico (en donde al descargar el material, éste vuelve por el mismo
camino, y recupera su forma).
Es importante destacar que estamos estudiando el estado límite de un punto del sólido.
Esto no significa la falla o rotura de una sección, ni mucho menos de una estructura dado
que ésta no falla cuando solo un punto entra en fluencia.
Muchas de las teorías usadas determinan el límite de
fluencia a partir de un ensayo uniaxial (de tracción o
compresión simple). Estos ensayos suelen ser simples de
realizar en un laboratorio, y el estado de tensión se
alcanza simultáneamente en todas las secciones
transversales.
La tensión que genera ese suceso se conoce como tensión de fluencia, pero luego de
alcanzadas estas tensiones el material puede seguir evolucionando tanto en tensiones o
deformaciones, en lo que se conoce como régimen plástico.

3. Veamos la Teoría de la
máxima tensión normal
(Rankine)…
…esta teoría propone que el estado límite
se da en términos de la máxima tensión
normal:
Así, Rankine plantea, que la máxima tensión
normal es igual a una de las tensiones
principales.
𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑓
Para un estado plano de tensiones, las
tensiones principales resultan:
𝜎1−3 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
Si lo analizamos usando la circunferencia de Mohr, el primer término corresponde al centro
O de la circunferencia, y el segundo corresponde a sumar o restar el radio de la
circunferencia. Entonces:
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
≤ 𝜎𝑓
…y en caso adicional de barras, donde sólo hay
una tensión normal:
O

4. Veamos la Teoría de la
máxima tensión normal
(Rankine)…
…esta teoría propone que el estado límite
se da en términos de la máxima tensión
normal:
Así, Rankine plantea, que la máxima tensión
normal es igual a una de las tensiones
principales.
𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑓
Para un estado plano de tensiones, las
tensiones principales resultan:
Si lo analizamos usando la circunferencia de Mohr, el primer término corresponde al centro
O de la circunferencia, y el segundo corresponde a sumar o restar el radio de la
circunferencia. Entonces:
𝜎𝑥
2
±
𝜎𝑥
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
≤ 𝜎𝑓
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
≤ 𝜎𝑓
…y en caso adicional de barras, donde sólo hay
una tensión normal:
𝜎1−3 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
O

5. 𝜎1 ≥ 𝑆𝑢𝑡 ó 𝜎3 ≤ 𝑆𝑢𝑐
…donde Sut y Suc son resistencias últimas a la tracción y a la compresión, respectivamente
…lo cual se grafica como:
Estas ecuaciones de criterio de falla pueden
convertirse en ecuaciones de diseño como
sigue:
𝝈𝟏 ≥
𝑺𝒖𝒕
𝑪𝑺
ó 𝝈𝟑 ≤
𝑺𝒖𝒄
𝑪𝑺
…esta teoría predice que la
falla ocurre cuando:

6. Veamos la Teoría de la
Máxima tensión tangencial
(Tresca-Guest)…
…esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima tensión tangencial:
𝜎1 − 𝜎3
2
≤
𝜎𝑓
2
…y para un estado plano de tensiones,
las tensiones principales resultan:
1
2
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
−
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
≤
𝜎𝑓
2
…o bien:
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
≤
𝜎𝑓
2
…y en caso adicional de barras, donde sólo hay
una tensión normal:

7. Veamos la Teoría de la
Máxima tensión tangencial
(Tresca-Guest)…
…esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima tensión tangencial:
𝜎1 − 𝜎3
2
≤
𝜎𝑓
2
…y para un estado plano de tensiones,
las tensiones principales resultan:
1
2
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
−
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
≤
𝜎𝑓
2
…o bien:
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
≤
𝜎𝑓
2
…y en caso adicional de barras, donde sólo hay
una tensión normal:
𝝈𝒙
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐 ≤
𝝈𝒇
𝟐

8. 𝑆𝑦𝑡 = 𝑆𝑦𝑐 = 𝑆𝑦
…cuando los materiales
tienen una resistencia a la
fluencia identificable…
…que a menudo es la misma en compresión
que en tracción, se cumple:
Caso 1: A  B  0. En este caso, 1 = A y 3 = 0  A  Sy .
Caso 2: A  0  B . En este caso, 1 = A y 3 = B  A - B  Sy .
Caso 3: 0  A  B . En este caso, 1 = 0 y 3 = B  B  Sy .
…que se representan en la figura mediante
tres líneas indicadas en el plano A, B (y
sus antimétricas) las cuales demarcan la
envolvente del esfuerzo a la fluencia.
…los problemas de diseño de ejes caen en
esta categoría donde existe un esfuerzo
normal a partir de las cargas en flexión y/o
axiales, y surge un esfuerzo cortante a
partir de la torsión.

9. Veamos la Teoría de la
Máxima deformación
principal (Saint Venant)…
…esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima deformación específica longitudinal:
𝜀𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜀𝑓
Las máximas deformaciones longitudinales se dan en los planos principales. Por lo que, en
función de las tensiones  y  para un estado plano (𝝈𝟏 > 𝟎; 𝝈𝟐 = 𝟎; 𝝈𝟑 < 𝟎):
Por otro lado, la deformación máxima asociada a un ensayo de tracción pura resulta: 𝜀𝑓 =
𝜎𝑓
𝐸
Por lo tanto, la teoría de Saint Venant se puede reescribir como: 𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎3
𝐸
≤
𝜎𝑓
𝐸

10. …esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima deformación específica longitudinal:
𝜀𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜀𝑓
Las máximas deformaciones longitudinales se dan en los planos principales. Por lo que, en
función de las tensiones  y  para un estado plano (𝝈𝟏 > 𝟎; 𝝈𝟐 = 𝟎; 𝝈𝟑 < 𝟎):
Por otro lado, la deformación máxima asociada a un ensayo de tracción pura resulta: 𝜀𝑓 =
𝜎𝑓
𝐸
Por lo tanto, la teoría de Saint Venant se puede reescribir como: 𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎3
𝐸
≤
𝜎𝑓
𝐸
→ 𝝈𝟏 − 𝝁 ∙ 𝝈𝟑 ≤ 𝝈𝒇 …ó 𝝈𝟑 − 𝝁 ∙ 𝝈𝟏 ≤ 𝝈𝒇
Veamos la Teoría de la
Máxima deformación
principal (Saint Venant)…

11. Veamos la Teoría de la
Máxima Energía de
Deformación (Beltrami)…
…esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima energía de deformación por unidad de volumen:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 ≤ 𝑈𝑓,𝑉𝑜𝑙
La energía de deformación, por unidad de volumen, se define
como un medio del producto de las tensiones por las
deformaciones:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2
∙ 𝜎 ∙ 𝜀
Trabajando en ejes principales, pues es más sencilla el álgebra:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2
∙ 𝜎1 ∙ 𝜀1 + 𝜎2 ∙ 𝜀2 + 𝜎3 ∙ 𝜀3
…y rescribiendo en término de las tensiones,
utilizando la ley de Hooke:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2
∙ 𝜎1 ∙
𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎2
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎3
𝐸
+ 𝜎2 ∙
𝜎2
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎3
𝐸
+ 𝜎3 ∙
𝜎3
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎2
𝐸
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2𝐸
∙ 𝜎1
2
+ 𝜎2
2
+ 𝜎3
2
− 2𝜇 ∙ 𝜎1 ∙ 𝜎2 + 𝜎2 ∙ 𝜎3 + 𝜎1 ∙ 𝜎3
Por otro lado, la energía de deformación por unidad de volumen asociada a un ensayo de
tracción pura resulta:
𝜎1 = 𝜎𝑓; 𝜎2 = 𝜎3 = 0 → 𝑈𝑖 =
1
2𝐸
∙ 𝜎𝑓
2

12. …esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima energía de deformación por unidad de volumen:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 ≤ 𝑈𝑓,𝑉𝑜𝑙
La energía de deformación, por unidad de volumen, se define
como un medio del producto de las tensiones por las
deformaciones:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2
∙ 𝜎 ∙ 𝜀
Trabajando en ejes principales, pues es más sencilla el álgebra:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2
∙ 𝜎1 ∙ 𝜀1 + 𝜎2 ∙ 𝜀2 + 𝜎3 ∙ 𝜀3
…y rescribiendo en término de las tensiones,
utilizando la ley de Hooke:
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2
∙ 𝜎1 ∙
𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎2
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎3
𝐸
+ 𝜎2 ∙
𝜎2
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎3
𝐸
+ 𝜎3 ∙
𝜎3
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎1
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎2
𝐸
𝑈𝑖,𝑉𝑜𝑙 =
1
2𝐸
∙ 𝜎1
2
+ 𝜎2
2
+ 𝜎3
2
− 2𝜇 ∙ 𝜎1 ∙ 𝜎2 + 𝜎2 ∙ 𝜎3 + 𝜎1 ∙ 𝜎3
Por otro lado, la energía de deformación por unidad de volumen asociada a un ensayo de
tracción pura resulta:
𝜎1 = 𝜎𝑓; 𝜎2 = 𝜎3 = 0 → 𝑈𝑖 =
1
2𝐸
∙ 𝜎𝑓
2
1
2𝐸
∙ 𝜎1
2
+ 𝜎2
2
+ 𝜎3
2
− 2𝜇 ∙ 𝜎1 ∙ 𝜎2 + 𝜎2 ∙ 𝜎3 + 𝜎1 ∙ 𝜎3 =
1
2𝐸
∙ 𝜎𝑓
2
…y en el caso de estado doble: 𝝈𝟏
𝟐
+ 𝝈𝟑
𝟐
− 𝟐𝝁 ∙ 𝝈𝟏 ∙ 𝝈𝟑 = 𝝈𝒇
𝟐
…y reemplazando:
Veamos la Teoría de la
Máxima Energía de
Deformación (Beltrami)…
(𝝈𝟏 > 𝟎; 𝝈𝟐 = 𝟎; 𝝈𝟑 < 𝟎)

13. Veamos la Teoría de la
Máxima energía de
distorsión (Von Mises)…
Von Mises logró comprobar experimentalmente que la carga máxima que soportaban
probetas de acero no dependía de la presión a la que estaban solicitadas. De este análisis
propone como teoría que el estado límite se da en términos de la máxima energía de
distorsión por unidad de volumen.
El tensor de tensiones se puede descomponer en un tensor esférico y uno desviador:
𝑇𝑖 = 𝜎0 ∙ 𝐼 + 𝑇𝑑
→
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
=
𝜎0 0 0
0 𝜎0 0
0 0 𝜎0
+
𝜎𝑥 − 𝜎0 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 − 𝜎0 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎0
La componente esférica está asociada a la presión en el campo de tensiones, y al cambio
de volumen en su contraparte en deformaciones. El desviador está asociado a la distorsión
o cambio de forma. La energía de deformación también puede descomponerse en las
componentes volumétrica y distorsión. Para calcular la energía de distorsión calcularemos
primero la componente esférica:

14. Veamos la Teoría de la
Máxima energía de
distorsión (Von Mises)…
Von Mises logró comprobar experimentalmente que la carga máxima que soportaban
probetas de acero no dependía de la presión a la que estaban solicitadas. De este análisis
propone como teoría que el estado límite se da en términos de la máxima energía de
distorsión por unidad de volumen.
El tensor de tensiones se puede descomponer en un tensor esférico y uno desviador:
𝑇𝑖 = 𝜎0 ∙ 𝐼 + 𝑇𝑑
→
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
=
𝜎0 0 0
0 𝜎0 0
0 0 𝜎0
+
𝜎𝑥 − 𝜎0 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 − 𝜎0 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎0
La componente esférica está asociada a la presión en el campo de tensiones, y al cambio
de volumen en su contraparte en deformaciones. El desviador está asociado a la distorsión
o cambio de forma. La energía de deformación también puede descomponerse en las
componentes volumétrica y distorsión. Para calcular la energía de distorsión calcularemos
primero la componente esférica:
𝑈𝑖,𝐸𝑠𝑓 =
1
2
∙ 𝜎0 ∙ 𝜀0 + 𝜎0 ∙ 𝜀0 + 𝜎0 ∙ 𝜀0 =
3
2
∙ 𝜎0∙ 𝜀0 =
3
2
∙ 𝜎0∙
𝜎0
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎0
𝐸
−
𝜇 ∙ 𝜎0
𝐸
𝑈𝑖,𝐸𝑠𝑓 =
3
2𝐸
∙ 𝜎0
2
∙ 1 − 2𝜇 =
3
2𝐸
∙
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
2
∙ 1 − 2𝜇

15. La energía de distorsión es entonces la resta de la total menos la esférica:
𝑈𝑖 = 𝑈𝑖,𝐸𝑠𝑓 + 𝑈𝑖,𝐷𝑖𝑠𝑡 → 𝑈𝑖,𝐷𝑖𝑠𝑡 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑖,𝐸𝑠𝑓
Por lo tanto, reemplazando y desarrollando:
𝑈𝑖,𝐷𝑖𝑠𝑡 =
1 + 𝜇
6𝐸
𝜎1 − 𝜎2
2
+ 𝜎1 − 𝜎3
2
+ 𝜎2 − 𝜎3
2
=
1
6𝐺
𝜎1 − 𝜎2
2
+ 𝜎1 − 𝜎3
2
+ 𝜎2 − 𝜎3
2
2
Por otro lado, la energía de distorsión asociada a un ensayo de tracción pura resulta:
𝜎1 = 𝜎𝑓; 𝜎2 = 𝜎3 = 0 → 𝑈𝑖,𝐷𝑖𝑠𝑡 =
1
6𝐺
∙ 𝜎𝑓
2
Por lo tanto, la teoría de Von Mises se puede reescribir como:
1
6𝐺
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎1 − 𝜎3
2 + 𝜎2 − 𝜎3
2
2
=
𝜎𝑓
2
6𝐺
→
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎1 − 𝜎3
2 + 𝜎2 − 𝜎3
2
2
≤ 𝜎𝑓
…y para un estado doble: 𝜎1
2 + 𝜎3
2 + 𝜎1 − 𝜎3
2
2
= 𝝈𝟏
𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟑 + 𝝈𝟑
𝟐 ≤ 𝝈𝒇
…ecuación es una elipse rotada en el plano:
(𝝈𝟏 > 𝟎; 𝝈𝟐 = 𝟎; 𝝈𝟑 < 𝟎)

16. Las líneas punteadas en la figura representan la teoría del ECM, que
puede verse como más restrictiva y, por ende, más conservadora.
La teoría de la energía de distorsión no predice falla
bajo presión hidrostática y concuerda con todos los
datos del comportamiento dúctil. Por consiguiente, es
la teoría más empleada para los materiales dúctiles y se
recomienda para los problemas de diseño.
Los problemas de diseño de ejes caen en esta categoría donde
existe un esfuerzo normal a partir de las cargas en flexión y/o
axiales, y surge un esfuerzo cortante a partir de la torsión.
…ecuación es una elipse rotada en el plano:
(Energía de Distorsión)
(Tensión Tangencial)

17. Problema
El árbol de transmisión construido en acero
que se observa en la figura, se encuentra
apoyado sobre dos cojinetes…
…A y B y en su extremo C tiene una polea de peso PC y
radio RC cuya correa soporta en régimen en marcha
esfuerzos de tracción constante T1 y T2 y transmite
una potencia N a n rpm.
1. Dimensionar el mismo,
aplicando las teorías de
falla que a continuación
se indican:
• Máxima tensión tangencial
• Máxima energía de distorsión
• Máxima tensión principal
• Máxima deformación específica principal
2. Realizar un cuadro comparativo de valores
3. Realizar un comentario general
Se solicita:
(Problema N° 7 de la Guía
de la Práctica - TP N° 10)

18. En primer lugar, debemos observar cuales
son las cargas que actúan sobre el árbol y a
partir de las mismas…
…obtener los diagramas de características para
identificar luego la sección más comprometida.
El momento torsor MT en
función de la potencia N
y la velocidad angular n,
está dado por la siguiente
expresión:
𝑴𝑻 = 𝟕𝟏𝟔, 𝟐𝟎 ∙
𝑵
𝒏
…y reemplazando valores: 𝑴𝑻 = 𝟒𝟒𝟕, 𝟔𝟑 𝒌𝑵 ∙ 𝒄𝒎
Siendo T1 > T2 la polea girará como indica la figura, y como además:
𝑴𝑻 = 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 ∙ 𝑹𝑪 = 𝟐, 𝟒𝟎 ∙ 𝑻𝟐 − 𝑻𝟐 ∙ 𝑹𝑪
𝑻𝟏
𝑻𝟐
= 𝟐, 𝟒𝟎
→
𝑻𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟔 𝒌𝑵
𝑻𝟐 = 𝟗, 𝟒𝟎 𝒌𝑵

19. Trazamos ahora
el diagrama de
cuerpo libre
…donde:
RA RB
P
𝑷 = 𝑷𝑪 + 𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟗𝟔 𝒌𝑵
…resolvemos RA y RB:
𝐹𝐻 = 0 = 𝑃 − 𝑅𝐴 − 𝑅𝐴
𝑀𝐵 = 0 = −𝑃 ∙ 𝑎 + 𝑙 + 𝑅𝐴 ∙ 𝑙
→
𝑹𝑨 = 𝟒𝟎, 𝟕𝟓 𝒌𝑵
𝑹𝑩 = 𝟔, 𝟕𝟗 𝒌𝑵
…y trazamos los diagramas de características:
+
-
Qzy
33,96 [kN]
-6,79 [kN]
-
Mfx
-679,20 [kN cm]
Mtz
447,63[kN cm]
Como puede observarse, la sección más
comprometida es la que se encuentra un z a la
izquierda del punto A (A’), dónde se verifican los
máximos valores de los esfuerzos característicos.
A’
→
𝑸𝒛𝒚(𝑨′) = 𝟑𝟑, 𝟗𝟔 𝒌𝑵
𝑴𝒇𝒙(𝑨′) = 𝟔𝟕𝟗, 𝟐𝟎 𝒌𝑵 ∙ 𝒄𝒎
𝑴𝒕𝒛(𝑨′) = 𝟒𝟒𝟕, 𝟔𝟑 𝒌𝑵 ∙ 𝒄𝒎

20. Analicemos los
diagramas de tensiones…
x
y
Graficamos las tensiones
normales
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas al
corte
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas a la
torsión
T
…para la sección más comprometida (A’)

O

21. Analicemos los
diagramas de tensiones…

Graficamos las tensiones
normales
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas al
corte
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas a la
torsión
…para la sección más comprometida (A’)
Como puede observarse los puntos K y T que se indican y que
pertenecen al contorno externo son los más peligrosos pues
soportan las máximas tensiones debidas a los esfuerzos
predominantes (Mfx) y (Mtz)
K
T
O
T
y
x

22. 
Graficamos las tensiones
normales
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas al
corte
Graficamos las tensiones
tangenciales debidas a la
torsión
…para la sección más comprometida (A’)
En cuanto a los efectos del esfuerzo de corte (Qzy) las tensiones
tangenciales (Q) derivadas de los mismos puntos K y T resultan nulas.
Por otra parte, puntos tales como el (O), ubicados sobre el eje x,
soportan las máximas tensiones (Qmax) pero siendo dichos esfuerzos de
escasa magnitud relativa, pueden despreciarse en los cálculos
K
T
O
T
y
x

23. En definitiva se tiene…
…por efectos del momento flexor (Mfx)
𝝈𝒛 𝑲 =
𝑴𝒇𝒙 ∙ 𝒅
𝟐
𝑱𝒙
=
𝟑𝟐 ∙ 𝑴𝒇𝒙
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
…por efectos del momento torsor (Mtz)
𝝉𝒛𝒙 𝑲 =
𝑴𝒕𝒛 ∙ 𝒅
𝟐
𝑱𝟎
=
𝟏𝟔 ∙ 𝑴𝒕𝒛
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
…por efectos del esfuerzo de corte (Qxy)
𝝉𝒙𝒛−𝒎𝒂𝒙 𝑶 =
𝟒
𝟑
∙
𝑸𝒙𝒚
𝑭
= 𝟓, 𝟑𝟑 … ∙
𝑸𝒙𝒚
𝝅 ∙ 𝒅𝟐
𝝉𝒙𝒛 𝑲 = 𝟎
…y finalmente en un punto como el K se tiene el
siguiente estado (plano) tensional:
x
y
z
z
zx
xz

24. …y las tensiones
principales…
…correspondientes al punto (K) serán:
x
y
z
z
zx
xz
𝝈𝟏,𝟑 =
𝝈𝒛 𝑲
𝟐
±
𝟏
𝟐
∙ 𝝈𝒛 𝑲
𝟐
+ 𝟒 ∙ 𝝉𝒛𝒙 𝑲
𝟐
…reemplazando y operando se tiene:
𝝈𝟏 =
𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
∙ 𝑴𝒇𝒙 + 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐
𝝈𝟑 =
𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
∙ 𝑴𝒇𝒙 − 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐
Una vez obtenida la sección más comprometida, y de ésta
las fibras más solicitadas, al igual que sus tensiones
principales procedemos a dimensional el árbol de acuerdo
con los distintos criterios de falla.

25. Teoría de la Máxima
tensión tangencial (Tresca-
Guest)…
…esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima tensión tangencial:
𝜎1 − 𝜎3
2
≤
𝜎𝑎𝑑𝑚
2
…y para un estado plano de tensiones, como el del problema, y considerado la igualdad
como caso límite resulta:
𝝈𝒂𝒅𝒎 =
𝟑𝟐
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
∙ 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐 → 𝒅 =
𝟑 𝟑𝟐
𝝅 ∙ 𝝈𝒂𝒅𝒎
∙ 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐 = 𝟖, 𝟎𝟑 𝒄𝒎

26. …esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima energía de distorsión:
∅𝑑−𝑚𝑎𝑥 ≤ ∅𝑎𝑑𝑚
…y para un estado plano de tensiones, como el del problema, y considerado la igualdad
como caso límite resulta:
𝝈𝟏
𝟐
+ 𝝈𝟑
𝟐
− 𝝈𝟏 ∙ 𝝈𝟑 = 𝝈𝒂𝒅𝒎
𝟐
Teoría de la Máxima
energía de distorsión (Von
Mises)…
…reemplazando los valores de las tensiones principales, operando y despejando el
diámetro se tiene:
𝝈𝒂𝒅𝒎 =
𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
∙ 𝟒 ∙ 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝟑 ∙ 𝑴𝒕𝒛
𝟐 → 𝒅 =
𝟑 𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝝈𝒂𝒅𝒎
∙ 𝟒 ∙ 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝟑 ∙ 𝑴𝒕𝒛
𝟐 = 𝟖, 𝟎𝟑 𝒄𝒎

27. Teoría de la Máxima
deformación principal
(Saint Venant)…
…esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima deformación específica longitudinal:
𝜀𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜀𝑎𝑑𝑚
…y para un estado plano de tensiones, como el del problema, y considerado la igualdad
como caso límite resulta:
𝝈𝟏 − 𝝁 ∙ 𝝈𝟑 = 𝝈𝒂𝒅𝒎
…reemplazando los valores de las tensiones principales, operando y despejando el
diámetro se tiene:
𝝈𝒂𝒅𝒎 =
𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
∙ 𝟏 − 𝝁 ∙ 𝑴𝒇𝒙 + 𝟏 + 𝝁 ∙ 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐
→ 𝒅 =
𝟑 𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝝈𝒂𝒅𝒎
∙ 𝟏 − 𝝁 ∙ 𝑴𝒇𝒙 + 𝟏 + 𝝁 ∙ 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐 = 𝟕, 𝟖𝟔 𝒄𝒎

28. Teoría de la máxima
tensión normal (Rankine)…
…esta teoría propone que el estado límite se da en términos de la
máxima tensión normal:
𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
…y para un estado plano de tensiones, como el del problema, y considerado la igualdad
como caso límite resulta:
𝝈𝟏 = 𝝈𝒂𝒅𝒎
…reemplazando los valores de las tensiones principales, operando y despejando el
diámetro se tiene:
𝝈𝒂𝒅𝒎 =
𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝒅𝟑
∙ 𝑴𝒇𝒙 + 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐
→ 𝒅 =
𝟑 𝟏𝟔
𝝅 ∙ 𝝈𝒂𝒅𝒎
∙ 𝑴𝒇𝒙 +∙ 𝑴𝒇𝒙
𝟐 + 𝑴𝒕𝒛
𝟐 = 𝟕, 𝟖𝟎 𝒄𝒎

29. Realizamos ahora un
cuadro comparativo de
valores…
Teoría de Falla d [cm]
Máxima Tensión Tangencial 8,03
Máxima Energía de Distorsión 7,93
Máxima Deformación Específica 7,86
Máxima Tensión Principal 7,80
Como puede apreciarse, y esto ocurre en casos de flexotorsión como el presente, la Teoría
de la Máxima Tensión Tangencial es la que brinda mayor diámetro, o sea, mayor margen
de seguridad
También podemos verificar para la sección más comprometida, cuál es la máxima tensión
tangencial 𝝉𝒙𝒛−𝒎𝒂𝒙 𝑶 debida al esfuerzo de corte 𝑸𝒙𝒚 …
…en este caso, adoptando el menor de los
diámetros calculados (d = 7,80 cm), por ser
el más desfavorable, se tiene:
𝝉𝒙𝒛−𝒎𝒂𝒙 𝑶 = 𝟓, 𝟑𝟑 … ∙
𝑸𝒙𝒚
𝝅 ∙ 𝒅𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟓
𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐

30. Realizamos ahora un
cuadro comparativo de
valores…
Teoría de Falla d [cm]
Máxima Tensión Tangencial 8,03
Máxima Energía de Distorsión 7,93
Máxima Deformación Específica 7,86
Máxima Tensión Principal 7,80
Como puede apreciarse, y esto ocurre en casos de flexotorsión como el presente, la Teoría
de la Máxima Tensión Tangencial es la que brinda mayor diámetro, o sea, mayor margen
de seguridad
También podemos verificar para la sección más comprometida, cuál es la máxima tensión
tangencial 𝝉𝒙𝒛−𝒎𝒂𝒙 𝑶 debida al esfuerzo de corte 𝑸𝒙𝒚 …
…en este caso, adoptando el menor de los
diámetros calculados (d = 7,80 cm), por ser
el más desfavorable, se tiene:
𝝉𝒙𝒛−𝒎𝒂𝒙 𝑶 = 𝟓, 𝟑𝟑 … ∙
𝑸𝒙𝒚
𝝅 ∙ 𝒅𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟓
𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐
…se observa que la máxima tensión tangencial 𝝉𝒙𝒛−𝒎𝒂𝒙 𝑶 debida al esfuerzo de corte es
de pequeña magnitud. Por dicho motivo sus efectos se desprecian en los cálculos.
…y por tratarse de un material dúctil como es el caso del acero, la
teoría más adecuada es la de la Máxima Energía de Distorsión o bien
la de la Máxima Tensión Tangencial por el tipo de solicitación.

31. Veamos ahora la Teoría
experimental de Mohr…
El mecanismo de falla de los cuerpos depende de  y , en los planos de deslizamiento y
de fractura.
Supongamos un punto sujeto a un determinado
estado de tensión y hagamos crecer las tensiones
hasta alcanzar la fluencia. Alcanzando el estado
límite, se traza la circunferencia de Mohr de ese
estado (1 - 3).
Repitiendo para otros estados de tensión se obtiene
una familia de circunferencias límite cuya envolvente
es la envolvente de Mohr o curva de resistencia
intrínseca del material. Tres casos particulares son:
Compresión uniaxial, Tracción uniaxial, y Corte Puro.
Conocida la curva, el estado tensional habrá alcanzado la fluencia si alcanza la envolvente.

32. Veamos ahora la Teoría
experimental de Mohr…
El mecanismo de falla de los cuerpos depende de  y , en los planos de deslizamiento y
de fractura.
Supongamos un punto sujeto a un determinado
estado de tensión y hagamos crecer las tensiones
hasta alcanzar la fluencia. Alcanzando el estado
límite, se traza la circunferencia de Mohr de ese
estado (1 - 3).
Repitiendo para otros estados de tensión se obtiene
una familia de circunferencias límite cuya envolvente
es la envolvente de Mohr o curva de resistencia
intrínseca del material. Tres casos particulares son:
Compresión uniaxial, Tracción uniaxial, y Corte Puro.
Conocida la curva, el estado tensional habrá alcanzado la fluencia si alcanza la envolvente.
De forma simplificada, la envolvente puede
aproximarse por dos rectas según:
Analíticamente dicho limite se
puede escribir como:
𝜎1 − 𝑘 ∙ 𝜎3 ≤ 𝑆𝑡
𝑘 =
𝑆𝑡
𝑆𝑐

33. 𝜎1 − 𝑘 ∙ 𝜎3 ≤ 𝑆𝑡
𝑘 =
𝑆𝑡
𝑆𝑐
…o bien:
𝜎1
𝑆𝑡
−
𝜎3
𝑆𝑐
= 1
Para el esfuerzo plano, cuando los dos esfuerzos principales diferentes de cero es 𝜎𝐴 ≥ 𝜎𝐵
y las condiciones de falla son:
Caso 1: A  B  0. En este caso, 1 = A y 3 = 0  𝜎𝐴 ≥ 𝑆𝑡.
Caso 2: A  0  B . En este caso, 1 = A y 3 = B  𝜎𝐴
𝑆𝑡
− 𝜎𝐵
𝑆𝑐
≥ 1
Caso 3: 0  A  B . En este caso, 1 = 0 y B = B  𝜎𝐵 ≤ −𝑆𝑐.
En el caso de ecuaciones de diseño, la
incorporación del factor de seguridad CS divide
todas las resistencias. Por lo tanto, la ecuación
de diseño, puede escribirse como:
𝜎1
𝑆𝑡
−
𝜎3
𝑆𝑐
=
1
𝐶𝑆
…o bien: 𝑪𝑺 ≤
𝑺𝒕
𝝈𝟏 −
𝑺𝒕
𝑺𝒄
∙ 𝝈𝟑
Caso 3
Caso 2
Caso 1

34. Existen dos modificaciones de la
teoría de Mohr para materiales
frágiles…
…la teoría de Mohr-Coulomb frágil (MCF) y la teoría de Mohr modificada (MM).
Mohr-Coulomb frágil
Las ecuaciones de Mohr-Coulomb, escritas como ecuaciones de diseño para un material
frágil, éstas son:
Mohr modificada

35. Existen dos modificaciones de la
teoría de Mohr para materiales
frágiles…
…la teoría de Mohr-Coulomb frágil (MCF) y la teoría de Mohr modificada (MM).
Mohr-Coulomb frágil
Las ecuaciones de Mohr-Coulomb, escritas como ecuaciones de diseño para un material
frágil, éstas son:
Mohr modificada

36. Bibliografía
Recomendada
(en orden alfabético)
 Estabilidad II - E. Fliess
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

37. Muchas Gracias