EDO de primer Orden: EDO Homogénea y EDO Lineal

1. MATEMÁTICA II
EDO de primer Orden: EDO Homogénea y
EDO Lineal
1
IRIS YANINA CAMPOS
JIMENEZ

2. 2
Sin el domo, un disco de radar meteorológico
WF44.
Un radar meteorológico, es un tipo de radar
usado en meteorología para localizar
precipitaciones, calcular sus trayectorias y
estimar sus tipos (lluvia, nieve, granizo, etc.).
El "radar meteorológico" suele usarse junto
con detectores de rayos, para ubicar la
actividad mayor de una tormenta.
http://es.wikipedia.org/wiki/Radar_meteorol
%C3%B3gico
Un producto químico se vierte en un recipiente que
contiene una solución líquida con una determinada
cantidad de ese producto químico disuelto. La mezcla
se mantiene homogénea por agitación y, a su vez, sale
del recipiente a una velocidad conocida. En este
proceso es importante conocer la cantidad de producto
químico que contiene el recipiente en un momento
dado.
SESION 5: ECUACION DIFERENCIAL
HOMOGENEA Y LINEAL

3. 3
EDO de primer orden: Ecuación diferencial
homogénea; Ecuación diferencial lineal
1.-Ecuación diferencial ordinarias homogénea
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden ),(' yxFy  es
homogénea si y solo si )/(),( xygyxF  , es decir si es de la forma: 






x
y
gy '
Se resuelven efectuando la sustitución xyz / (notar que como )(xyy entonces
)(xzz ), y la ecuación (1) se reduce a una ecuación diferencial a variables
separables.
En efecto:
x
y
z  entonces zxy . , de donde '' zxzy 
reemplazando en la ecuación (1) se tiene
 zzg
x
z
x
zzg
zzgzxz x


  
)(
1
'
)(
')(' 0
que es una ecuación a variables separables, con función incógnita z = z (x).

4. 2.-Ecuacion Diferencial Ordinaria Lineal De Primer Orden
Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que pueden expresarse
en la forma:
)1()()(' xqyxpy 
donde p y q son funciones continuas en un intervalo I.
Si )(xq no es idénticamente nula en I, la ecuación (1) se llama lineal no homogénea.
Si 0)( xq en I se dice que la ecuación (1) es lineal homogénea y resulta una ecuación
a variables separables.
Una de las formas de resolver la ecuación (1) es mediante la sustitución
)(.)()( xvxuxy 
Para ello calculamos y′ = u′. v + u. v′, reemplazamos y e y′ en (1) y obtenemos
qvupvuvu  ''

5. Otra forma de expresar una ecuación diferencial de primer orden
es la siguiente:
5
 

  
  
  
)1(
01)()()()(
),(),(
linealformasuenEDO
yxNyxM
dydxxQyxPxQyxP
dx
dy

donde P(x) y Q(x) son funciones reales de variable real. Se observa que esta EDO no es exacta, puesto que:
El objetivo es encontrar un factor de integración de tal modo que la podamos hacer exacta. Por tanto,
asumiendo que sea un factor integrante que sólo dependa de x, realizamos la multiplicación y obtenemos la
EDO

6. 6
Ahora, como se desea que esta EDO sea exacta, debemos
tener la igualdad.
Donde la solución de la EDO del lado izquierdo es el factor integrante
el mismo que lo multiplicamos a cada lado de la EDO original, obteniendo de este modo
De ahí que
De todo esto resulta que la solución de la EDO original es

7. 7
Solución:
Paso 3 Reemplazando en la formula tenemos
Paso 4. Obtener la solución: