Una actividad de cierre del curso Matemática I, de la Postítulo de Especialización Docente, dictado por el Ministerio de Educación de la Nación Argentina.

1. Dea. Lic. Irma Noemí No
MATEMÁTICA I
TRABAJO FINAL
A.- Introducción – Ítems del Informe Final
Detallar:
1. Consigna:
Se dispone de una chapa para la confección de una canaleta (zinguería). Analizar
los caudales máximos que admitirá de acuerdo a su diseño.
La modalidad de trabajo será grupal presencial (70%) y domiciliaria individual (el
otro 30%). Presencialmente, se dará libertad de discutir y debatir entre pares las
posibles funcionalidades, enfoques, construcciones o diseños que se les ocurran o
encuentren en la Web, luego se dividirán el estudio específico de los diferentes
diseños, para analizar la temática de optimización del caudal, en modalidad
domiciliaria individual.
En la modalidad presencial se enfatizarán los criterios de selección, búsqueda,
enfoque, desarrollo, y validez de las posibles herramientas, recorridos y trayectos
de aprendizaje.
Domiciliariamente se dejará al alumno las tareas de

2. Dea. Lic. Irma Noemí No
profundización de desarrollos, demostraciones y uso de TIC como soporte de
cálculo, verificación y visualización.
El docente ocupará un rol de guía o tutor, y finalmente, será expositor en una
devolución global, institucionalizando los resultados y aportes de alumnos, que
considere relevantes para el enriquecimiento cognitivo del grupo.
2. Justificación de la Propuesta:
Principios
Es una consigna
“abierta”
Las TIC actúan con
recurso didáctico, no son
el eje del problema.
Puede extenderse y da
lugar a la elaboración de
conjeturas.
Evidencias
Al no especificar el formato de la canaleta, ni las
medidas ni formato de la chapa, el problema se vuelve
abierto, en el sentido de multiplicidad de producciones
posibles. Queda en manos de los alumnos, el análisis
de los casos de inviabilidad, ya sea por falta de
funcionalidad de la canaleta, dificultad de producción
o por ausencia de convencionalidad.
También es abierto el abordaje del problema, ¿lo
harán de manera inductiva poniendo valores testigos y
probando? ¿Lo harán de manera abstracta
directamente nominando con parámetros y variables
genéricas a las medidas del modelo? ¿Qué recurso
utilizarán para visualizar? ¿Cómo hallarán el óptimo?
¿Utilizarán recursos concretos para fijar ideas en la
creación de diseños? (Como podría ser una hoja en el
caso de una chapa rectangular)
También lo seleccioné porque tiene componentes
geométricos, analítico/funcionales y se corresponde
con una problemática real.
El recorrido o trayectoria didáctica del problema
enfatizará los contenidos matemáticos, en las áreas
geométrica y analítica. Las herramientas informáticas
servirán como “agilizadores” de cálculos y
representaciones, generando producciones “visibles” y
verificables de los desarrollos, demostraciones y
argumentaciones, que sustenten los diferentes
diseños creados.
El diseño “abierto” de la consigna, se complementa
con la posibilidad de continuar creando más allá de la
misma. Por ejemplo, luego de hallar los óptimos de los
diferentes diseños, queda abierta la posibilidad para el
alumno de intentar hallar regularidades, coincidencias,
y patrones, entre ellos (¿La forma del valor que
optimiza, está relacionado con el número de pliegues
de la chapa?, Etc).
O también analizar
comparativamente los óptimos hallados (¿Cuál es el

3. Dea. Lic. Irma Noemí No
Se da libertad en la
elección de los recursos,
para resolución de la
problemática
Se incentiva la
participación activa del
alumno en la
construcción del
aprendizaje.
Propicia el aprendizaje
significativo, por
autoevaluación autoreflexión.
óptimo de los óptimos?, Etc).
No se especifica la metodología de producción y
validación a utilizar.
Puede ser numérica, por
aproximación (planillas de cálculo), puede ser
analítica por derivación (programas de cálculo), puede
ser geométrica-analítica por valuación gráfica con uso
de “deslizadores” (programas gráficos).
El alumno investiga, selecciona, produce, y verifica su
propia creación.
El uso de TIC en el desarrollo de la problemática
propuesta, provoca una mirada crítica ante los
resultados obtenidos, y también, la asequibilidad de
recursos, provoca el interés de “ir más allá”, dado que
las herramientas informáticas lo permiten, de manera
ágil y efectiva.
3. Estrategias que, estimamos, desplegará el alumno:
Erróneas:










Pedir más datos, pensando que la consigna está incompleta.
Modelizar sin considerar la multiplicidad de opciones que el problema
despliega.
Disminuir los grados de libertad de la problemática, dejando fijas algunas
variables y parámetros.
Llegar a relaciones equívocas entre las variables (restricciones del
problema de optimización).
Extraer conclusiones generales a partir de pocos casos particulares.
Aceptar aproximaciones con bajo grado de significación, como “buenas”
(muestras de tamaños pequeños, interpolaciones groseras, pasos
“grandes”).
Creer que los dibujos y gráficos “demuestran”, cuando sólo “muestran”.
Confiar y descansar demasiado en el potencial de las TIC (muy común ya
desde las calculadoras).
Ausencia de mirada crítica ante los resultados obtenidos.
Perder de vista la funcionalidad y el objetivo del diseño.

4. Dea. Lic. Irma Noemí No
Acertadas:









Buscar ayuda y ejemplos, en el docente, en pares, en la realidad, en libros,
en la Web.
Hacer explícitas sus dudas.
Descartar diseños complicados.
Hacer uso de las herramientas tecnológicas que les sean más “amigables”.
Pasar al campo de lo concreto y esquematizar cuando se les complica la
problemática.
Aceptar ayuda, compartir, colaborar, discutir, respetar opiniones.
Pensar con libertad.
Animarse a ir más allá de lo que existe
Soñar y crear, más allá del error.
2. Intervenciones Didácticas y Orientaciones:
Momento Didáctico
De la Actividad
Introducción
Intervención/Orientación





Desarrollo
(estas intervenciones
son personalizadas,
se realizan cuando el
caso lo requiera)




Invitar a la formación de equipos.
Entregar la consigna, leerla, incitar a la libertad de
diseños.
Sugerir la búsqueda de productos existentes en el
mercado del tipo “canaleta” o “zinguería”.
Señalar (no taxativamente) posibles utilitarios
informáticos que servirán, a la resolución de
cálculos y gráficos.
Señalar la posibilidad de utilizar material concreto
para representar diferentes situaciones (Como
podría ser una hoja en el caso de una chapa
rectangular).
Diferenciar “Canaleta” de “Embudo” o “Campana”,
a los fines de descartar formatos posibles, de la
chapa que será nuestra materia prima.
Responder a las solicitudes de ayuda, en el uso de
los recursos informáticos disponibles.
Insistir con las recomendaciones de: “Viabilidad del
proyecto”, por simplicidad, funcionalidad e
implementación.
Orientarlos en la búsqueda de simetrías, y
regularidades para la vista del diseño y la facilidad
de cálculos.

5. Dea. Lic. Irma Noemí No







Cierre

Orientarlos en la búsqueda de dimensiones
variables (las que optimizarán) y paramétricas (las
que no influyen en la maximización del caudal).
Recordarles que están trabajando con medidas, es
decir, una magnitud real.
Recomendar la fijación de parámetros, para un
abordaje más amigable de la situación.
Intervenir en el caso de desacuerdos, en la división
de tareas dentro del equipo.
Alentarlos a realizar un “diario” de la experiencia,
dejando
también
registro
de
los
casos
desestimados, errores y rediseños, que surgieron a
lo largo de su trabajo con la consigna.
“Destrabar” planteos matemáticos incompletos,
erróneos, o desacertados.
Incentivar la mirada crítica sobre los resultados
obtenidos, preguntarse ¿Por qué se obtuvo ese
valor? ¿Qué nos dice? ¿Se puede extender el
resultado a otros casos?
Se invita a los alumnos a realizar una puesta en
común dentro de cada equipo, el docente
responderá a las inquietudes que surjan, del tipo:
¿Qué se entregará? ¿En qué formato y soporte?
¿Quién se hará responsable de la recolección y
entrega?
5. Puesta en común y Cierre:
(a) Dimensión Disciplinar (Matemática)
En el problema planteado se combina la geometría y el análisis matemático, el
alumno selecciona un formato geométrico como materia prima (chapa), la cual
posee ciertas dimensiones no especificadas pero fijas a lo largo de la construcción
de la canaleta, es decir que serán “restricciones” de nuestra creación.
La canaleta o zinguería se construirá por curvado ó plegado de la chapa, dando
origen a nuevos objetos geométricos, curvos, prismáticos, etc. Cada cuerpo
generado y cada decisión tomada en el diseño (prisma sin tapa, con tapa, etc.),
influirá en la modelización matemática y en el óptimo obtenido, porque la chapa a
utilizar ya está fija en el momento de la construcción.

6. Dea. Lic. Irma Noemí No
Será muy destacable que el alumno logre distinguir las dimensiones que influyen
en el óptimo de aquéllas que “si bien dejan pasar más agua”, no mejoran la
performance del diseño.
Por ejemplo, en la siguiente canaleta sin tapa, trapezoidal, el óptimo lo dará la
forma de plegar el “trapecio”, es decir “la vista transversal” de la canaleta, si bien
aumentando el largo de la chapa el caudal será mayor, el óptimo del diseño será
dado por el estudio del “corte transversal”, pues la chapa se considera, de
dimensiones “dadas”, al momento de la fabricación:
A su vez el plegado puede plantearse relacionando medidas lineales o angulares,
para determinar el formato del trapecio. También caben los planteos de simetrías
y asimetrías del corte, la discusión del tipo de trapecio, si es isósceles o no.
¿Qué otros plegados podríamos hacer con una chapa rectangular?:
Un pliegue:
Dos pliegues: El prisma trapezoidal anterior
Tres pliegues:

7. Dea. Lic. Irma Noemí No
N - pliegues:
“Imaginarlo”
¿Existe relación en los valores que optimizan con la cantidad de plegados
realizados en el corte transversal de la canaleta?
¿Y si curvamos en lugar de plegar?
Cerrado:
Aquí el problema es cerrado, pues llevando el solapado de soldado al mínimo, el
caudal quedará fijo, dada la chapa rectangular a plegar.
Abierto:
Aquí el corte transversal se convierte en sectores circulares, y como cuerpo
responden al formato de “cilindros truncados longitudinalmente”. Ciertamente es
un diseño que promete todo un desafío matemático.
¿Y si la chapa original no es rectangular? ¿Si es circular? Aquí aparecen también
desafíos de cálculo y diseño. En general se genera una “campana” o “embudo”,
que geométricamente podemos definir como cono truncado:

8. Dea. Lic. Irma Noemí No
No corresponde a lo pedido (canaleta), pero habría que dejarles la inquietud de
posibles extensiones de la problemática.
Finalizado el estudio geométrico del diseño, se inicia el abordaje analítico.
Distinguiendo variables y parámetros, definiendo la función objetivo “caudal”. El
volumen de líquido se maximizará en la sección de mayor área, por lo tanto
existirá una segunda función objetivo “área sección transversal”, que es la que se
estudiará para hallar el óptimo deseado. La problemática está pensada para que
sean suficientes los contenidos de la asignatura “Análisis Matemático I”, es decir
funciones reales de una variable. Se deberán establecer las condiciones de
“ligado” entre variables, que darán origen a las restricciones bajo las cuales se
hallará el máximo.
También se podrá estudiar la posible existencia de patrones entre los valores de
las variables que maximizan y el procedimiento de fabricación del diseño (cantidad
de pliegues, por ejemplo).
(b) Estrategias
Serán resaltados en la puesta en común los diferentes pensamientos de abordaje
del problema:
¿Cómo se eligió la chapa inicial?: Formato, tamaño, etc.
¿Cómo se pensó el diseño?: Se investigó en la Web, se buscaron ejemplos en
casas reales, se ensayó con material concreto, etc.
¿Por qué se descartaron otros diseños?: Dificultad de fabricación, falta de
funcionalidad (por ejemplo en diseños asimétricos, en los cuales el agua se
derramaría de manera irregular), dificultad en cálculos matemáticos, etc.
¿Qué utilitarios informáticos fueron útiles a la hora de resolver la consigna?:
Graphmatica, GeoGebra, Excel, Mathematica, etc.
¿Cómo se utilizaron las herramientas informáticas?: A los fines de calcular,
verificar, graficar, modelizar, etc.
¿Se obtuvieron resultados sorprendentes?: Los valores hallados se corresponden
con nuestra lógica, que diseño se obtiene con los valores “límite” (dentro del rango
de las restricciones de cada modelo), se pueden deducir patrones, etc.
¿Qué contenidos matemáticos se pusieron en juego en el planteo y resolución de
la problemática?: Cuerpos y secciones transversales planas, fórmulas de área,
variables y parámetros, despeje de ecuaciones, dominio de funciones reales en
problemas concretos, derivación, extremos absolutos de una función, etc.

9. Dea. Lic. Irma Noemí No
¿Qué caminos de colaboración y producción conjunta desarrollaron?: Diferentes
sinergias detectadas, métodos colaborativos desarrollados (división de tareas,
resolución conjunta, unión de partes producidas, etc.).
¿Cómo plasmaron su producción y qué estrategias comunicativas seleccionaron
para la entrega final? Soporte rígido ó digital, producciones multimedia,
procesadores de texto, nubes en la web, manuscritos, etc.
(c) Fortalezas y Debilidades de las TIC
Fortalezas
Facilidad
y
precisión
en
las
representaciones gráficas de figuras,
cuerpos, y funciones.
Posibilidad de obtener información
múltiple a partir de una construcción
única.
Exactitud en los resultados numéricos
obtenidos.
Empatía de los estudiantes hacia las
nuevas tecnologías.
Favorece la construcción de nuevas
estructuras cognitivas.
Debilidades
Pueden generar excesivas expectativas
de logro.
Fomentan la imagen de infalibilidad en
los resultados, cuando pueden existir
errores de planteo o ejecución.
Requieren un aprendizaje específico,
previo a su uso.
Disminuyen la mirada crítica del
alumno, ante los resultados obtenidos.
A veces obstaculizan los procesos de
auto-reflexión del alumno. (Invisibilidad
de los procedimientos subyacentes a la
ejecución de sentencias).
Disponibilidad de múltiples ayudas y Puede
generar
dependencia
tutoriales online.
(tecnológica).
Resume
tiempos
de
cálculo,
aumentando
los
tiempos
de
razonamiento.
Favorece el aprendizaje colaborativo.
Ayuda
a
la
visualización
y
comunicación de conceptos.
B.- Un Recorrido Posible del Problema Planteado
Considerando una chapa rectangular, realizaremos diferentes cantidades de
pliegues simétricos, sin tapa, para observar los máximos que otorga cada caso.

10. Dea. Lic. Irma Noemí No
Caso 1. Un pliegue
El caudal de agua o volumen que soporta la canaleta es:
Como el largo de la chapa es fijo =L, la maximización dependerá del área de la
sección transversal, que es el área de un triángulo.
Como trabajamos plegando simétricamente, el triángulo formado será isósceles de
lado=A/2 y base=b. Los diferentes plegados harán variar la medida b, y en
consecuencia la altura h del triángulo.
Esquematizando para hallar relaciones entre las variables del problema (base y
altura), y “bautizando” algunas medidas para simplificar los planteos:
b = 2*x
x
h
A/2 = a
Tenemos el área de la sección transversal expresada como (es nuestra función
objetivo):
La relación entre las variables es pitagórica (es nuestra restricción):
√
Remplazando en la expresión del área, tendremos una función objetivo a maximizar de
una variable real positiva:
( )
√
(
)

11. Dea. Lic. Irma Noemí No
Observemos que los valores extremos producen canaletas “no funcionales”, si x=0, la
chapa está totalmente plegada y no produce circulación de agua (caudal =0), si x=a, la
chapa se encuentra “totalmente abierta”, perdiéndose la funcionalidad del encauzamiento.
Se encuentra el óptimo mediante la derivada primera de A(x), hallando la maximización
del área transversal y por lo tanto del caudal volumétrico de nuestro diseño, obtenemos
una medida de plegado óptima1:
siendo A, el ancho de la chapa.
√
√
Los cálculos realizados en el programa Mathematica:
Observemos que como 2*arcsen(x/a) es el ángulo de plegado de la chapa, el óptimo
ángulo de plegado es:
(√ )
( )
√
Sin importar el Ancho de la chapa, el mejor doblez será a 90° grados.
La resolución analítica y gráfica realizada en el programa GeoGebra se muestra a
continuación, además se ha compartido el archivo GeoGebra diseñado, y se puede
ejecutar el applet en la dirección: http://www.geogebratube.org/student/m59876
1
Se trabajó con medidas lineales, pero el óptimo se pudo haber planteado con medidas angulares de
plegado, considerando el ángulo  opuesto a la base b del triángulo.

12. Dea. Lic. Irma Noemí No
Caso 2. Dos pliegues
El caudal de agua o volumen que soporta la canaleta es:
Como el largo de la chapa es fijo =L, la maximización dependerá del área de la
sección transversal, que es el área de un trapecio.
Por condiciones de funcionalidad, el trapecio debe ser isósceles, para mantener la
simetría que impide el desborde irregular del agua. Para facilitar la fabricación,
plegaremos de tal manera que, las tres partes del ancho de la chapa midan lo
mismo, por lo cual la base menor medirá A/3, y la base mayor será la variable B.
Además, los diferentes plegados harán variar la base mayor B, y en consecuencia
la altura h del trapecio isósceles.

13. Dea. Lic. Irma Noemí No
Esquematizando para hallar relaciones entre las variables del problema (Base
mayor y altura), y “bautizando” algunas medidas para simplificar los planteos:
B = b+2.x
x
x
h
A/3=b
A/3 = b
Tenemos el área de la sección transversal expresada como (es nuestra función
objetivo):
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
La relación entre las variables es pitagórica (es nuestra restricción):
√
Remplazando en la expresión del área, tendremos una función objetivo a
maximizar de una variable real:
( )
(
) √
(
)
Observemos que los valores extremos producen canaletas “especiales”, si x = b/2, la chapa está totalmente plegada y no produce un trapecio sino un triángulo
(B=0), si x=b, la chapa se encuentra “totalmente abierta” (B=A), perdiéndose la
funcionalidad del encauzamiento.
Se encuentra el óptimo mediante la derivada primera de A(x), hallando la
maximización del área transversal y por lo tanto del caudal volumétrico de nuestro
diseño, obtenemos una medida de plegado óptima2:
siendo A, el
ancho de la chapa.
Los cálculos realizados en el programa Mathematica:
2
Se trabajó con medidas lineales, pero el óptimo se pudo haber planteado con medidas angulares de
plegado.

14. Dea. Lic. Irma Noemí No
Observemos que como 90°+arcsen(x/b) es el ángulo de plegado de la chapa, el
óptimo ángulo de plegado es:
( )
( )
Sin importar el Ancho de la chapa, el mejor doblez será a 120° grados.
La resolución analítica y gráfica realizada en el programa GeoGebra se muestra a
continuación, además se ha compartido el archivo GeoGebra diseñado, y se
puede
ejecutar
el
applet
en
la
dirección:
http://www.geogebratube.org/student/m59939

15. Dea. Lic. Irma Noemí No
Caso 3. Tres pliegues
En este momento debemos ponernos a pensar en el diseño, si vale el esfuerzo de
producción del triplegado, con respecto al beneficio en el aumento del caudal.
Por otra parte el aumento de números de plegado va otorgando un formato
“semicircular” de la canaleta.
También en los resultados anteriores observamos cierta “regularidad angular” en
los plegados óptimos.
En general, una de las más hermosas cualidades de la matemática es su
perfección. Las canaletas diseñadas encuentran su caudal óptimo, en un formato
“regular”, y es esperable que ese resultado se mantenga, aumentando la cantidad
de pliegues de la chapa:
Cantidad de
Trozos
En los que se
divide el Ancho A
de la chapa
(Pliegues + 1)
Canaleta Óptima
(Mitad del polígono regular de
2*n lados)
Ángulo Interior del
polígono regular de
2*n lados
2
90°
3
120°

16. Dea. Lic. Irma Noemí No
4
………………..
135°
………………..
……………………..
(
)
n
De acuerdo al cuadro anterior, el óptimo caudal de una canaleta de 3 pliegues,
será aquél que corresponde a un plegado de 135 °.
Y el óptimo caudal de una canaleta de x pliegues, se logrará con un plegado
de ángulo =