funcióntranscedentales

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA DE COMPUTACIÓN
INTEGRANTE::
ISABEL CRISTINA TEIXEIRA.
C.I: 23.815.412
MATERIA: MATEMATICAII
PROF: DOMINGO MENDEZ

2. FUNCIONES TRASCENDENTALES, DERIVADAS E INTEGRALES
Integraciónde funcionestrascendentes
Las funcionestrascendentesotrascendentalessonlasfuncionesexponenciales,logarítmicasytrigonométricas.
La funciónexponencial esdel tipo:
Seaa unnúmeroreal positivo.Lafunciónque a cada númeroreal x le hace corresponderlapotenciaax se
llamafunciónexponencial de base ay exponentex.
Ejemplos
x y = 2x
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = (½)x
-3 8

3. -2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
Propiedadesde lafunciónexponencial
Dominio: .
Recorrido: .
Es continua.
Los puntos(0, 1) y (1, a) pertenecenalagráfica.
Es inyectiva a≠ 1(ningunaimagentienemásde unoriginal).
Creciente si a> 1.
Decreciente si a< 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)x sonsimétricasrespectodel ejeOY.
La funciónlogarítmicaenbase a esla funcióninversade laexponencialenbase a.
Ejemplos
x
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3

4. x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
4 −2
8 −3
Propiedadesde lasfuncioneslogarítmicas
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos(1, 0) y (a,1) pertenecenalagráfica.
Es inyectiva(ningunaimagentiene másde unoriginal).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la funciónlogarítmicaessimétrica(respectoalabisectrizdel 1er y 3er cuadrante) de la gráficade la
funciónexponencial,yaque sonfuncionesreciprocasoinversasentre sí.

5. Definiciónde logaritmo
Siendoala base,x el númeroe y el logaritmo.
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
5.
De ladefiniciónde logaritmopodemosdeducir:
No existe el logaritmode unnúmeroconbase negativa.
No existe el logaritmode unnúmeronegativo.
No existe el logaritmode cero.

6. El logaritmode 1 es cero.
El logaritmoenbase a de a esuno.
El logaritmoenbase a de una potenciaenbase a esigual al exponente.
Propiedadesde loslogaritmos
1. El logaritmode un productoesigual a la sumade loslogaritmosde los factores.
2. El logaritmode un cociente esigual al logaritmodel dividendomenosel logaritmodeldivisor.
3. El logaritmode una potenciaesigual al productodel exponente porel logaritmode labase.
4. El logaritmode una raíz es igual al cociente entre el logaritmodel radicandoyel índice de laraíz.
5. Cambiode base:
FuncionesTrigonométricas
Para las FuncionesTrigonométricas,comose mencionóanteriormente,haremosusodel Teoremade Pitágorasy
trabajaremosconlas Funcionesde Seno,CosenoyTangente,ysusinversas,ademásde apoyarnossiempre conla
Calculadora.

7. Las letrasminúsculassonlasque utilizamosenel Teoremade Pitágoras,lasletrasMayúsculas,enéste caso,se
utilizaránparareferirnosalosÁngulosdel Triángulo.
Empezaremosavercada unade lasFunciones:
1. FunciónSeno( Sen): LaFunciónSenonosdescribe larelaciónexistenteentre LadoOpuestosobre la
Hipotenusa.Susimbologíaeslasiguiente:
2. FunciónCoseno( Cos): La FunciónCoseno describelarelaciónentre LadoAdyacentesobre Hipotenusa.Su
simbologíaeslasiguiente:
3. FunciónTangente ( Tan): Ésta Funciónnosrepresentalarelaciónentre Ladoadyacente sobre Hipotenusa.Su
simbologíaeslasiguiente:

8. TambiéntenemoslasFuncionesque soninversasalasanteriores:
4. FunciónCotangente ( Cot): Que describe larelaciónentre LadoAdyacente conLadoOpuesto:
5. FunciónSecante ( Sec): Relaciónentre Hipotenusasobre LadoAdyacente:
6. FunciónCosecante ( CsC):Nosmuestrala relaciónentre Hipotenusasobre LadoOpuesto:
DERIVADAS

9. Tema:La derivadacomopendientede unacurva
Para hallarla pendiente de unacurvaenalgún puntohacemosusode la recta tangente de unacurva enun punto.
La pendiente de lacurvaenel puntoP es lapendiente de larectatangente enP.
Definición:Lapendientede unacurva
En (x,f(x))lapendiente mde lagráficade y = f(x) esigual ala pendientede surectatangente en(x,f(x)) yqueda
determinadaporlafórmula:
supuestoque el límite exista.
Para calcular lapendiente de larectatangente auna curva mediante ladefiniciónde límite seguimoslos
siguientespasos:
1) Calcular:
2) Hacer que h→0para obtener:
Nota:Algunascurvaspuede que notengantangente encada punto.
Definición:El límite
se llamaderivadade f enx (supuestoque el límiteexiste) yse denotapor f’(x).
La notación f’(x) se lee "f primade x".Tambiénse usamuchola notación:
que se lee " la derivadade yrespectoa x".
Nota:Una funciónes derivableenx si existe suderivadaenx.
Ejemplosparadiscusión: Hallaladerivadade:
Nota: En cualquierpuntodonde latangente esvertical,lapendienteesinfinita;laderivada,portanto,noexiste.

10. Tema:Reglasde Derivación
Ya hemoscalculadoderivadasatravésde la definiciónde laderivadacomolímite.Este procedimientoresultaen
muchasocasioneslargoy tedioso.
Existenvariasreglasque nospermitencalcularladerivadasinusardirectamente loslímites.
Reglade las constantes:Laderivadade una funciónconstante escero.Estoes,si f(x) =c, para algunaconstante c,
entoncesf’(x) =0.
Ejemplos:
Reglade laspotencias:Si f es unafunción diferenciable yf(x) =xn,entones
f’(x) =nxn-1,para cualquiernúmeroreal n.
Ejemplos:
Regladel productopor un escalar:Si cf(x) esuna función diferenciable,entonces
Ejemplos:
Reglade la suma:La derivadade lasuma de dosfuncioneseslasumade lasderivadas.Estoes,si f y g
son funciones direrenciales,entonces:
Ejemplos:Derivalassiguientesfuncionesyevaluarlaenloscasosindicados.
1) g(x) = x3 – 4x + 2; g’(2)

11. Ejercicio:Hallala derivadade:
3) f(x) =x2 + x + 1
Tema: Derivadasde ordensuperior
Comola derivadade unafunciónesotra función,entoncespodemostratarde hallarsuderivada.Si hacemostal
cosa, el resultadoesde nuevounafunciónque pudieraserasu vezderivada.Si continuamosasíunay otra vez,
tenemosloque se conoce por derivadasde orden superior.
Por ejemplo,si f(x) =6x3 - 5x2, entoncesla:
primeraderivadaes: f’(x) =18x2 - 10x
segundaderivadaes:f"(x) =36x - 10
terceraderivadaes: f’’’(x) =36
cuarta derivadaes: f(4)(x) =0
n-ésimaderivadaes:f(n) (x) =0
Ejemplosparadiscusión:
1) Si f(x) = -x4+ 2x3 + x + 4, hallaf’’’(-1).
2) Hallalasprimerascuatro derivadas de :
Nota:Si f’(x) representalapendientede lagráficade f,entoncesf"(x) representalapendiente de lagráficade f’.
Así también,f’’’(x) representalapendientede lagráficade f".
Tema:VelocidadyAceleración
Definición:Si s(t) representalafunciónposiciónde unobjetoenel tiempo tque se mueve alolargo de un recta,
la velocidad instantáneadel objetoenel instante c,estádadapor:
Siendolavelocidadpromedio enunintervalo[f(c),f(c+h)]:
Ejemplo:Unobjetose mueve alo largode una recta de acuerdocon la ecuación s(t) = 2t2 - 12t + 10, donde sse
mide enpiesy t en segundos.
a) Completalatablade valorese ilustra enuna recta numéricael movimientodel objeto.

12. t s(t)
0
1
2
3
4
b) Hallala velocidaddel objetocuandot= 0,1,2,3,4.
c) Indicacuándola velocidadacero.
d) Hallala velocidadpromedioenel intervalo0 t 4.
Nota: La velocidadpuede sernegativa.Parael movimientohorizontalconsideramoslavelocidadnegativacuando
el objetose mueve hacialaizquierdaypositivacuandoel objetose mueve hacialaderecha.Lavelocidadescero
cuandoel objetoinvierte susentidode dirección.
Cuandoel objetose lanzaal aire verticalmente,consideramoslavelocidadpositivamientrasel objetose está
elevando,cerocuandoalcanzasualtura máximaynegativacuandocae.
Definición:Si s(t) eslafunciónposiciónde unobjetoque se mueve alolargo
de una recta, la aceleración del objeto en el instante t, está dada por a(t) = v’(t) = s"(t), donde v(t) esla
velocidaden ttiempo.
Ejemplo:Se disparaunproyectil directamentehaciaarribadesde lasuperficiede latierraconuna velocidadde
400 pies/seg.Sudistanciasobre lasuperficie de latierradespuésde tsegundosestádadapor la ecuación s(t) = -
16t2 + 400t.
1) Hallael tiempocuandoel proyectil tocalasuperficiede latierra.
2) ¿Cuál esla alturamáximaque alcanzael proyectil?
3) ¿Cuál esla aceleraciónencualquiertiempo?
Nota:La derivadade unafunciónse puede interpretarde dosmaneras:
1) Interpretacióngeométrica:Donde f’(c) eslapendientede larectatangente a lagráfica de y = f(x) enel punto
(c,f(c)).
2) Interpretaciónfísica:Cuandolaposiciónde unobjetoen ttiempoestádadapor s(t),entoncess’(t) esla
velocidadinstantáneadel objetoent.
Tema:Reglasde derivaciónparaproductosy cocientes
Regladel producto: La derivadadel productode dosfuncionesesigual al productode laprimerafunciónporla
derivadade lasegundamásla segundafunciónporladerivadade la primera. Estoes,
Ejemplosparadiscusión:
1) F(x) = (3x - 2x2)(5+ 4x)
2) G(x) = (1 + x-1)(x - 1)
Regladel cociente: Laderivadadel cociente de dosfuncionesesigual al productodel denominadorporla
derivadadel numeradormenosel numeradorporladerivadadel denominadordivididotodoporel cuadradodel
denominador. Estoes,

13. donde g(x) es diferente de cero.
Ejemplos paradiscusión:
Ejerciciode práctica: Hallala derivadade :
Tema:Reglade laCadena
Reglade la Cadena
Si y = f(u) esuna función derivable de uyu = g(x) esunafunción derivablede x,entoncesy=f(g(x)) esuna
funciónderivable y:
Ejemplo:Si y= 3u15 y u = 2x - 1, entoncesladerivadaesel productode:
(15)(3u14)(2) = 90u14. Finalmente,al sustituira u por2x -2,tenemosque laderivadaes90(2x - 1)14.
Reglageneral de laspotencias
Si y = [u(x)]n donde uesunafunción derivable de x yn esun númeroreal,entonces:
Ejemplos:Hallaladerivadade:
Tema:Derivaciónimplícita
Hasta el momentolasecuacioneshansidoexpresadasen formaexplícitas.Estoes,laecuaciónha sido expresada
respectoa unavariable entérminosde laotra.Por ejemplo,y=2x - 3 esuna ecuaciónexpresadarespectode yen
términosde x.
Peroexistenecuacionesque noestándadasexplícitamente.Porejemplo,lasecuaciones:
2x + y = 4
xy=1
x2 + y2 = 9

14. no estándadasen formaexplícita.Talesecuacionesestánexpresadasen formaimplícita.Paraderivaruna
ecuaciónimplícitanoesnecesarioexpresarlaenformaexplícita.Se puede utilizarunmétodoconocido
por derivaciónimplícita.Esunmétodoque consiste enderivarcadatérminoporseparadoenla ecuacióndada.
La notación :
se lee "laderivadade y respectoax". Para entendercómohallarladerivadade ycon respectoa x implícitamente,
se debe observarque laderivaciónse efectuarespectode x.Estoes,cuando derivamostérminosque contienen
sóloa x, se derivacomode costumbre,peroal derivartérminoscony se aplicala reglade la cadena.
Ejemplos:Derivarespectoax lassiguientesexpresiones:
1) 4x2
2) 2y3
3) x + 2y
4) xy3
Teoría[editar]
se interpretacomoel áreabajola curva de f, entre a y b.
Dada una función de una variable real yun intervalo de larectareal,la integral esigual al áreade
la regióndel plano limitadaentre lagráficade ,el eje ,y laslíneasverticales y , donde son
negativaslasáreaspor debajodel eje .
La palabra"integral"tambiénpuede hacerreferenciaala nociónde primitiva:unafunción F,cuyaderivadaesla
funcióndada . En este caso se denominaintegral indefinida,mientrasque lasintegralestratadaseneste artículo
son lasintegralesdefinidas.Algunosautoresmantienenunadistinciónentre integralesprimitivase indefinidas.
Los principiosde laintegraciónfueronformuladospor NewtonyLeibnizafinalesdel sigloXVII.A través
del teoremafundamental del cálculo,que desarrollaronlosdosde formaindependiente,laintegraciónse conecta
con la derivación,ylaintegral definidade unafunciónse puede calcularfácilmenteunavezse conoce una
antiderivada.Lasintegralesylasderivadaspasaronaser herramientasbásicasdel cálculo,connumerosas
aplicacionesencienciae ingeniería.
BernhardRiemann diounadefiniciónrigurosade laintegral.Se basaenun límite que aproximael áreade una
regióncurvilíneaabase de partirlaen pequeñostrozosverticales.A comienzosdelsigloXIX,empezarona
aparecernocionesmássofisticadasde laintegral,dondese hangeneralizadolostiposde lasfuncionesylos
dominiossobre loscualesse hace laintegración.Laintegral curvilínease defineparafuncionesvectorialesde una
variable,yel intervalode integración[a,b] se sustituyeporel de laparametrizaciónde lacurva sobre lacual se
estáintegrando,lacual,conectados puntosdel planoodel espacio.Enuna integral de superficie,lacurvase
sustituye poruntrozo de una superficieenel espaciotridimensional.
Las integralesde las formasdiferenciales desempeñanunpapel fundamentalenla geometríadiferencialmoderna.
Estas generalizacionesde laintegral surgieronprimeroapartirde lasnecesidadesde la física,ytienenunpapel
importante enlaformulaciónde muchasleyesfísicascómo,porejemplo,lasdel electromagnetismo.Los
conceptosmodernosde integraciónse basanenlateoríamatemáticaabstracta conocidacomo integral de
Lebesgue,que fue desarrolladaporHenri Lebesgue.
Historia[editar]

15. Integraciónantesdel cálculo[editar]
La integraciónse puede trazarenel pasadohastael antiguoEgipto,circa 1800 a. C., con el papirode Moscú,
donde se demuestraque yase conocía una fórmulapara calcularel volumende un troncopiramidal.Laprimera
técnicasistemáticadocumentadacapazde determinarintegralesesel métodode
exhausción de Eudoxo(circa370 a. C.),que trataba de encontraráreas y volúmenesabase de partirlosenun
númeroinfinitode formasparalascualesse conocieranel áreao el volumen.Este métodofue desarrolladoy
usadomás adelante porArquímedes,que loempleóparacalcularáreasde parábolasy una aproximaciónal área
del círculo.Métodossimilaresfuerondesarrolladosde formaindependiente en Chinaalrededordel sigloIII porLiu
Hui,que losusó para encontrarel área del círculo.Más tarde, Zu Chongzhi usóeste métodoparaencontrarel
volumende unaesfera.Enel SiddhantaShiromani,unlibrode astronomíadel sigloXII del
matemáticoindioBhaskaraII,se encuentranalgunasideasde cálculointegral.
Hasta el sigloXVI noempezaronaaparecer adelantossignificativossobre el métodode exhausción.Enestaépoca,
por un lado,conel trabajo de Cavalieri consu métodode losindivisibles y,porotrolado,con lostrabajos
de Fermat,se empezóa desarrollarlosfundamentosdel cálculomoderno.A comienzosdel sigloXVII,se
produjeronnuevosadelantosconlasaportacionesde Barrow yTorricelli,que presentaronlosprimerosindiciosde
una conexiónentre laintegraciónyladerivación.
NewtonyLeibniz[editar]
Los principalesadelantosenintegraciónvinieronenel sigloXVIIconlaformulacióndel teoremafundamental del
cálculo,realizadode maneraindependientepor Newton yLeibniz.El teoremademuestraunaconexiónentre la
integraciónyladerivación.Estaconexión,combinadaconlafacilidad,comparativamente hablando,del cálculode
derivadas,se puede usarparacalcularintegrales.Enparticular,el teoremafundamental del cálculopermite
resolverunaclase másampliade problemas.Tambiéncabe destacartodoel marcoestructural alrededorde las
matemáticasque desarrollarontambiénNewtonyLeibniz.El llamadocálculoinfinitesimal permitióanalizar,de
formaprecisa, funcionescondominioscontinuos.Posteriormente,estemarcoha evolucionadohacia
el cálculomoderno,cuyanotaciónpara lasintegralesprocede directamente deltrabajode Leibniz.
Formalizaciónde lasintegrales[editar]
Aunque NewtonyLeibnizproporcionaron unenfoque sistemáticoalaintegración,sutrabajocarecía de un cierto
nivel de rigor.Es memorable laexpresióndel obispoBerkeley interpretandolos infinitesimales comolos
"fantasmasde lascantidadesque se desvanecen".
El cálculoadquirióunaposiciónmásfirme conel desarrollode los límitesy,enlaprimeramitaddel sigloXIX,
recibióunafundamentaciónadecuadaporparte de Cauchy.La integraciónfue rigurosamenteformalizadapor
primeravezporRiemann,empleandolímites.A pesarde que todaslasfuncionescontinuasfragmentadasy
acotadas sonintegrablesenunintervaloacotado,mástarde se consideraronfuncionesmásgeneralesparalas
cualesladefiniciónde Riemannnoeraaplicable yportantono eran integrablesenel sentidode Riemann.
Posteriormente Lebesguediounadefinicióndiferente de laintegral1basadaenlateoría de la medidaque
generalizabaladefiniciónde Riemann,asítodafunciónintegrable enel sentidode Riemanntambiénloesenel
sentidode Lebesgue,aunque existenalgunasfuncionesintegrablesenel sentidode Lebesgueque nolosonen el
sentidode Riemann.Másrecientemente se hanpropuestootrasdefinicionesde integral aúnmásgenerales,que
amplíanlas definicionesde RiemannyLebesgue.
Definicionesformales[editar]
Hay muchas manerasde definirformalmente unaintegral,notodasequivalentes.Se establecendiferenciaspara
poderabordar casosespecialesque nopuedenserintegrablesconotrasdefiniciones,perotambiénenocasiones
por razonespedagógicas.Lasdefinicionesmásutilizadasde laintegral sonlasintegralesde Riemannylas
integralesde Lebesgue.
Integral de Riemann[editar]
Artículoprincipal: Integral de Riemann

16. Integral conel planteamientode Riemannhace unasumabasadaen una particiónetiquetada,conposicionesde
muestreoyanchurasirregulares(el máximoenrojo).El verdaderovalores3,76; la estimaciónobtenidaes3,648.
La integral de Riemannse define entérminosde sumasde Riemann de funcionesrespectode particiones
etiquetadas de unintervalo.Sea[a,b] un intervalo cerradode larectareal;entoncesuna particiónetiquetadade
[a,b] esuna secuenciafinita
y denotamoslapartición
como
Convergenciade sumatoriosde Riemannamedidaenque se partenlosintervalos,cuandose muestreaa ■ la
derecha, ■ el mínimo, ■el máximo,o ■ la izquierda.
Esto divide al intervalo[a,b] en nsubintervalos[xi−1, xi],cadaunode loscualeses"etiquetado"conunpunto
especificado ti de;[xi−1, xi].SeaΔi = xi−xi−1la anchura del subintervalo i;elpasode estaparticiónetiquetadaesel
ancho del subintervalomásgrande obtenidoporlapartición,maxi=1…n Δi.Un sumatoriode Riemann de una
funciónf respectode estaparticiónetiquetadase definecomo
Así cada términodel sumatorioesel áreadel rectánguloconalturaigual al valor de la funciónenel punto
especificadodel subintervalodado,yde lamismaanchura que laanchura del subintervalo.La integral de
Riemannde unafunción f sobre el intervalo[a,b] esigual a S si:
Para todoε > 0 existe δ > 0 tal que,para cualquierparticiónetiquetada[a,b] conpasomás pequeñoque δ,se
tiene
, donde
Cuandolasetiquetasescogidasdanel máximo(omínimo) valorde cadaintervalo,el sumatoriode Riemannpasaa
serunsumatoriode Darboux superior(oinferior),loque sugiere laestrechaconexiónque hayentre laintegral de
Riemannylaintegral de Darboux.
Integral de Darboux[editar]

17. Artículoprincipal: Integral de Darboux
La Integral de Darboux se define entérminosde sumasde lossiguientestipos:
Llamadassuma inferiorysuperiorrespectivamente,donde:
son lasalturasde losrectángulos,y xi-xi-1lalongitudde labase de losrectángulos.Laintegral de Darboux está
definidacomoel úniconúmeroacotadoentre lassumasinferiorysuperior,esdecir,
La interpretacióngeométricade laintegral de Darboux seríael cálculodel áreade la regiónen[a,b] porel Método
exhaustivo.Laintegral de Darboux de unafunción f en[a,b] existe si ysolosi
Del Teoremade Caracterizaciónque dice que si f es integrable en[a,b] entonces ∀ε>0∃ P particiónde [a,b] :
0≤U(f,P)-L(f,P)≤ε,evidencialaequivalenciaentre lasdefinicionesde Integral de Riemmane Integral de Darboux
puesse sigue que7
.
Integral de Lebesgue[editar]
Artículoprincipal: Integral de Lebesgue
Integraciónde Riemann-Darboux (azul) e integraciónde Lebesgue (rojo).
La integral de Riemannnoestádefinidaparaunancho abanicode funcionesysituacionesde importanciapráctica
(yde interésteórico).Porejemplo,laintegralde Riemannpuede integrarfácilmenteladensidadparaobtenerla
masa de una vigade acero,perono se puede adaptara una bolade aceroque se apoyaencima.Estomotivala
creaciónde otras definiciones,bajolascualesse puede integrarunsurtidomásampliode funciones.8Laintegral
de Lebesgue,enparticular,lograunagran flexibilidadabase de centrar laatenciónenlospesosde la suma
ponderada.
Así, ladefiniciónde laintegral de Lebesgueempiezaconuna medida,μ.En el caso más sencillo,lamedidade
Lebesgue μ(A) de unintervalo A =[a, b] es suancho, b − a, así la integral de Lebesguecoincideconlaintegral de
Riemanncuandoexistenambas.Encasosmás complicados,losconjuntosamedirpuedenestaraltamente
fragmentados,sincontinuidadysinningúnparecidoaintervalos.
Para explotarestaflexibilidad,laintegral de Lebesgue invierte el enfoquede lasumaponderada.Comoexpresa
Folland:9"Paracalcularlaintegral de Riemannde f,se particionael dominio[a, b] ensubintervalos",mientrasque
enla integral de Lebesgue,"de hecholoque se estáparticionandoesel recorridode f".
Un enfoque habitual define primerolaintegral de la funcióncaracterísticade unconjuntomedible A por:
.
Esto se extiende porlinealidadalas funcionesescalonadas simples,que solotienenunnúmerofinito n,de valores
diferentesnonegativos:

18. (donde laimagende Ai al aplicarle lafunciónescalonada sesel valorconstante ai).Así,si E esun conjunto
medible,se define
Entonces,para cualquierfunciónmedible nonegativaf se define
Es decir,se establece que laintegral de f esel supremo de todaslasintegralesde funcionesescalonadasque son
más pequeñasoigualesque f.Unafunciónmediblecualquieraf,se separaentre susvalorespositivosynegativos
a base de definir
Finalmente, f esLebesgue integrable si
y entoncesse definelaintegral por
Cuandoel espaciométricoenel que estándefinidaslasfuncionesestambiénun espaciotopológico localmente
compacto(comoesel caso de losnúmerosreales R),lasmedidascompatiblesconlatopologíaenunsentido
adecuado(medidasde Radon,de lascualesesunejemplolamedidade Lebesgue) unaintegral respectode ellas
se puede definirde otramanera,se empiezaapartir de las integralesde las funcionescontinuas consoporte
compacto.De formamás precisa,lasfuncionescompactamentesoportadasformanun espaciovectorial que
comportauna topologíanatural,y se puede definirunamedida(Radon) como cualquierfuncional lineal continuo
de este espacio;entoncesel valorde unamedidaenunafuncióncompactamente soportada,estambién,por
definición,laintegral de lafunción.Entoncesse continúaexpandiendolamedida(laintegral) afuncionesmás
generalesporcontinuidad,yse define lamedidade unconjuntocomola integral de sufuncióncaracterística.Este
esel enfoque que toma Bourbaki10y ciertonúmerode otrosautores.Para más detalles,