2. AREA : MATEMATICAS
TEMA:EJERCICIO ICFES
PROFESOR: FIDEL ZAMBRANO
ESTUDIANTE: ANGIE ALEXANDRA TORRES MALLAMA
11-1 JM

3. Por el baricentro G de un triangulo se traza una recta
que corta al lado AB en P y al lado AC en Q.
Demuestra que :
PB
PA
.— ≤ —
— QA 4
QC 1

4. La figura es la siguiente:
B
P
Y
X
G
A Z Q C

5. Para resolver este problema usamos los vectores en el
plano, que el baricentro G del triangulo ABC cumple
―> ―> ― >
GA + GB + GC = θ
y la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.

6. Escribiendo
―> ―> ―> ―>
.
AP = t AB y AQ = s . AC tendremos que
— . QC
PB
— = 1-t
— . 1-s
—
PA QA t s

7. Como
AG AB
→
→= ₁ →+ ₁ AC, obtenemos
-
₃ -
₃
→→ → ₁
)→ ₁→
- ― t AB + - AC
PG = AG ― AP = ( ₃ ₃
→ → → - - →+ s - - →
₁ ₁
AB ( ₃) AB.
GQ = AQ ― AG =
₃

8. Como estos vectores deben ser múltiplos debe cumplirse que
₁ ₁ +1
( -₃ - t) (s - - ) - = θ
₃ 9 →
→
(1-3 t ) (3s-1)+ 1= 0 → t + s = 3ts.

9. Entonces, usando esto y la desigualdad entre las medias
aritmética y geométrica
PB
.—
— QAQC
= 1-t . 1-s ≤ ( 1 . (1-t +1-s ) )² t+s -2ts = 1
PA ——
t s — t s2
– – ———
2ts
———
4—
4