Este documento presenta la unidad sobre probabilidades. Introduce conceptos como experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, uniones e intersecciones de sucesos, probabilidad condicionada y sucesos independientes. Explica cómo calcular probabilidades cuando el espacio muestral es finito y los resultados son equiprobables.

1. UNIDAD V:
PROBABILIDADES
Biometría I
Universidad de San Antonio Abad del Cusco
Semestre 2012 - 2
Lic. Dionicio Cárdenas Cancha

2. Unidad V: Probabilidades
CONTENIDO
Introducción
Análisis combinatorio
Principio de la multiplicación
Experimento aleatorio
Espacio muestral
Suceso
Unión de sucesos
Intersección de sucesos
Complemento de un suceso
Probabilidades
La probabilidad condicionada
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3. Unidad V: Probabilidades
¿Qué es probabilidad?
Es la posibilidad de que algo suceda.
Por ejemplo, la posibilidad de obtener un 6 en el lanzamiento
de un dado.
Sólo hay un 6 en este dado, es decir tengo una sola forma de
obtenerlo.
El dado tiene seis lados, así que hay seis
1
posibles resultados cada vez que tiras.
6 ¿y cual sería la posibilidad de obtener dos 6
en el lanzamiento de dos dados?
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4. Unidad V: Probabilidades
1. Análisis combinatorio
Factorial de un número
Ejemplos
a) 1! = 1
b) 2! = 2 x 1 = 2
c) 3! = 3 x 2 x 1 = 6
d) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
e) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
f) 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
g) 7! = 7 x 6! = 7x 6 x 5! = 7 x 6 x 5 x 4!, etc.
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5. Unidad V: Probabilidades
Principio de la multiplicación
Definición
Si una actividad puede realizarse en dos pasos sucesivos
(debe ocurrir uno y después el otro) de manera tal que el
paso 1 se realiza de n maneras y el paso 2 de m maneras,
entonces la actividad puede realizarse de m*n maneras
distintas.
A B
m n formas
formas
Hay m * n posibilidades de ir
desde A hasta B
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6. Unidad V: Probabilidades
Ejemplo:
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta B?
Primer caso: Sin Hay 3 caminos distintos para ir
pasar por C desde A hasta B sin pasar por C
A C B Segundo caso:
Hay 4*3 = 12 caminos
distintos para ir desde A
Pasando por C
hasta B, pasando por C
Hay 12 + 3 = 15 caminos distintos
para ir desde A hasta B A C B
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7. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel que, aun realizado en
las mismas condiciones, produce resultados posiblemente
distintos.
Se opone a la noción de experimento determinista
Un ejemplo sencillo: tirar un dado.
Espacio muestral
El conjunto S de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio se llama el espacio muestral de este
experimento.
Ejemplo del dado: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
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8. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
Suceso
Un suceso: cualquier colección de resultados posibles de
un experimento aleatorio.
Siempre se podrá describir de dos maneras:
Usando palabras
Como subconjunto de S, usando el formalismo de los
conjuntos.
Par el ejemplo del dado, A = {2, 4, 6}
¿Cúando decimos que «ocurre» un suceso A?
Realizamos el experimento aleatorio. Decimo «Ocurre A» si
el resultado pertenece a A.
Lanzo un dado, y sale un 4. Si el suceso A=«sacar un
número par», puedo decir: «Ha ocurrido A»
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9. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
La unión de sucesos
Es la unión de los resultados en A y los resultados en B:
A B {x S : x A o x B}
Ocurre A U B Ocurre A o ocurre B.
Ejemplo A=«sacar un número par», B=«sacar un número
mayor o igual a 5».
A B {2, 4, 5, 6}
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10. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
La intersección de sucesos
A B {x S : x A y x B}
A B {6}
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11. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
El complemento de un suceso
Son los resultados de S que no pertenecen a A:
c
A {x S :x A}
Ocurre Ac No ocurre A.
Ejemplo A=«sacar un número par».
c
A {1, 3, 5}
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12. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
Concepto de probabilidad
Queremos cuantificar la información que tenemos sobre las
«posibilidades» que tiene un determinado suceso de ocurrir.
Nos limitaremos a una definición informal de la probabilidad.
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13. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
Asignamos a cada suceso A una cantidad P(A), que refleja
nuestra creencia en que ocurra A. Cumple:
A( A B )
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14. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
El caso de un espacio muestral finito
Si sólo hay un número finito de resultados posibles, basta
con asignar una probabilidad a cada uno de ellos (de manera
que sumen 1).
Si además los resultados son equiprobables:
nro de elementos en A nro de casos favorables
P ( A)
nro de elementos totales nro de casos posibles
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15. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
La probabilidad condicionada
Si A y B son dos sucesos tales que P(B) > 0, la probabilidad
de A condicionada a B se denota por P(A|B) y es igual a
P( A B)
P( A | B)
P( B)
Interpretación:
Realizamos el experimento, y sabemos que ha ocurrido B,
¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido A también?
Espacio de resultados posibles es B
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16. Unidad V: Probabilidades
2. Probabilidades
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si el hecho de saber
que ha ocurrido uno de ellos no modifica la probabilidad de
que ocurra el otro.
P( A | B) p ( A ), p ( B | A) P(B)
Ejemplos:
• La gente prefiere comprar loterías en administraciones
donde ya tocó el gordo…
• ¿Por qué un matemático siempre se lleva una bomba
cuando sube a un avión?
Porque la probabilidad de que haya dos bombas en el
mismo avión es mucho más pequeña que la de que haya
solo una…
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