Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad condicional y probabilidad total. Explica cómo calcular la probabilidad condicional de eventos dados otros eventos utilizando la fórmula P(A|B)=P(A∩B)/P(B). También presenta ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de probabilidades condicionales y la aplicación de la regla de multiplicación y suma total. Por último, introduce brevemente el teorema de Bayes.

1. Probabilidad
Condicional
Universidad Politécnica de Amozoc
Ingeniería en Tecnologías
de Manufactura
M.C. Jorge Luis Rodríguez Bravo
Probabilidad y Estadística
Enero-Abril 2014
E1
E2
E1 ∩ E2

2. Probabilidad Condicional
La estimación de la probabilidad de un evento, a menudo
queda actualizada como consecuencia de información
adicional. Las probabilidades condicionales pueden hallarse
a partir de la definición formal de probabilidad condicional.

3. Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional de un evento A dado un evento
B, denotada por P(A|B), es
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Donde:
P(B)= (número de resultados en B) / n
P(A∩B)= (número de resultados en A∩B) / n
Por consiguiente: P(A|B) puede interpretarse como la
frecuencia relativa del evento A con respecto al número de
ensayos que producen un resultado en el evento B.

4. Probabilidad Condicional
Ejemplo: los resultados obtenidos de 266 muestras de aire
se clasifican de acuerdo con la presencia de dos moléculas
raras.
Sea A: el evento formado por todas las muestras en las que
se encuentra presente la molécula 1.
Sea B: el evento formado por todas las muestras de aire
donde está presente la molécula 2.
M 1 presente
M 2
presente
No Si
No 212 24
Si 18 12

5. Probabilidad Condicional
Calcule P(A) =
M 1 presente
M 2
presente
No Si
No 212 24
Si 18 12
Calcule P(B) =
Calcule P(A∩B) =
Calcule P(AUB) =
36/266 = .135338
30/266 = .112781
12/266 = .045112
54/266 = .203007

6. Probabilidad Condicional
Calcule la probabilidad de que la molécula 1
esté presente dado que la molécula 2 esta
presente
M 1 presente
M 2
presente
No Si
No 212 24
Si 18 12
P(M1 presente | M2 presente) = P(A|B)
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (12/266) / (30/266)
P(A|B) = 12/30 = 0.4 o 40%P(A|B) = 12/30 = 0.4 o 40%

7. Probabilidad Condicional
Calcule la probabilidad de que la molécula 2
esté presente dado que la molécula 1 esta
presente
M 1 presente
M 2
presente
No Si
No 212 24
Si 18 12
P(M2 presente | M1 presente) = P(B|A)
P(B|A) = 12/36 = 0.3333 oP(B|A) = 12/36 = 0.3333 o
33.33%33.33%
P(A∩B)/P(A) = (12/266) / (36/266)

8. Probabilidad Condicional
Note que en el ejemplo anterior, las siguientes
cuatro probabilidades son diferentes
M 1 presente
M 2
presente
No Si
No 212 24
Si 18 12
P(A)= 36/266 P(A|B)= 12/30
P(B)= 30/266 P(B|A)= 12/36
En este caso, P(A) y P(A|B) hacen referencia a la
probabilidad del mismo evento, pero calculado bajo
diferentes estados de conocimiento

9. Probabilidad Condicional
El siguiente diagrama de árbol presenta un
análisis del problema anterior.

10. Regla de la Multiplicación
La definición de probabilidad condicional dada
anteriormente puede rescribirse de modo que
proporcione una expresión general para la
probabilidad de la intersección de dos eventos.
P(A∩B)= P(A|B)*P(B)= P(B|A)*P(A)P(A∩B)= P(A|B)*P(B)= P(B|A)*P(A)

11. Regla de la Multiplicación
La probabilidad de que la batería de un auto sujeta a
altas temperaturas dentro del compartimiento del motor
reciba una corriente de carga mayor a la normal es 0.7.
La posibilidad de que la batería quede expuesta a altas
temperaturas es de 0.05.
Sea A: el evento en donde la batería queda expuesta a
una corriente de carga mayor a la normal.
Sea B: el evento en el cual la batería queda expuesta a
altas temperaturas.
¿Cuál es la probabilidad de que la batería experimente
tanto una corriente de carga alta como una temperatura
alta?

12. Regla de la Multiplicación
La probabilidad de que la batería de un auto sujeta a
altas temperaturas dentro del compartimiento del motor
reciba una corriente de carga mayor a la normal es 0.7.
La posibilidad de que la batería quede expuesta a altas
temperaturas es de 0.05.
P(A∩B)= P(A|B)*P(B)P(A∩B)= P(A|B)*P(B)
P(A|B)= 0.7P(A|B)= 0.7
P(B)= 0.05P(B)= 0.05
P(A∩B)= (0.7) * (0.05) = 0.035P(A∩B)= (0.7) * (0.05) = 0.035

13. Regla de la Probabilidad Total
Durante el proceso de fabricación de semiconductores, la
probabilidad de que un circuito integrado que esta sujeto
a grandes niveles de contaminación sea causa de falla
de un producto, es 0.10. Por otra parte, la probabilidad de
que un circuito que no esta sujeto a altos niveles de
contaminación sea causa de falla es 0.005. En una
corrida de producción particular, el 20% de los circuitos
están sujetos a altos niveles de contaminación. ¿Cuál es
la probabilidad de que un producto que usa alguno de
estos circuitos falle?
P(B)= P(B|A)*P(A) + P(B|A’)*P(A’)P(B)= P(B|A)*P(A) + P(B|A’)*P(A’)

14. Regla de la Probabilidad Total
Sea A: el evento en donde el circuito esta expuesto a
altos niveles de contaminación. La probabilidad pedida es
P(F). La información proporcionada es :
P(F|A)= 0.10P(F|A)= 0.10
P(F|A’)= 0.005P(F|A’)= 0.005
P(A)= 0.20P(A)= 0.20
P(A)= 0.80P(A)= 0.80
P(B)= P(B|A)*P(A) + P(B|A’)*P(A’)P(B)= P(B|A)*P(A) + P(B|A’)*P(A’)
P(F)= P(F|A)*P(A) + P(F|A’)*P(A’)P(F)= P(F|A)*P(A) + P(F|A’)*P(A’)
P(F)= 0.10*0.20 + 0.005*0.80P(F)= 0.10*0.20 + 0.005*0.80

15. Regla de la Probabilidad Total
Suponga que P(A|B)=0.4 y P(B)=0.5. Calcule lo siguiente
a) P(A∩B)
b) P(A’∩B)
Suponga que P(A|B)=0.2 y P(A|B’)=0.3 y P(B)=0.
Calcule P(A).
Suponga que el 2% de rollos de tela de algodón son
defectuosos, así como el 3% de rollos de nylon. De
los rollos de tela que usa un fabricante, el 70% son
de algodón y el 30% son de nylon. Calcule la
probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los
rollos, éste sea defectuoso.

16. Teorema de Bayes
En el problema de contaminación de
semiconductores puede preguntarse lo siguiente: Si
el circuito de un producto falla. Calcule la
probabilidad de que este haya sido expuesto a altos
niveles de contaminación.
P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)
La probabilidad pedida puede expresarse como P(E1|
F). Por lo tanto.
P(E1|F)= P(F|E1) P(E1) / P(F) = 0.10(0.20)/0.0235
P(E1|F) = 0.85