Probabilidad total y teorema de Bayes

Instituto Tecnológico Superior del Sur
del Estado de Yucatán
arturoalvarado_edu@outlook.com
PROBABILIDAD TOTAL
Y TEOREMA DE BAYES
UNIDAD
2
OBJETIVO
El estudiante resolverá problemas que incluyan el cálculo de
probabilidades de diferentes tipos de eventos.
FUNDAMENTOS DE
PROBABILIDAD
SUBTEMAS:

PROBABILIDADYESTADÍSTICA
2
Arturo A. Alvarado Segura
REGLA DE PROBABILIDAD TOTAL
AL GRANO (y a manera de resumen)
TEOREMA DE BAYES
Sea A1, A2, … una sucesión finita o infinita de eventos
exhaustivos y mutuamente excluyentes y sea P(Ai)>0 para
toda i. Si B es cualquier evento, entonces
donde la sumatoria se extiende sobre toda i.
     
)(BP
APABP
BAP jj
j 
   i
i
i APABPBP )(
Si P(B)>0, entonces
para cualquier j.

3
REGLA DE
PROBABILIDAD
TOTAL
La regla de probabilidad total nos sirve para plantear el
teorema de Bayes (puede observar esta relación en la
diapositiva anterior).
Para entender el teorema de probabilidad total, requerimos
los siguientes conceptos: (a) eventos exhaustivos y (b)
eventos mutuamente excluyentes.
SUBTEMA
(Desgranando un poco…)

4
EVENTOS EXHAUSTIVOS Y MUTUAMENTE EXCLUYENTES
A1 A2
A3 A4
Una colección de eventos
A1, A2, A3, A4…
es exhaustiva y mutuamente
excluyente si la unión de todos ellos
forman el espacio muestral S, y sus
intersecciones son mutuamente
excluyentes para cualquier par AiAj,
con ij.
Evento
seguro
A1
A2
A3
A4

5
DESCOMPOSICIÓN DEL EVENTO B
A1 A2
A3 A4
B
Todo evento B, puede ser descompuesto
en componentes de dicho sistema.
B = (B∩A1)  (B∩A2 )  ( B∩A3 )  ( B∩A4 )
Nos permite descomponer el problema B
en subproblemas más simples.
S
A1
A2
A3
A4
B
B
B
B
Observe, de la gráfica, que las componentes de B, (B∩A1), (B∩A2), ( B∩A3)
y (B∩A4) son mutuamente excluyentes. Entonces la probabilidad de esa
unión es simplemente la suma de sus respectivas probabilidades
individuales.

6
TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL
Sea A1, A2, … una sucesión finita o infinita de eventos
exhaustivos y mutuamente excluyentes y sea P(Ai)>0 para
toda i. Si B es cualquier evento, entonces
donde la sumatoria se extiende sobre toda i.
Nota. Observe que P(Ai) P(BAi) = P(AiB), por la regla multiplicativa
que es posible obtener despejando de la definición de probabilidad
condicional, esto es, de P(BA) = [P(AB)] / P(A) revisada en la sección
anterior.
En las dos diapositivas siguientes, se ejemplifica la probabilidad total
para cuatro y para dos eventos. Después se escriben ejemplos
numéricos.
    
i
ii ABPAPBP )(

7
EJEMPLO: UN CASO PARA 4 EVENTOS
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de cuatro eventos, entonces podemos
calcular la probabilidad de B. Observe:
P(B) = P(BA1) + P(BA2 ) + P(BA3 ) + P(BA4 )
=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3)+ P(A4) P(B|A4)

8
EJEMPLO
A Ac
B
El caso más sencillo de la regla de probabilidad total aplica para el caso de dos
eventos A1 y A2, a los cuales llamaremos ahora A y Ac, respectivamente. Como
siempre, se supone que B es un evento cualquiera. Es claro que AAC = S
(esto es, A y AC son eventos exhaustivos) y que AAC = (esto es, A y AC son
eventos mutuamente excluyentes).
En el diagrama vemos que B está particionado
en la parte roja (AB) y la parte verde (AcB).
Esto nos permite escribir
B = (AB)  (AcB)
Entonces
P(B) = P [(AB)  (AcB)]
(Probabilidad total para dos eventos)
Puesto que [(AB)  (AcB)]=  P [(AB)(AcB)]=P(AB)+P(AcB).
Usando ahora la regla multiplicativa para la intersección de eventos,
tenemos que
P(B) = P(A) P(B|A) + P(Ac) P(B|Ac)
Esta última expresión es la regla de probabilidad total para dos eventos
que es un caso particular del caso general. Siguen ejemplos numéricos

9
EJEMPLO. En una urna se han colocado 4 bolas rojas y 3
blancas, y en una segunda urna, 3 rojas y 5 blancas. Se
saca una bola de la primera urna y, sin verla, se mete en la
segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola que se
extraiga al azar de la segunda urna sea blanca?
Solución
Sea B el evento de que la segunda bola extraida de la urna II
es blanca y sea A que la bola transferida es blanca. Entonces
P(B|A) = 6/9 puesto que habrán 3 bolas rojas y 6 bolas blancas en la
urna II al momento de la segunda extracción si es que A ocurre.
Análogamente P(B|Ac)=5/9. Tenemos también que P(A)=3/7 y en
consecuencia P(Ac) =4/7
P(B) = P(AB) + P(AcB)
= P(A) P(B|A) + P(Ac) P(B|Ac)
=3/7 x 6/9 + 4/7 x 5/9 = 38/63
Respuesta: La probabilidad de que una bola extraida al azar de la
segunda urna sea blanca es de 38/63 = 0.6032

10
EJEMPLO (Urnas con bolas rojas y blancas)
Ampliación de la solución: visualización.
Urna 1
4 R, 3 B
Urna 2
3 R, 6 B
Urna 2
4 R, 5B
P(AB)=3/7 x 6/9 = 2/7
P(ABc)=
P(AcB)=4/7 x 5/9 = 20/63
P(AcBc)=
Observe que en el diagrama de árbol, la solución se
obtiene siguiendo la flecha roja; esto es, los dos
eventos en que sale bola blanca en la segunda urna y
que corresponden a los eventos AB y AcB. Sus
probabilidades son 2/7 y 20/63, respectivamente, que
sumadas dan 38/63 que es la respuesta mostrada en la
transparencia anterior. Resumen gráfico a la derecha.
Respuesta:
A Ac
B
7
2
63
20

11
EJEMPLO. En la Cd de Mérida el 60% de las personas
son propietarios (D) de la casa donde viven. De
ellos el 20% aprueba (A) el aumento al impuesto
predial. De los no-propietarios, el 70% lo aprueba.
¿Qué porcentaje de ciudadanos Aprueba el aumento
al impuesto predial?
Solución. Se nos pide P(A)
P(A) = P(DA) + P(DcA)
= P(D) P(A|D) + P(Dc) P(A|Dc)
=0.6 x 0.2 + 0.4 x 0.7
= 0.40
Ciudadano
Propietario
No al
aumento
No es
propietario
Sí al
aumento
No al
aumento
Sí al
aumento
0.6
0.2
0.70.4
0.3
0.8
Para obtener el porcentaje de
ciudadanos que aprueban (A) el
aumento al predial,
multiplicamos la probabilidad
resultante por 100 %
Respuesta: 40% de las
personas en Mérida aprueban
el aumento al predial

12
EJEMPLO. En este aula el 70% de los alumnos son varones.
De ellos el 20% son fumadores. De las mujeres, son
fumadoras el 10%.
 ¿Qué porcentaje de fumadores hay?
P(F) = P(HF) + P(MF)
= P(H)P(F|H) + P(M)P(F|M)
=0.7 x 0.2 + 0.3 x 0.1
= 0.17
Teorema de Probabilidad Total.
Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de eventos
Estudiante
Hombre
No fuma
Mujer
Fuma
No fuma
Fuma
0.7
0.2
0.10.3
0.9
0.8
En el diagrama
• Los caminos a través de nodos representan
intersecciones.
• Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
Para obtener el porcentaje de
fumadores, multiplicamos la
probabilidad resultante por 100
Respuesta: Tenemos así un 17% de
personas del salón que son fumadores

13
RESUMEN DEL EJEMPLO 2:
M H
F
El evento F, puede ser descompuesto en:
F = (F  M)  (F  H )
S
H
M
F
F
Recuerde: Este resultado se obtuvo aplicando la regla de probabilidad total.
Así que
P(F) = P(HF) + P(MF)
= P(H)P(F|H) + P(M)P(F|M)
=0.7 x 0.2 + 0.3 x 0.1
= 0.17
P(F|H)=0.2
P(F|M)=0.1
Respuesta: hay un 17% de
estudiantes del salón que fuman

14
TEOREMA DE
BAYES
SUBTEMA

15
TEOREMA DE BAYES
A1 A2
A3 A4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada
uno de los componentes de un sistema
exhaustivo y mutuamente excluyente de
eventos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de
cada evento Aj.
donde P(B) se calcula usando el teorema de probabilidad total:
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) + …
= P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4) + …
     
)(BP
APABP
BAP jj
j 

16
EJEMPLO. En una urna se han colocado 4 bolas rojas y 3
blancas, y en una segunda urna, 3 rojas y 5 blancas. Se
saca una bola de la primera urna y, sin verla, se mete en la
segunda.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bola que se extraiga al azar
de la segunda urna sea blanca?
b) Si se sabe que la bola extraida de la urna II es blanca, ¿cuál es la
probabilidad de que la bola transferida haya sido también blanca?
Solución
Sea B el evento de que la segunda bola extraida de la urna II
es blanca y sea A que la bola transferida es blanca. En un
ejercicio anterior obtuvimos que P(B) = 38/63, así
respondemos al inciso a). En el inciso b) se pide P(A|B); por
probabilidad condicional (en este caso es un ejemplo numérico de
Bayes para dos eventos), resolvemos:
Respuestas. Del inciso a) ya habíamos calculado que es
38/63. Del inciso b) la respuesta es 9/19; ésta es la probabilidad
de que la bola transferida haya sido blanca (recuerde que no la
vimos) dado que la extraida en la urna II fue blanca.
     
19
9
)()(
)(
63
38
7
2
63
38
9
6
7
3





BP
ABPAP
BP
BAP
BAP
T. Bayes: ejemplo de las bolas en las urnas

17
EJEMPLO (Urnas con bolas rojas y blancas)
Continuación de la solución: visualización.
Como dijimos en la diapositiva anterior,
en el inciso b) se nos pide P(A|B) que se
resuelve por teorema de Bayes y
usando el resultado del inciso a). La
solución ha sido desglosada también en
la diapositiva anterior. Gráficamente el
planteamiento puede ser visto como el
cálculo de una probabilidad condicional
como se representa en la gráfica de la
derecha. Esto es, ha ocurrido B y
queremos calcular la probabilidad de que
ocurra A. El espacio muestral original se
ha reducido a B.
A Ac
B
7
2
63
20
Podemos imaginar el planteamiento del problema
de las dos urnas con bolas rojas y blancas con el
diagrama de la izquierda que ya hemos usado. El
inciso a) nos pide la P(B) que por la regla de
probabilidad total obtuvimos 38/63.
  19
9
63
38
7
2
BAP
63
38
63
20
7
2

7
2
T. Bayes: ejemplo de las bolas en las urnas

18
EJEMPLO. En la Cd de Mérida el 60% de los votantes registrados
son propietarios (D) de la casa donde viven. De ellos el 20% aprueba
(A) el aumento al impuesto predial. De los no-propietarios(Dc), el
70% lo aprueba. ¿Qué porcentaje de los votantes registrados quienes
favorecen el incremento predial son propietarios?
Solución. Se nos pide calcular P(DA). Sea A el evento que un votante
seleccionado al azar aprueba el incremento predial y D el evento que un votante
seleccionado al azar sea un propietario. Para calcular P(DA) necesitamos dividir
P(DA) entre P(A); sabemos que P(A)=0.4 obtenida por probabilidad total en un
ejemplo anterior. Ahora, P(DA)= P(D) P(A|D). Así
Para obtener el porcentaje, multiplicamos la probabilidad resultante por 100 %.Respuesta: En Mérida, el 30% de los votantes registrados que favorecen
el incremento predial, son propietarios.
T. Bayes: ejemplo del aumento al predial
     
        30.0
40.0
12.0
)7.04.0()2.06.0(
2.06.0
)(
(







 cc
DAPDPDAPDP
DAPDP
AP
DAP
ADP
D Dc
A
0.12 0.28
  3.0
40.0
12.0
ADP
0.12
0.12 0.28

19
EJEMPLO. En el grupo 2 A el 70% de los alumnos son
mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los
varones, son fumadores el 20%.
Estudiante
Mujer
(M)
No fuma
(Fc)
Hombre
(Mc)
Fuma
(F)
No fuma
(Fc)
Fuma
(F)
MF
MFc
McF
McFc
Punto muestral
1. ¿Qué porcentaje de fumadores hay?
2. Se elije a un estudiante al azar y es fumador
¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
PREGUNTAS:
T. Bayes: ejemplo de fumadores(as)

20
SOLUCIÓN AL EJEMPLO DE FUMADORES Y NO FUMADORES
Sean los eventos M: es mujer; Mc : no es mujer (es hombre)
y F: que fuma
 ¿Qué porcentaje de fumadores hay en el 2 A?
 Respuesta: Hay un 13% de fumadores (Resuelto antes, un ejemplo
muy parecido por el teorema de probabilidad total)
 Se elije a un individuo al azar y resulta que es fumador
¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
Respuesta: Si se elije a un individuo al azar en el aula, la
probabilidad de que sea un hombre dado que es fumador es 0.46
       
46.0
13.0
2.03.0
)()(






FP
MFPMP
FP
FMP
FMP
ccc
c
13.02.03.01.07.0
)()()()()(

 cc
MFPMPMFPMPFP
Por el teorema
de Bayes y
usando el
resultado
anterior
T. Bayes: ejemplo de fumadores(as)

21
En un estado de la República, se agrupa a los conductores con licencia
en las siguientes categorías de edad: (1) 16 a 25; (2) 26 a 45; (3) 46 a
65; y (4) más de 65. La proporción de conductores con licencia para cada
categoría de edad y la proporción de conductores en el grupo que
tuvieron accidentes, se escribe en la siguiente tabla:
Solución. Sean los eventos:
A: que un conductor con licencia seleccionado al azar tenga accidente.
Bk: que un conductor con licencia seleccionado al azar se encuentre en la
categoría de edad k, con k=1,2,3,4.
Continúa la solución...
TEOREMA DE BAYES EN LA VIDA REAL:
ACCIDENTES DE TRÁFICO
Grupo Tamaño Proporción de
accidentes
1 0.151 0.098
2 0.356 0.044
3 0.338 0.056
4 0.155 0.086
PREGUNTAS
a) Qué proporción de
conductores con licencia
tuvieron accidentes?
b) ¿Qué proporción de
conductores con licencia que
tuvieron accidentes tenían
más de 65 años?
T. de Bayes en los accidentes de tráfico.Libro M. Woodroofe. Univ. de Michigan

22
…Solución. En el inciso a) se requiere P(A) y en el inciso b), P(B4A).
Como datos tenemos P(Bk) y P(ABk) en las columnas “tamaño” y
“proporción de accidentes”, respectivamente. Así
P(A)=P(AB1)P(B1) + P(AB2)P(B2) + P(AB3)P(B3) + P(AB4) P(B4)
=(0.098)(0.151)+(0.044)(0.356)+(0.056)(0.338)+(0.086)(0.155)
=0.06272.
Ahora,
TEOREMA DE BAYES EN LA VIDA REAL:
ACCIDENTES DE TRÁFICO
Grupo Tamaño Proporción de
accidentes
1 0.151 0.098
2 0.356 0.044
3 0.338 0.056
4 0.155 0.086
PREGUNTAS
a) Qué proporción de
conductores con licencia
tuvieron accidentes?
b) ¿Qué proporción de
conductores con licencia que
tuvieron accidentes tenían
más de 65 años?
     
212532.0
06272.0
155.0086.0
)(
44
4 


AP
BPBAP
ABP
Respuesta: a) De los conductores con licencia, una proporción de
0.06272 (6.3%) tuvieron accidentes; b) De los conductores con licencia que
tuvieron accidentes, un 21.25% tenían más de 65 años
T. de Bayes en los accidentes de tráfico. Libro M. Woodroofe. Univ. de Michigan

23
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Imprima y resuelva los siguientes problemas.
 Se ha nominado a tres miembros de un club privado para ocupar la
presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al Sr Aké es 0.3;
la de que se elija al Sr Baas, de 0.5 y la que gane la Sra Caamal, de 0.2.
En caso de que se elija al Sr Aké, la probabilidad de que la cuota de
ingreso aumente es de 0.8; si gana Sr Baas o Sra Caamal, las
correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota son de
0.1 y 0.4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incremento en la
cuota de ingreso al Club?, b) Una persona considera entrar al club pero
retrasa su decisión por varias semanas y se encuentra ahora que las
cuotas de ingreso han aumentado, ¿cuál es la probabilidad de que se
haya elegido al Sr Baas como presidente del club?
 En el centro del país, los registros pasados reportan que el 2% de los adultos
mayores de 40 años tienen cáncer. Si la probabilidad de que un médico le
diagnostique correctamente a una persona con cáncer que sí tiene la
enfermedad es de 0.78 y la de que se equivoque de 0.06. a) ¿Cuál es la
probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer? b) ¿Cuál es la
probabilidad de que a una persona a la que se le diagnostica cáncer,
verdaderamente tenga la enfermedad?
 La policía planea reforzar el respeto a los límites de velocidad mediante
la utilización de sistema de radar en 4 diferentes sitios de la ciudad.
Los sistemas de radar en cada sitio S1, S2, S3 y S4, se ponen a funcionar
el 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, respectivamente. Si una persona
que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene,
respectivamente, las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de pasar por
alguno de estos sitios, a) ¿Cuál es la probabilidad de que le levanten
una multa?, b) Si una persona es infraccionada por conducir muy
rápido, ¿cuál es la probabilidad de que haya pasado el radar que se
encuentra en el sitio S2?

24
Gracias por
su atención
arturoalvarado_edu@Outlook.com
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