Sesión 05

Para la sesión de hoy
Problema del Tuercas
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Resolución del problema de Tarea
Problema 1
El jugador de la NBA Michael Jordan, tenía una efectividad del 84% en sus tiros a la canasta. Su
probabilidad de falla era de p=0.16.
¿Cuál es la probabilidad de que en un juego, este jugador fallara más de x=6 de n=16 tiros realizados
a la canasta?
(escriba su respuesta como x.xxxxxxx)
Datos :
n 16;
p .16;
x 6;
Prob 1 CDF BinomialDistribution n, p , x
0.00803067
Problema 2
En un escritorio de ayuda de TI (Help Desk) se reciben en promedio 2.5 llamadas por hora. Con el
número de asesores que se tienen se pueden manejar hasta 5 llamadas por hora por lo que parece
que están bien cubiertos.
¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 6 llamadas por hora y el servicio sea rebasado?
2 05_01.nb

En un escritorio de ayuda de TI (Help Desk) se reciben en promedio 2.5 llamadas por hora. Con el
número de asesores que se tienen se pueden manejar hasta 5 llamadas por hora por lo que parece
que están bien cubiertos.
¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 6 llamadas por hora y el servicio sea rebasado?
Datos
Μ 2.5;
x 6;
PDF PoissonDistribution Μ , x
0.0278337
05_01.nb 3

Distribución de probabilidad Normal
Muy utilizada en los fenómenos o poblaciones estudiadas en el área de negocios.
Media
Desviación Estándar
x
0.2
0.4
0.6
0.8
f x
Distribución Normal
La fórmula para la función de probabilidad es f x 1
2 Π Σ2
e
x Μ 2
2 Σ2
.
Propiedades de la ditribución normal; Sesgo y Curtosis
Sesgo
4 05_01.nb

Propiedades de la ditribución normal; Sesgo y Curtosis
Sesgo
Sesgo positivo o negativo 0
4 2 0 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
Función de Probabilidad Normal con Sesgo y Función de Probabilidad Normal
Sesgo: Γ1
4 Π E x 3
2Var x 3 2 0.000
Curtosis
05_01.nb 5

g2
1
n
xi x 4
ni
1
n
xi x 2
ni
2 3
Leptocúrtica Mesocúrtica Platicúrtica 0.7 1 2
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
f x
El área bajo la curva, representa la probabilidad. La probabilidad de x=x0= 0 (cero)
6 05_01.nb

Inferior 1
1.645
Superior 2
1.645
intervalo
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Área en amarillo representa la probabilidad 0.1000
05_01.nb 7

Distribución de probabilidad Normal Estandarizada
¿Cómo comparar peras con manzanas?
Utilizamos los Valores Z, (también conocidos como valores estandarizados), son una medida de la
posición relativa de la observación en un conjunto de datos.
zi
xi x
S
Con diferentes medidas, hay que estandarizar.
Un ejemplo;
8 05_01.nb

Con diferentes medidas, hay que estandarizar.
Un ejemplo;
60 en Estadística 60 en Ética
Para entenderlo grafiquémoslo
Tipo de datos
Numéricos
Medidas de tendencia Central (media)
Medias de variabilidad (desviación estándar)
Primera Idea
Segunda idea
05_01.nb 9

Tercera idea
10 05_01.nb

Cuarta Idea
z 60 50
10
=1 z 84 50
10
=3.4
z 60 70
10
=-1
Valores Z (Z-scores)
Pueden ser positivos o negativos
Positivo es arriba de la media
Negativo es abajo de la media
La media de un valor z es siempre cero
La desviación estándar es z=1
05_01.nb 11

f x 1
2 Π Σ2
e
z2
2 .
en donde
zi
x Μ
Σ
Del ejemplo de la sesión uno, calculamos los valores Z.
SalariosM Sort
Rest Import FileNameJoin NotebookDirectory , "Salarios.xlsx" , "Data", 1
425. , 430. , 430. , 435. , 435. , 435. , 435. , 435. , 440. , 440. ,
440. , 440. , 440. , 445. , 445. , 445. , 445. , 445. , 450. , 450. ,
450. , 450. , 450. , 450. , 450. , 460. , 460. , 460. , 465. , 465. ,
465. , 470. , 470. , 472. , 475. , 475. , 475. , 480. , 480. , 480. ,
480. , 485. , 490. , 490. , 490. , 500. , 500. , 500. , 500. , 510. ,
510. , 515. , 525. , 525. , 525. , 535. , 549. , 550. , 570. , 570. ,
575. , 575. , 580. , 590. , 600. , 600. , 600. , 600. , 615. , 615.
MediaSM Mean SalariosM ; DesvStSM StandardDeviation SalariosM ;
12 05_01.nb

ValoresZ SalariosM MediaSM DesvStSM
1.20211 , 1.11076 , 1.11076 , 1.01942 , 1.01942 , 1.01942 ,
1.01942 , 1.01942 , 0.928071 , 0.928071 , 0.928071 , 0.928071 ,
0.928071 , 0.836725 , 0.836725 , 0.836725 , 0.836725 ,
0.836725 , 0.74538 , 0.74538 , 0.74538 , 0.74538 , 0.74538 ,
0.74538 , 0.74538 , 0.562689 , 0.562689 , 0.562689 , 0.471343 ,
0.471343 , 0.471343 , 0.379997 , 0.379997 , 0.343459 ,
0.288652 , 0.288652 , 0.288652 , 0.197306 , 0.197306 ,
0.197306 , 0.197306 , 0.105961 , 0.0146153 , 0.0146153 ,
0.0146153 , 0.168076 , 0.168076 , 0.168076 , 0.168076 , 0.350767 ,
0.350767 , 0.442112 , 0.624803 , 0.624803 , 0.624803 , 0.807495 ,
1.06326 , 1.08153 , 1.44691 , 1.44691 , 1.53826 , 1.53826 , 1.6296 ,
1.8123 , 1.99499 , 1.99499 , 1.99499 , 1.99499 , 2.26902 , 2.26902
05_01.nb 13

Teorema de Chebyshev
N Manipulate 1 1 z^2, z, 2, 3, 4
z 2. 3. 4.
0.75
Al menos el porcentaje indicado arriba se encuentra a menos de z desviaciones estándar de la media
Ejemplo de aplicación de Chebyshev
Supongamos que las calificaciones del examen parcial de 100 alumnos en un curso tuvieron promedio
de 70 y una desviación estándar de 5
¿cuántos alumnos tuvieron calificaciones entre 60 y 80?
Solución
Promedio = 70
Desviación estándar = SD = 5
60-70 =10, 80-70= 10. Dos desviaciones estándar.
=> a dos desviaciones estándar se encuentra el 75% de los datos, 75% de los alumnos estuvieron
entre 60 y 80.
y cuantos entre 58 y 82?
14 05_01.nb

Solución
Promedio = 70
Desviación estándar = SD = 5
60-70 =10, 80-70= 10. Dos desviaciones estándar.
=> a dos desviaciones estándar se encuentra el 75% de los datos, 75% de los alumnos estuvieron
entre 60 y 80.
y cuantos entre 58 y 82?
Solución
(82-70)/5 = 2.4 y (58-70)/5=-2.4
Aplicando el teorema
z 2.4
2.4
1 1 z^2
1 1 z^2
0.826389
Al menos el 82.6% de los alumnos se encuentra 2.4 desviaciones estándar de la media, esto es entre
58 y 82.
Regla Empírica
05_01.nb 15

sombrear y mostrar probabilidad del área.
N 470., 222.7
0 500 1000
16 05_01.nb

Problema del Tuercas
Datos
Punto de reorden 20 litros
La demanda durante el tiempo de resurtido esta distribuida normalmente
Media = 15 litros
Desviación estándar = 6 litros
05_01.nb 17

Tabla de
18 05_01.nb

Si se desea que la probabilidad de faltantes no sea más de 0.05, cuál deberá ser el punto de reorden?
05_01.nb 19

Problemas tipo tuercas;
Inciso a) Nos dan x y calculamos la probabilidad. Inciso b) nos dan una probabilidad y calculamos x.
Inciso a)
Para calcular la probabilidad utilizamos la función acumulada en mathematica (recordar que la probabil-
idad en un punto x=x0=0, en una función contínua).
20 05_01.nb

Para calcular la probabilidad utilizamos la función acumulada en mathematica (recordar que la probabil-
idad en un punto x=x0=0, en una función contínua).
CDF NormalDistribution Μ1, Σ1 , x1 ;
Los datos del ejemplo son;
Μ1 15; Σ1 6; x1 20;
Ojo, para no mezclar las variables anteriores se usa el 1 como diferenciador,
Por lo que el valor de la probabilidad P(x 20) es
p20 N CDF NormalDistribution Μ1, Σ1 , x1
0.797672
y la probabilidad P(x 20) = 1- P(x 20) por lo que
prob 1 p20
0.202328
Lo visualizaremos ahora de manera gráfica. Resolvemos con los mismo datos. Si deseas comprobarlo
por favor evalúa la celda oculta siguiente (shift-enter) , para introducir los datos y obtener la gráfica o
bien introduce nuevos datos para un nuevo problema.
Inciso a)
05_01.nb 21

Grid
Datos del problema
Media Μ : 15
Desv. Estand. Σ : 6
Variable x : 20
El valor de z score es 0.833333
,
Probabilidad
0.2023280.797672
z 0.833333
N 0,1
6 4 2 0 2 4 6
Inciso b)
Para calcular x, a partir de la probabilidad encontramos z y después despejamos x (ver slides anteri-
ores).
El problema pide que la probabilidad de faltantes no sea mayo a 0.05, por lo que la probabilidad acumu-
lada es de .95, con estpos datos aplicamos la fórmula para obtener z
InverseCDF NormalDistribution 0, 1 , .95
1.64485
y de ahí despejar X o bien directamente poner los valores de Μ y de Σ con una probabilidad acumulada
de .95
InverseCDF NormalDistribution 15, 6 , .95
24.8691
Inciso b)
Resolvemos el problema con los mismos datos, pero ahora de manera gráfica. Mueve la barra hasta
encontrar el valor de z con una probabilidad de 0.05
22 05_01.nb

z 0.
Probabilidad
0.50.5
z 0.
N 0,1
6 4 2 0 2 4 6
05_01.nb 23

Distribución de muestreo de la media muestral
Es la distribución de probabilidad de la población de todas las posibles medias muestrales que pueden
ser obtenidas de todas las posibles muestras del mismo tamaño
Imagine que en una concesionaria se prueba el rendimiento de un cierto modelo de auto. De los 6
autos que hay en exhibición se seleccionan dos y arrojan un rendimiento de 15 y 16 km/l. Note que
cada uno tuvo una probabilidad de 1/6 de ser seleccionado. Lo cierto es que el rendimiento varía entre
los 13 y 18 km/l. Para efectos académicos supongamos que cada auto tiene un rendimiento diferente;
Auto 1 13.
Auto 2 14.
Auto 3 15.
Auto 4 16.
Auto 5 17.
Auto 6 18.
Esto varía el rendimiento que podemos encontrar, de hecho hay 15 combinaciones
Binomial 6, 2
15
Que son las siguientes
24 05_01.nb

Muestra rendimiento Media
1. 13. 14. 13.5 km l
2. 13. 15. 14. km l
3. 13. 16. 14.5 km l
4. 13. 17. 15. km l
5. 13. 18. 15.5 km l
6. 14. 15. 14.5 km l
7. 14. 16. 15. km l
8. 14. 17. 15.5 km l
9. 14. 18. 16. km l
10. 15. 16. 15.5 km l
11. 15. 17. 16. km l
12. 15. 18. 16.5 km l
13. 16. 17. 16.5 km l
14. 16. 18. 17. km l
15. 17. 18. 17.5 km l
Las medias son entonces
13.5
14.
14.5
15.
15.5
16.
16.5
17.
17.5
AutM Import FileNameJoin NotebookDirectory , "Autos.xlsx" , "Data", 2 ;
Histogram AutM All, 4 , 17,
ChartElementFunction "FadingRectangle", ChartStyle Red
14 15 16 17
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Este ejemplo nos demuestra que la distribución de la población de todas las posibles medias mues-
trales tiene una distribución normal. El valor esperado (la media de la población de todas las posibles
medias muestraeles es igual a Μ, la media de la población) es igual a 15.5.
Para entender la forma de distribución muestral de x , corre el Applet TeoremaLimiteCentral que se
encuentra en la plataforma. (necesitarás el Flash Player para correr el Applet).
05_01.nb 25

26 05_01.nb

Margen de error y estimación de intervalos
Parte Uno
De qué estamos hablando?
Tomemos una población de 300 personas con una media Μ = 230 de , y una desviación estándar de Σ
= 16 .
Poblacion RandomVariate NormalDistribution 230, 16 , 300 ;
Mean Poblacion
230.903
StandardDeviation Poblacion
16.5598
Tomemos una muestra de esta población de 25 personas.
Muestra RandomSample Poblacion, 25 ;
Mean Muestra
231.434
StandardDeviation Muestra
15.5936
05_01.nb 27

x 5.
Nivel de confianza 0.9
Tamaño de la muestra 30
x
Margen de error
90 intervalo de confianza para el parámetro
Recordar que para los diferentes niveles de confianza podemos obtener los valores de z
Tabla
Nivel de confianza Valor de Α Estadístico zΑ Valor de Α 2 Estadístico zΑ 2
.99 .01 2.32635 .005 2.57583
.95 .05 1.64485 .025 1.95996
.90 .10 1.28155 .050 1.64485
zΑ 2 1.645
zΑ 2 1.645
intervalo
4 2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Área Α 0.1000 Α 2 0.0500
en donde el Margen de Error, conocido como error típico es igual a ->
Σ
n
, en nuestro ejemplo
28 05_01.nb

en donde el Margen de Error, conocido como error típico es igual a ->
Σ
n
, en nuestro ejemplo
Descriptivos del ejemplo
Media 230.903
Mediana 231.539
Moda 230.903
Desviación Estándar 16.5598
Error típico 0.956083
Varianza 274.229
Curtosis 3.15724
Sesgo 0.0425863
Rango inter cuartil 21.8361
Mínimo 180.797
Máximo 286.147
Cuartiles 219.514, 231.539, 241.35
05_01.nb 29

30 05_01.nb

Sesión 05

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