1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
3 Expresiones algebraicas
1. Dados los polinomios A(x) ϭ Ϫ2x3 ϩ 3x2 Ϫ 2x Ϫ 1 B(x) ϭ 3x3 Ϫ x2 ϩ 2 y C(x) ϭ Ϫx3 ϩ 2x Ϫ 4,
calcula:
a) A(x) ϩ B(x) ϩ C(x) b) A(x) Ϫ 2B(x) Ϫ C(x) c) Ϫ3A(x) ϩ B(x) ϩ 4C(x)
2. Realiza los siguientes productos de polinomios:
a) (2x2 Ϫ 3x ϩ 5) · (Ϫ3x ϩ 2) b) (Ϫx3 ϩ x2 Ϫ 2) · (Ϫ3x2 Ϫ 4)
3. Simplifica todo lo que puedas las siguientes expresiones algebraicas:
a) 2 · (x2 Ϫ 1)2 Ϫ 4x · (2x2 ϩ 3x Ϫ 1) b) Ϫ4 · (2x Ϫ 3) · (2x ϩ 3) ϩ 3 · (2x Ϫ 3)2
4. a) Calcula el resto y el cociente de la siguiente division de polinomios:
´
(Ϫ3x4 ϩ 11x3 Ϫ 14x2 ϩ 19x Ϫ 8) : (3x2 Ϫ 2x ϩ 5)
b) Escribe la expresion de la division entera: dividendo ϭ divisor · cociente ϩ resto
´ ´
5. Aplica la regla de Ruffini a las divisiones siguientes y escribe, en cada caso, el dividendo en funcion del cociente,
´
del divisor y del resto:
a) (4x4 Ϫ 3x3 ϩ 3x2 ϩ x Ϫ 5) : (x ϩ 2) b) (2x5 Ϫ x3 ϩ 2x Ϫ 1) : (x Ϫ 3)
6. Calcula las raı
´ces enteras de los siguientes polinomios y factorı
´zalos:
a) x3 ϩ 2x2 Ϫ 5x Ϫ 6 b) x3 Ϫ x2 Ϫ 5x Ϫ 3 c) x4 ϩ 2x3 Ϫ 3x2 Ϫ 4x ϩ 4
7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
2x2 Ϫ 7x ϩ 3 3x3 Ϫ 6x2 ϩ 3x 4x3 ϩ 3x2 Ϫ 25x ϩ 6
a) b) c)
3x2 Ϫ 4x Ϫ 15 2x ϩ 2x2 Ϫ 10x ϩ 6
3
x4 ϩ x3 Ϫ 7x2 Ϫ x ϩ 6
8. Halla el valor numerico de las siguientes fracciones algebraicas:
´
2x2 ϩ x Ϫx2 ϩ 2x Ϫ 3
a) para x ϭ 1 b) para x ϭ Ϫ3
2x ϩ 2x Ϫ 1
2
2x2 ϩ 3x Ϫ 2
9. Halla el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas:
2x2 Ϫ 2x x2 ϩ x Ϫ 2
a) para x ϭ 1 b) para x ϭ Ϫ2
2x2 Ϫ x Ϫ 1 2x2 ϩ 3x Ϫ 2
10. Realiza la siguiente operacion con fracciones algebraicas y simplifica el resultado si es posible:
´
2 3 6
ϩ ϩ 2
x Ϫ1 xϩ1 x Ϫ1
11. Realiza la siguiente multiplicacion de fracciones algebraicas y simplifica el resultado si es posible:
´
x Ϫ 1 2x2 Ϫ 5x Ϫ 3
·
2x ϩ 1 x2 Ϫ 1
12. Realiza la siguiente division de fracciones algebraicas y simplifica el resultado lo mas posible:
´ ´
x Ϫ2
΂1 ϩ x ϩ 2΃ : x
x
2
Ϫ4
13. Dado el polinomio p(x) ϭ 2x4 Ϫ 3x3 ϩ 4x2 Ϫ 2kx ϩ 4:
a) Calcula, en funcion de k, su valor numerico para x ϭ Ϫ2.
´ ´
b) Calcula el valor de k para que el polinomio sea divisible por x ϩ 2.
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´ Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. a) A(x) ϩ B(x) ϩ C(x) ϭ 2x2 Ϫ 3
8. a)
2ϩ1 3
ϭ ϭ1
b) A(x) Ϫ 2B(x) Ϫ C(x) ϭ Ϫ7x ϩ 5x Ϫ 4x Ϫ 1
3 2 2ϩ2Ϫ1 3
c) Ϫ3A(x) ϩ B(x) ϩ 4C(x) ϭ 5x3 Ϫ 10x2 ϩ 14x Ϫ 11 Ϫ9 Ϫ 6 Ϫ 3 Ϫ18
b) ϭ
18 Ϫ 9 Ϫ 2 7
2. a) (2x2 Ϫ 3x ϩ 5) · (Ϫ3x ϩ 2) ϭ
ϭ Ϫ6x3 ϩ 13x2 Ϫ 21x ϩ 10 2x2 Ϫ 2x 2x · (x Ϫ 1) 2x
b) (Ϫx ϩ x Ϫ 2) · (Ϫ3x Ϫ 4) ϭ
3 2 2 9. a)
2x2 Ϫ x Ϫ 1
ϭ
(2x ϩ 1) · (x Ϫ 1)
ϭ
2x ϩ 1
ϭ 3x5 Ϫ 3x4 ϩ 4x3 ϩ 2x2 ϩ 8 2·1 2
ϭ
2·1ϩ1 3
3. a) 2 · (x2 Ϫ 1)2 Ϫ 4x · (2x2 ϩ 3x Ϫ 1) ϭ
x2 ϩ x Ϫ 2 (x Ϫ 1) · (x ϩ 2) xϪ1
ϭ 2x4 Ϫ 8x3 Ϫ 16x2 ϩ 4x ϩ 2 b) ϭ ϭ
2x2 ϩ 3x Ϫ 2 (2x Ϫ 1) · (x ϩ 2) 2x Ϫ 1
b) Ϫ4 · (2x Ϫ 3) · (2x ϩ 3) ϩ 3 · (2x Ϫ 3)2 ϭ
Ϫ2 Ϫ 1 3
ϭ Ϫ4x2 Ϫ 36x ϩ 63 ϭ
2(Ϫ2) Ϫ 1 5
4. a) Cociente ϭ Ϫx2 ϩ 3x Ϫ 1 Resto ϭ 2x Ϫ 3
2 3 6
b) (Ϫ3x ϩ 11x Ϫ 14x ϩ 19x Ϫ 8) ϭ
4 3 2
10. ϩ ϩ 2 ϭ
ϭ (3x2 Ϫ 2x ϩ 5) · (Ϫx2 ϩ 3x Ϫ 1) ϩ 2x Ϫ 3 x Ϫ1 x ϩ1 x Ϫ1
2 · (x ϩ 1) ϩ 3 · (x Ϫ 1) ϩ 6
ϭ ϭ
5. a) Cociente ϭ 4x3 Ϫ 11x2 ϩ 25x Ϫ 49 (x Ϫ 1) · (x ϩ 1)
Resto ϭ 93 2x ϩ 2 ϩ 3x Ϫ 3 ϩ 6 5x ϩ 5
ϭ ϭ ϭ
(4x4 Ϫ 3x3 ϩ 3x2 ϩ x Ϫ 5) ϭ (x Ϫ 1) · (x ϩ 1) (x Ϫ 1) · (x ϩ 1)
ϭ (4x3 Ϫ 11x2 ϩ 25x Ϫ 49) · (x ϩ 2) ϩ 93 5 · (x ϩ 1) 5
ϭ ϭ
(x Ϫ 1) · (x ϩ 1) xϪ1
b) Cociente ϭ 2x4 ϩ 6x3 ϩ 17x2 ϩ 51x ϩ 155
Resto ϭ 464
(2x5 Ϫ x3 ϩ 2x Ϫ 1) ϭ x Ϫ 1 2x2 Ϫ 5x Ϫ 3
ϭ (2x4 ϩ 6x3 ϩ 17x2 ϩ 51x ϩ 155) · (x Ϫ 3) ϩ 464
11. 2x ϩ 1
·
x2 Ϫ 1
ϭ
(x Ϫ 1) · (2x ϩ 1) · (x Ϫ 3) xϪ3
ϭ ϭ
6. a) Raı´ces: x ϭ Ϫ1 x ϭ 2 x ϭ Ϫ3 (2x ϩ 1) · (x ϩ 1) · (x Ϫ 1) xϩ1
x3 ϩ 2x2 Ϫ 5x Ϫ 6 ϭ (x ϩ 1) · (x Ϫ 2) · (x ϩ 3)
b) Raı´ces: x ϭ Ϫ 1 doble x ϭ 3 xϩ2ϩx Ϫ2
x Ϫ2 xϩ2
x Ϫ x2 Ϫ 5x Ϫ 3 ϭ (x ϩ 1)2 · (x Ϫ 3)
΂ ΃
3
x
12. 1ϩ
x ϩ2
: 2
x Ϫ4
ϭ
x
ϭ
c) Raı´ces: x ϭ 1 doble x ϭ Ϫ2 doble
x4 ϩ 2x3 Ϫ 3x2 Ϫ 4x ϩ 4 ϭ (x Ϫ 1)2 · (x ϩ 2)2 (x ϩ 2) · (x Ϫ 2)
2x · (x ϩ 2) · (x Ϫ 2)
ϭ ϭ 2x Ϫ 4
2x2 Ϫ 7x ϩ 3 (2x Ϫ 1) · (x Ϫ 3) x · (x ϩ 2)
7. a)
3x2 Ϫ 4x Ϫ 15
ϭ
(3x ϩ 5) · (x Ϫ 3)
ϭ
ϭ
2x Ϫ 1 13. a) El valor numerico se obtiene sustituyendo la
´
3x ϩ 5 indeterminada por Ϫ2. Por tanto:
3x3 Ϫ 6x2 ϩ 3x 3x · (x Ϫ 1)2 p(Ϫ2) ϭ
b) ϭ ϭ ϭ 2 · (Ϫ2)4 Ϫ 3 · (Ϫ2)3 ϩ 4 · (Ϫ2)2 Ϫ
2x ϩ 2x Ϫ 10x ϩ 6
3 2
(2x ϩ 6) · (x Ϫ 1)2
Ϫ 2k · (Ϫ2) ϩ 4 ϭ 32 ϩ 24 ϩ 16 ϩ 4k ϩ 4 ϭ
3x
ϭ ϭ 76 ϩ 4k
2x ϩ 6
b) Para que el polinomio dado sea divisible por
4x3 ϩ 3x2 Ϫ 25x ϩ 6
c) ϭ x ϩ 2 debe verificarse que su valor numerico
´
x4 ϩ x3 Ϫ 7x2 Ϫ x ϩ 6 para x ϭ Ϫ2 sea nulo. Por tanto:
(4x Ϫ 1) · (x Ϫ 2) · (x ϩ 3) 4x Ϫ 1
ϭ 2 ϭ 2 76
(x Ϫ 1) · (x Ϫ 2) · (x ϩ 3) x Ϫ1 76 ϩ 4k ϭ 0 k ϭϪ ϭ Ϫ19
4
Actividades de refuerzo Algoritmo Matematicas I – 1.o Bachillerato
´