El documento habla sobre conceptos de cálculo como máximos y mínimos relativos, puntos críticos, derivadas de primer y segundo orden, concavidad, puntos de inflexión y extremos absolutos. Explica cómo usar la derivada primera y segunda para determinar estos conceptos clave y encontrar máximos y mínimos en funciones. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos.

1. Escuela de Turismo y Gastronomía Aplicaciones de la derivada

2. Máximos y mínimos relativos

3. Máximo relativo El punto (𝑥1,𝑓(𝑥1)) es un punto máximo relativo para la función 𝑓, si hay un intervalo alrededor de 𝑥1en el cual 𝑓(𝑥1)≥𝑓(𝑥) para todos los 𝑥 en el intervalo. En este caso decimos que el máximo relativo se alcanza en 𝑥=𝑥1 y el máximo relativo es 𝑓(𝑥1)

4. Mínimo relativo El punto (𝑥2,𝑓(𝑥2)) es un punto mínimo relativo para la función 𝑓, si hay un intervalo alrededor de 𝑥2en el cual 𝑓(𝑥1)≤𝑓(𝑥) para todos los 𝑥 en el intervalo. En este caso decimos que el mínimo relativo se alcanza en 𝑥=𝑥2 y el mínimo relativo es 𝑓(𝑥2)

5. Ejemplos Determinar los posibles puntos mínimos o máximos relativos de la función −𝑥2 Determinar los posibles puntos mínimos o máximos relativos de la función 𝑥2

6. Funciones crecientes y decrecientes Si 𝑓 es una función diferenciable en el intervalo (𝑎,𝑏), entonces: Si 𝑓’𝑥>0 ∀𝑥∈(𝑎,𝑏) , 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑎,𝑏 Si 𝑓’𝑥<0 ∀𝑥∈(𝑎,𝑏) , 𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (𝑎,𝑏) Diagrama de signos

7. Ejemplos Generar el diagrama de signos para la función −𝑥2 Generar el diagrama de signos para la función 𝑥2

8. Para determinar si un punto de giro de una función es un punto máximo o un punto mínimo, a menudo es útil saber qué hace la gráfica de la función en intervalos a ambos lados del giro. Por tanto, una función es creciente si los valores de la función aumentan a medida que aumenta x, y en caso contrario se dirá decreciente.

9. La derivada 𝑓’(𝑥) puede cambiar de signo sólo con valores de 𝑥, donde 𝑓’(𝑥) =0. Estos valores de 𝑥 se conocen como valores críticos. El punto que corresponde al valor crítico de 𝑥 es un punto crítico.

10. Entonces… Si 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥=𝑥0, entonces 𝑓′𝑥0=0 𝑜 𝑓′𝑥0 no está definida Si 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥=𝑥0, entonces 𝑓′𝑥0=0 𝑜 𝑓′𝑥0 no está definida

11. Prueba de la primera derivada.Para encontrar los máximos y mínimos relativos de una función Encuentre la primera derivada de la función Iguale la derivada a cero (0) y despeje los valores de 𝑥 que satisfacen 𝑓’(𝑥)=0 Sustituya los valores críticos en la función original para encontrar los puntos críticos Evalúe 𝑓’(𝑥) en algunos valores de 𝑥 a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico para construir un diagrama de signos Use la información del diagrama de signos y puntos seleccionados para hacer la gráfica

12. Ejercicio Para la función 𝑓𝑥=14𝑥4−13𝑥3−3𝑥2+8 Encontrar los máximos y mínimos relativos Dibujar la gráfica de la función

13. Concavidad: Puntos de inflexión Se dice que una curva es cóncava hacia arriba en un intervalo (𝑎,𝑏) si en cada punto del intervalo, la curva está sobre su tangente. Si la curva está debajo de todas sus tangentes es un intervalo dado, es cóncava hacia abajo en el intervalo.

14. De manera general… Si la primera y segunda derivada de una función 𝑓 existe: Si 𝑓’’(𝑥)>0 en un intervalo, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba Si 𝑓’’(𝑥)<0 en un intervalo, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo

15. Puntos de inflexión Un punto 𝑥0,𝑦0 de la gráfica de una función 𝑓 recibe el nombre punto de inflexión, si la curva es cóncava hacia arriba en un lado y cóncava hacia abajo en el otro o viceversa.

16. Procedimiento para localizar puntos de inflexión y concavidad Encuentre la segunda derivada de la función Iguale la segunda derivada a cero (0) y despeje x Encuentre los puntos de inflexión potenciales Si la segunda derivada tiene signos opuestos en los dos lados de uno de estos valores de x, ocurre un punto de inflexión

17. Ejercicio Encontrar el punto de inflexión para a ecuación 𝑓𝑥=𝑥3−4𝑥2+3

18. Prueba de la segunda derivada Encuentre los valores críticos de la función Sustituya los valores críticos de 𝑓(𝑥) para encontrar los puntos críticos Evalúe 𝑓’’(𝑥) en cada valor crítico para el cual 𝑓’(𝑥)=0 Si 𝑓’’(𝑥0)<0, hay un máximo relativo en 𝑥0 Si 𝑓’’𝑥0>0, hay un mínimo relativo en 𝑥0

19. Ejercicio Para la función 𝑓𝑥=13𝑥3−𝑥2−3𝑥+2 Encontrar los máximos y mínimos relativos Graficar la función

20. Extremos absolutos El valor de 𝑓(𝑎) es un máximo absoluto de 𝑓, si 𝑓𝑎≥𝑓(𝑥) para todas las 𝑥 del dominio de 𝑓 (o un intervalo de interés) El valor de 𝑓(𝑎) es un mínimo absoluto de 𝑓, si 𝑓𝑎≤𝑓(𝑥) para todas las 𝑥 del dominio de 𝑓 (o un intervalo de interés)

21. Maximización del ingreso