Twice integration by parts Integración por partes, dos veces consecutivas

1. Integración por partes
G. Edgar Mata Ortiz
La mayor parte de los problemas de integración no pueden
resolverse mediante las fórmulas usuales, casi siempre es
necesario recurrir a alguno de los muchos métodos y técnicas
de integración.
Como parte del conocimiento de estos métodos contamos con
una presentación en la que se explica, paso a paso, el
procedimiento para integrar por partes.
En dicho material se incluye una detallada explicación de la
forma en que se identifican los componentes de la fórmula y
cómo se aplican.
Enlace a la presentación:
http://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/methods-of-integration-2-integration-by.html
Es conveniente revisar la presentación para lograr una mejor comprensión del procedimiento. Se resuelve el
ejemplo:
∫ 𝑥𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
Podemos observar que no es posible completar el diferencial para resolverlo
mediante la fórmula número siete del formulario de matemáticas básicas que se
encuentra en el enlace:
https://licmata-formulae.blogspot.com/2020/01/formulario-de-matematicas-
2020.html
En vez de dicha fórmula se emplea la integración por partes como se explica en
la presentación.
Integración por partes, página 340, ejemplo 3, libro Cálculo Diferencial e Integral de Taylor.
En ocasiones es necesario llevar a cabo la integración por partes en dos o más ocasiones, como lo muestra el
ejemplo siguiente:
∫ 𝒙 𝟐
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 =
En primer lugar consideramos que la fórmula directa identificada con el número 7 en el formulario de
matemáticas básicas no puede ser empleada, ya que el diferencial debería ser solamente 𝑑𝑥, y sobra la 𝒙 𝟐
.
Fórmula 7: ∫ 𝑒 𝑣
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑣
+ 𝐶
Como ya se mencionó antes, cuando no es posible emplear las fórmulas directas, es necesario aplicar métodos
y técnicas de integración, como en este caso; integración por partes.

2. ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢
Tal como se explicó en la presentación que se encuentra en el siguiente enlace:
http://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/methods-of-integration-2-integration-by.html
En este método de integración interviene dos variables; 𝒖 y 𝒗. La primera de ellas la leemos directamente del
integrando, y la segunda debe obtenerse mediante la integración de su diferencial, como se muestra a
continuación.
∫ 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
Después de identificar 𝒖 y 𝒅𝒗, vamos a obtener el 𝒅𝒖 y la 𝒗.
∫ 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥2
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
Ahora vamos a sustituir en la fórmula de integración por partes:
∫ 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
∙ 𝑒 𝑥
− ∫ 𝑒 𝑥
∙ 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
Podemos observar que, en este
paso del procedimiento solamente
se han identificado los
componentes de la fórmula
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢
Después de identificar los
componentes de la fórmula,
obtenemos el diferencial de 𝑢, y la
variable 𝑣.

3. Después de sustituir es necesario realizar algunos ajustes a la forma en la que está escrito el resultado:
∫ 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
∙ 𝑒 𝑥
− ∫ 𝑒 𝑥
∙ 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
Para resolver la integral que falta es necesario volver a aplicar integración por partes.
∫ 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
∙ 𝑒 𝑥
− ∫ 𝑒 𝑥
∙ 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
𝑢 = 𝑥
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
= 𝑥2
𝑒 𝑥
− 2 ∫ 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
Se coloca una línea punteada para separar la
“preparación” del procedimiento, de la
aplicación de la fórmula.
Se omiten los puntos que indican
multiplicación ya que no son necesarios, el
dos se saca del signo de integración y queda
por resolver una integral
= 𝑥2
𝑒 𝑥
− 2 ∫ 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
Prolongamos la línea punteada
para efectuar el procedimiento
de obtención del nuevo
diferencial de 𝑢, y la nueva
variable 𝑣.
Se utilizan colores diferentes
para identificar más fácilmente
las nuevas variables

4. Vamos a sustituir las nuevas variables en la fórmula de integración por partes.
∫ 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
∙ 𝑒 𝑥
− ∫ 𝑒 𝑥
∙ 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
𝑢 = 𝑥
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
= 𝑥2
𝑒 𝑥
− 2 ∫ 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑒 𝑥
− 2 [𝑥 ∙ 𝑒 𝑥
− ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥]
Dentro del paréntesis rectangular se encuentra el
procedimiento de sustitución en la fórmula de
integración por partes.
En esta ocasión se obtuvo una integral que sí
puede ser resuelta directamente mediante la
fórmula de integración número 7.

5. Solamente falta resolver la integral directa, después multiplicar cada término por el dos que se encuentra fuera
del paréntesis rectangular y finalmente simplificar el resultado.
∫ 𝑥2
𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
∙ 𝑒 𝑥
− ∫ 𝑒 𝑥
∙ 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
𝑢 = 𝑥
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
= 𝑥2
𝑒 𝑥
− 2 ∫ 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑒 𝑥
− 2[ 𝑥𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥] + 𝐶
= 𝑥2
𝑒 𝑥
− 2𝑥𝑒 𝑥
+ 2𝑒 𝑥
+ 𝐶
= 𝒆 𝒙
(𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟐) + 𝑪
Nótese que la constante de
integración aparece en el
momento en el que ya no
se encuentran signos de
integración.
Se anota en color negro el resultado final.
Después de integrar directamente con la fórmula 7, se multiplica por el dos
que está fuera del paréntesis rectangular y, finalmente, se obtiene factor
común (𝑒 𝑥
).