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1. INGIENERIA INDUSTRIAL
MATEMATICA II
TEMA: INTEGRALES
PROFESOR: WILMER CHAVEZ SANCHEZ
INTEGRANTES:
PARIONA CERVANTES JUAN CARLOS
RODRIGUEZ NAVARRETE WALTER GABRIEL
2012

2. INTEGRALES APLICADOS AL DOBLAMIENTO DE
MATERIALES
INTRODUCCION:
El primer uso de las integrales data del antiguo Egipto (1800 a. c.) para el cálculo de
volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado
desde entonces por numerosos científicos entre los que destacaron Arquímedes, Fermat
y Barrow. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del
siglo XVII (1665) gracias a la elaboración del “Teorema del Cálculo” de mano de dos
brillantes matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Este hallazgo no fue
cooperativo, sino individual, hecho que género vigorosas disputas por la autoría del
mismo.
Finalmente Cauchy, Riemann y Lebesgue formalizaron el sistema actual de cálculo de
integrales empleando el uso de límites.
Básicamente los cálculos integrales se usan cotidianamente en el:
• Cálculo de áreas
• Cálculo de longitudes de curvas
• Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

3. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.
Básicamente la integral surge para poder calcular áreas y volúmenes, con regiones
desiguales o situaciones cambiantes.
Como se puede apreciar las matemáticas han ido avanzando con el transcurso del tiempo
y cada día surgen nuevas innovaciones y tecnologías ante cualquier problemática.
Sin embargo la integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos de los cálculos y del análisis matemático.
En nuestro trabajo se presentan muchas situaciones y problemas la cual podemos resolver
con integrales, a continuacion vamos a ver como la podemos resolver:
SEW EURODRIVE
Empresa trasnacional, líder mundial en la tecnología de los accionamientos, presente en
más de 70 países SEW cuenta con de más de 8500 trabajadores a nivel mundial dispuestos
a ofrecer la mejor solución a todas sus necesidades de accionamientos.
Los reductores y motores SEW EURODRIVE, siempre han marcado la pauta y establecido el
standard en la tecnología de los accionamientos. La completa gama de motorreductores
SEW ofrece a cada usuario el accionamiento adecuado para su aplicación concrete. El
sistema modular de SEW, con millones de posibilidades de montaje diferentes, permite
siempre realizar aquella combinación que mejor se adapte a las necesidades de su
aplicación concreta.
“La gente no solo necesita productos, necesita soluciones”, SEW desarrolla y fabrica no
solo motorreductores, sino también los equipos electrónicos para su control de velocidad,
posicionamiento y/o secuencia, todos estos adaptados a las necesidades de nuestros
clientes. Solo equipo electrónico que encajan perfectamente con el accionamiento
pueden asegurar un funcionamiento óptimo de los equipos. En consecuencia, los
investigadores, ingenieros de diseño y planificadores de sistemas y proyectos de SEW
obtienen soluciones de accionamiento y el control eficiente tanto de procedimientos
individuales como de procesos completos.

4. Sin la tecnología de accionamientos SEW EURODRIVE muchas cosas se pararían en el
mundo: techos móviles de grandes estadios, cintas de equipajes en aeropuertos, escaleras
mecánicas de grandes almacenes y edificios públicos… Apenas hay alguna industria en el
mundo que no utilice las complejas y completas soluciones de la tecnología de
accionamiento. Los accionamientos SEW EURODRIVE están presentes allí donde hay
movimiento: máquinas de refrescos, modernas líneas de montaje para la fabricación de
automóviles, fajas de transportación de mineral, sistemas de molienda en la industria
minera , sistemas de prensado en la industria pesquera, sistemas de agitación en la
industria y muchas otras áreas de aplicación.
VISION:
Ser líder en el mercado nacional con creciente y activa presencia en el mercado exterior,
soportado por una organización moderna y altamente calificada, integrado en toda la
cadena de valor y ubicado entre los más rentables de la región.
MISION:
La misión es ofrecer al mercado soluciones, mejorando de forma permanente el servicio a
nuestros clientes, la calidad de nuestros productos y la eficiencia de los procesos.
En seguida vamos a mostrar, tipos y modelos de motorreductores y variadores de
frecuencia:
Modelo R: Modelo F:
Modelo S:
Modelo K:

5. Reductores de gran potencia:
Variadores de Frecuencia:

6. Estos son algunos de los tantos equipos que fabrica SEW EURODRIVE, para solucionar los
problemas que tienen las diferentes empresas a nivel mundial.
En la empresa para poder ensamblar los diferentes equipos, por los mismos que la
estructura, es pesada necesitamos de grúas puentes para el izaje de la carga, en nuestra
instalaciones contamos con 2 grúas puentes de 5 TN y 10 TN, la cual están instaladas en
vigas de tipo I, facilitando el traslado del carro transversal de la grúa, como se muestra en
la siguiente imagen:
Una viga está pensada para soportar no sólo presión y peso, sino también flexión y tensión,
según cuál finalidad predomine será el concepto de viga para ingeniería o arquitectura, que
predomine. En principio, es importante definir que en la teoría de vigas se contempla

7. aquello que es denominado ‘resistencia de los materiales’. Así, es posible calcular la
resistencia del material con que está hecha la viga, y además analizar la tensión de una viga,
sus desplazamientos y el esfuerzo que puede soportar. A lo largo de la historia de la
construcción se han utilizado vigas para innumerables fines y de diferentes materiales. El
material por antonomasia en la elaboración de vigas ha sido la madera dado que puede
soportar todo tipo de tracción, incluso hasta esfuerzos muy intensos sin sufrir demasiadas
alteraciones, y como no ocurre con otros materiales, como cerámico o ladrillos próximos a
quebrarse ante determinadas presiones qué sí soporta la viga de madera.
Pero estas Vigas Tipo I, que soporta el sistema de la grúa, estánsometidas a cargas
transversales que provocan la flexión de las vigas, la que a continuación mencionaremos:
∗ ESFUERZO :
Se define como la intensidad de las fuerzas componentes internas distribuidas que
resisten un cambio en la forma de un cuerpo. El esfuerzo se define en términos de
fuerza por unidad de área. Existen en 3 clases de básicas esfuerzos: tensivo,
compresivo y corte.
El esfuerzo se computa sobre la base de las dimensiones del corte transversal de
una pieza antes de la aplicación de la carga, que usualmente se llaman
dimensiones originales.
∗ DEFORMACION:
Se define al cambio de la forma de un cuerpo, el cual se debe al esfuerzo, al
cambio térmico al cambio de humedad o a otras causas. En conjunción con el
esfuerzo directo, la deformación se supone como un cambio lineal y se mide en
unidades de longitud. En los ensayos la torsión se acostumbra medir la
deformación como un Angulo de torsión entre dos secciones especificadas.
∗ ELASTICIDAD:
Es aquella propiedad que tiene un material por virtud de la cual las deformaciones
causadas por el esfuerzo desaparecen al removérsele. Un cuerpo perfectamente
elástico se concibe como uno que recobra completamente su forma y sus
dimensiones originales al retirarse el esfuerzo.

8. Pero estas vigas tienen un límite de rango elástico, porque muchos metales
dúctiles, tienen un esfuerzo uniaxial de tracción pequeño la cual lleva aparejado un
comportamiento elástico. Eso significa que pequeños incrementos en la tensión de
tracción comporta pequeños incrementos en la deformación, si la carga se vuelve
cero de nuevo el cuerpo recupera exactamente su forma original, es decir, se tiene
una deformación completamente reversible. Sin embargo, se ha comprobado
experimentalmente que existe un límite, llamado límite elástico, tal que si cierta
función homogénea de las tensiones supera dicho límite entonces al desaparecerla
carga quedan deformaciones remanentes y el cuerpo no vuelve exactamente a su
forma. Es decir, aparecen deformaciones no-reversibles.
CALCULO DE VOLUMEN, MASA
Hallando volumen de viga
V= Volumen
L= Longitud
V = 136.4 cm2
x 600 cm
V = 81840 cm3
Hallando la masa
M= Masa
V= Volumen
D= Densidad
M = v x d
M = 81.840 dm3 x 7.85 Kg/dm3
M = 642.44 Kg
DEFORMACION

9. δ = Deformación
F = fuerza
L = Longitud
A = área
E = índice de elasticidad.
Se quiere hallar la deformación de una viga I de W 12 X 72(pulg x (lib/pie2
) para un puente grúa de 10
toneladas, la viga tiene 6 metros de largo.

10. Hallando la deformación
MODULO DE YOUNG:
Es el módulo de elasticidad longitudinal, es un parámetro que caracteriza el
comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una
fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés
Thomas Young.
Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo
valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante
independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo
denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una
barra, aumenta de longitud.
Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos
materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el
límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del
material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el
módulo de elasticidad transversal de un material.
Módulo de elasticidad transversal:
El módulo de elasticidad transversal, módulo de cortante o módulo de cizalla, para
la mayoría de los materiales, en concreto los materiales isótropos guarda una

11. relación fija con el módulo de elasticidad longitudinal y el coeficiente de Poisson:
G =
Dónde:
E = es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young.
v = es el coeficiente de Poisson.
A continuacion presentamos la tabla de modulo transversal de algunos materiales.
Material
Kg/cm2
Acero templado 2200000 A 2500000
Acero sin templar 2000000 A 2200000
hierro homogéneo 1800000 A 2000000
Bronce 1150000
Cobre 900000 A 1050000
Fundición gris 1700000
Como la viga que soporta la grua de 10 TN,es fabricada con acero estructural A 36,
denominación establecida por la ASTM ( AmericanSocietyforTesting and Materials), la cual
tiene las siguientes propiedades:
El acero A36, tiene una densidad de 7860 kg/m³ (0.28 lb/in³). El acero en planchas y
perfiles estructurales con espesores menores de 8 plg (203,2 mm) tiene un límite de

12. fluencia mínimo de 250 MPA (36 ksi), y un límite de rotura mínimo de 410 MPa (58 ksi).
Las planchas con espesores mayores de 8 plg (203,2 mm) tienen un límite de fluencia
mínimo de 220 MPA (32 ksi), y el mismo límite de rotura pero de todos modos se rompe.
La viga tipo I de 12” x 6 m de largo donde se encuentra suspendida la grúa de 10 TN, al
levantar una carga tiene una flexión en el centro de 0.02 m, formando una parábola,
mediante integrales hallaremos el área de deformación que tiene la viga.
Primero hallaremos nuestra función con la fórmula:
Y = ax² + bx + c

13. Tenemos nuestro vértice (V) y nuestro punto (P):
V (0,-0.02) y P (3,0)
Reemplazando:
V (0,-0.02) P (3,0)
Y = ax² + bx + c Y = ax² + bx + c
-0.02 = a(0)² + b(0) + c 0 = a(3)² + b(3) + (-2)
-0.02 = 0 + 0 + c 0 = 9 a + 3 b –0.02
C = -0.02 9 a + 3 b = 0.02 (I)
Considerando la fórmula:
X =
0 =
2a (0) = -b
0 = -b
b = 0
Sustituyendo en I:
9a + 3b = 0.02
9a + 3 (0) = 0.02
9a + 0 = 0.02

14. 9a = 0.02
a =
a =
Luego tenemos los valores de a, b y c:
Y = ax² + bx + c
a = , b = 0 , c = -0.02
Ahora reemplazamos los valores:
Y = x² + (0)x + (-0.02)
Y = x² + 0 – 0.02
Y = - 0.02
Y =
Y =

15. Ahora tenemos las 2 funciones para hallar el área:
Y = ; y = 0
= 0
x² - 9 = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
X + 3 = 0 v x – 3 = 0
X = -3 v x = 3
X (-3 , 3)ϵ
Para comprobar el vértice tenemos:
Y =
a = ; b = 0; c =
F(0) =
V (0 , -0.02)
Hallando el área:

16. - 0
As = -0.16m²
Nuestro área total será: At = -0.16 m² x 2
At = -0.32 m²