Incrementos en las variables de una función

2. INCREMENTOS Y TASAS
El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad, cuando
ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.
DEFINICIÓN
Sea 𝒙 una variable con un primer valor 𝒙 𝟏 y un segundo valor 𝒙 𝟐. Entonces, el
cambio en el valor de 𝒙, que es 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏, se denomina el incremento de 𝒙 y se denota
por ∆𝒙.
∆𝒙 denota el cambio de la variable 𝒙, estos es: ∆𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏.
∆𝒑 indica el cambio de la variable 𝒑, estos es: ∆𝒑 = 𝒑 𝟐 − 𝒑 𝟏.
∆𝒒 denota el cambio de la variable 𝒒, estos es: ∆𝒒 = 𝒒 𝟐 − 𝒒 𝟏.

3. INCREMENTOS Y TASAS
Sea 𝒚 una variable que depende de 𝒙 tal que 𝒚 = 𝒇(𝒙) está definida para todo valor
de 𝒙 entre 𝒙 𝟏 y 𝒙 𝟐. Cuando 𝒙 = 𝒙 𝟏, 𝒚 tiene el valor 𝒚 𝟏 = 𝒇(𝒙 𝟏). De manera similar,
cuando 𝒙 = 𝒙 𝟐, 𝒚 tiene el valor 𝒚 𝟐 = 𝒇(𝒙 𝟐). Así, el incremento de 𝒚 es
∆𝒚 = 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏
∆𝒚 = 𝒇(𝒙 𝟐) − 𝒇(𝒙 𝟏)

4. INCREMENTOS Y TASAS
TALLER
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio
por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen de
venta q (en litros por día) está dado por
𝒒 = 𝟓𝟎𝟎(𝟏𝟓𝟎 − 𝒑)
Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en
el precio de 120¢ a 130¢ por litro.

5. INCREMENTOS Y TASAS
Solución
En la situación planteada, p es la variable independiente y q la función de p. El
primer valor de p es 𝒑 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 y el segundo valor es 𝒑 𝟐 = 𝟏𝟑𝟎. El incremento de p
es
∆𝒑 = 𝒑 𝟐 − 𝒑 𝟏 = 𝟏𝟑𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟎
Los valores correspondientes de q son los siguientes:
𝒒 𝟏 = 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 − 𝒑 𝟏 = 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒒 𝟐 = 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 − 𝒑 𝟐 = 𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟑𝟎 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎
En consecuencia, el incremento de q está dado por
∆𝒒 = 𝒒 𝟐 − 𝒒 𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎 = −𝟓, 𝟎𝟎𝟎
El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea negativo significa
que q en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5000 litros por día si el
precio se incrementa de 120 a 130 centavos.

6. INCREMENTOS Y TASAS
Dada 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐, calcule ∆𝒚 si 𝒙 = 𝟏 y ∆𝒙 = 𝟎. 𝟐.
TALLER
Solución
Sustituyendo los valores de x y ∆𝒙 en la fórmula de ∆𝒚 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒚 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝟏 + 𝟎. 𝟐 − 𝒇 𝟏 = 𝒇 𝟏. 𝟐 − 𝒇 𝟏 = 𝟏. 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟒 − 𝟏
∆𝒚 = 𝟎. 𝟒𝟒
Así que, un cambio de 0.2 en el valor de x da como resultado un cambio en y de
0.44.

7. INCREMENTOS Y TASAS
DEFINICIÓN
La tasa de cambio promedio de una función 𝒇 sobre un intervalo de 𝒙 a 𝒙 + ∆𝒙 se
define por la razón
∆𝒚
∆𝒙
. Por tanto, la tasa de cambio promedio de 𝒚 con respecto a 𝒙
es
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙

8. INCREMENTOS Y TASAS
TALLER
(Costo, ingresos y utilidades) Un fabricante de productos químicos advierte que el
costo por semana de producir 𝒙 toneladas de cierto fertilizante está dado por 𝑪 𝒙 =
𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝒙 dólares y el ingreso obtenido por la venta de 𝒙 toneladas está dado
por 𝑹 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟎, 𝟎𝟏𝒙 𝟐. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por
semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por
semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad.
Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra
producidas.

9. INCREMENTOS Y TASAS
Solución
El primer valor de la variable es 𝒙 = 𝟑𝟏𝟎𝟎 y 𝒙 + ∆𝒙 = 𝟑𝟐𝟎𝟎, luego ∆𝑪 es
∆𝑪 = 𝑪 𝒙 + ∆𝒙 − 𝑪 𝒙 = 𝑪 𝟑𝟐𝟎𝟎 − 𝑪(𝟑𝟏𝟎𝟎)
El primer valor de la variable es 𝒙 = 𝟑𝟏𝟎𝟎 y 𝒙 + ∆𝒙 = 𝟑𝟐𝟎𝟎, luego ∆𝑹 es
∆𝑹 = 𝑹 𝒙 + ∆𝒙 − 𝑹 𝒙 = 𝑹 𝟑𝟐𝟎𝟎 − 𝑹(𝟑𝟏𝟎𝟎)
∆𝑹 = 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟐𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏 𝟑𝟐𝟎𝟎 𝟐
− 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟏𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏 𝟑𝟏𝟎𝟎 𝟐
De modo que los costos se incrementan en $4000 con el incremento dado en la
producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3700.
A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300.
Podemos advertir esto con más detalle si consideramos que las utilidades obtenidas
por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos.
∆𝑪 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎(𝟑𝟐𝟎𝟎) − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎 𝟑𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎
∆𝑪 = 𝟒𝟎𝟎𝟎
∆𝑹 = 𝟐𝟏𝟕𝟔𝟎𝟎 − 𝟐𝟏𝟑𝟗𝟎𝟎 = 𝟑𝟕𝟎𝟎

10. INCREMENTOS Y TASAS
Continuación
de modo que la utilidad, U(x) por la venta de x toneladas de fertilizante es
𝑼 𝒙 = 𝑹 𝒙 − 𝑪 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙 𝟐 − 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝒙
En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3100 a 3200 es
∆𝑼 = 𝑼 𝒙 + ∆𝒙 − 𝑼 𝒙 = 𝑼 𝟑𝟐𝟎𝟎 − 𝑼(𝟑𝟏𝟎𝟎)
∆𝑼 = 𝟔𝟎(𝟑𝟐𝟎𝟎) − 𝟎. 𝟎𝟏 𝟑𝟐𝟎𝟎 𝟐
− 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟔𝟎 𝟑𝟏𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏 𝟑𝟏𝟎𝟎 𝟐
− 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la utilidad
por tonelada extra es
𝑼 𝒙 = 𝟔𝟎𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙 𝟐 − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
∆𝑼 = 𝟔𝟗𝟔𝟎𝟎 − 𝟔𝟗𝟗𝟎𝟎 = −𝟑𝟎𝟎
∆𝑼
∆𝒙
=
−𝟑𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= −𝟑
De modo que la utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada con el
incremento dado en la producción.

11. INCREMENTOS Y TASAS
TALLER
Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le permite caer
libremente bajo la fuerza de gravedad, la distancia s (en pies) recorrida en el
tiempo t (en segundos) está dada por
𝒔(𝒕) = 𝟏𝟔𝒕 𝟐
Determine la velocidad promedio del objeto durante los siguientes intervalos de
tiempo:
a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos.
b) El cuarto segundo (de t = 3 a t = 4 segundos).
c) El intervalo de tiempo entre los instantes 𝟑 y 𝟑
𝟏
𝟐
segundos.
d) El lapso de 𝒕 a 𝒕 + ∆𝒕.

12. INCREMENTOS Y TASAS

13. INCREMENTOS Y TASAS

14. INCREMENTOS Y TASAS