Sumas de Riemman 2019
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- 2. SUMA DE RIEMANN Nació en Breselenz, una aldea cercana a Dannenberg en el reino de Hannover, actualmente parte de Alemania. Fue un matemático que realizó contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann. Los escritos de Riemann de 1854 llegaron a ser un clásico en las matemáticas y estos resultados se incorporaron a la teoría de la relatividad y gravitación de Einstein. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
- 3. SUMA DE RIEMANN La suma 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑 + ⋯ + 𝒂 𝒏 se representa con el símbolo sigma ∑, de la siguiente forma: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒂𝒊 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑 + ⋯ + 𝒂 𝒏 TALLER Determina: 𝒊=𝟏 𝟕 𝒊 𝒊=𝟏 𝟔 𝒊 𝟐 𝒊=𝟑 𝟏𝟎 (𝟑𝒊 + 𝟏)
- 4. SUMA DE RIEMANN Propiedades: 𝒊=𝒂 𝒏 𝒌 = 𝒏 − 𝒂 + 𝟏 𝒌 𝒊=𝒂 𝒏 𝒇 𝒊 + 𝒈(𝒊) = 𝒊=𝒂 𝒏 𝒇 𝒊 + 𝒊=𝒂 𝒏 𝒈(𝒊) 𝒊=𝒂 𝒏 𝒄𝒇(𝒊) = 𝒄 𝒊=𝒂 𝒏 𝒇(𝒊) 𝒊=𝒂 𝒏 𝒇 𝒊 − 𝒇(𝒊 − 𝟏) = 𝒇 𝒏 − 𝒇(𝟎) 1. 2. 3. 4.
- 6. SUMA DE RIEMANN Sea 𝒇(𝒙) una función definida en el intervalo 𝒂, 𝒃 el área 𝑨 bajo la gráfica de 𝒇(𝒙) en el intervalo dado, se obtiene realizando estimaciones con rectángulos inscritos o circunscritos como se ilustra a continuación.
- 7. SUMA DE RIEMANN 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒇 𝒂 + 𝒊 − 𝟏 ∆𝒙 Donde: ∆𝒙 = 𝒃−𝒂 𝒏
- 8. SUMA DE RIEMANN 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒇 𝒂 + 𝒊∆𝒙 Donde: ∆𝒙 = 𝒃−𝒂 𝒏
- 9. SUMA DE RIEMANN Propiedades: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒌 = 𝒌𝒏 𝒊=𝒂 𝒏 𝒊 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 = 𝒏 𝟐 + 𝒏 𝟐 𝒊=𝒂 𝒏 𝒊 𝟐 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟔 = 𝟐𝒏 𝟑 + 𝟑𝒏 𝟐 + 𝒏 𝟔 𝒊=𝒂 𝒏 𝒊 𝟑 = 𝒏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝟒 = 𝒏 𝟒 + 𝟐𝒏 𝟑 + 𝒏 𝟐 𝟒 1. 2. 3. 4. 𝒊=𝒂 𝒏 𝒊 𝟒 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟑𝒏 𝟐 + 𝟑𝒏 − 𝟏 𝟑𝟎 = 𝟔𝒏 𝟓 + 𝟏𝟓𝒏 𝟒 + 𝟏𝟎𝒏 𝟑 − 𝒏 𝟑𝟎5.
- 10. TALLER Encuentra el área limitada por la curva 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟐 y el eje x en el intervalo [1, 4]. Utiliza sumas superiores. 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒇 𝒂 + 𝒊∆𝒙 Donde: ∆𝒙 = 𝒃−𝒂 𝒏
- 11. TALLER Aplica sumas inferiores para encontrar el área limitada por la curva 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟏 y el eje x en el intervalo [1, 4]. 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒇 𝒂 + 𝒊 − 𝟏 ∆𝒙 Donde: ∆𝒙 = 𝒃−𝒂 𝒏
- 12. TALLER Determina el área limitada por la recta 𝒇 𝒙 = −𝒙 + 𝟏 y el eje x, mediante sumas superiores en el intervalo [-2,3]. 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒇 𝒂 + 𝒊∆𝒙 Donde: ∆𝒙 = 𝒃−𝒂 𝒏