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Cómo calcular la dimensión óptima de un prisma hexagonal para maximizar su volumen
- 1. SHS 0011 Optimización Volumen Prisma Hexagonal 1 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 C. G. J. B. 1102
- 2. Problema 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • ¿Cuál es la dimensión requerida para que un prisma hexagonal, con área superficial de 389.71 cm2, tenga un volumen máximo? • Primero se define la figura y ciertas características de esta. Que permitirán resolver el problema. Si se divide un hexágono cualquiera en seis triángulos, cada uno formado por el centro y dos vértices consecutivos, estos triángulos tendrán la misma área y las mismas dimensiones, es decir que todos sus lados son iguales.
- 3. Proceso y metodología 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011
- 4. Apotema 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Para resolver el problema es necesario encontrar el apotema de cada uno de los triángulos del hexágono usando el teorema de Pitágoras. 푥2 = 푎2 + 푥 2 2 푎2 = 푥2 − 푥 2 2 푎 = 3푥2 4 푎 = 3푥 2
- 5. Área de la base 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Conociendo la apotema en términos de x podemos hallar el área de el hexágono. 퐴 = 푥 × 푎 2 퐴 = 3푥 2 2 푥 × 퐴 = 3푥2 4 퐴 = 6 3푥2 4 퐴 = 3 3푥2 2
- 6. Altura 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Al saber ya el área de la base es posible hallar el valor de la altura, pues la condición de el área superficial se relaciona con el área de la base hexagonal y con la altura del prisma. 퐴푡 = 6 퐴푟푒푐 + 2 퐴ℎ푒푥 퐴푡 = 6푥ℎ + 2 3 3푥2 2 퐴푡 − 3 3푥2 = 6푥ℎ ℎ = 퐴푡−3 3푥2 6푥
- 7. Volumen 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Teniendo definido el valor correspondiente al área de la base y la altura en términos de x es posible encontrar una ecuación que relacione el volumen y el lado de la base. 푉 = 퐴ℎ푒푥 × ℎ 푉 = 3 3푥2 2 × 퐴푡 − 3 3푥2 6푥 푉 = 1 4 × 3푥 × 퐴푡 − 3 3푥2 푉 = 퐴푡 3푥 − 9푥3 4
- 8. Derivar 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Al derivar e igualar a cero, se halla una expresión para el lado de la base en términos del área superficial. 푉 = 퐴푡 3푥 − 9푥3 4 푉 = 퐴푡 3푥 4 − 9 4 푥3 푉′ = 퐴푡 3 4 − 27 4 푥2 = 0 퐴푡 3 4 = 27 4 푥2 푥2 = 퐴푡 3 27 푥2 = 퐴푡 3 9 3 3 푥 = 퐴푡 9 3 푥 = 퐴푡 9 3 4
- 9. Hallar un área superficial dependiendo de el lado de la base 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Para facilitar la construcción del modelo tridimensional, se despeja el área total con el valor de x deseado. En este caso 5 cm 푥 = 퐴푡 3 3 4 퐴푡 = 3 3 4 푥 퐴푡 = 9 3푥2 퐴푡 = 9 3 5 2 퐴푡 = 389.71 푐푚2
- 10. Altura con respecto de x 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Teniendo ya el área total y el valor de x podemos usar la ecuación de la altura para construir el modelo del prisma hexagonal. ℎ = 퐴푡 − 3푥2 6푥 ℎ = 389.71 − 3 × 52 6 × 5 ℎ = 8.6 푐푚
- 11. Altura con respecto de x 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Teniendo ya el área total y el valor de x podemos usar la ecuación de la altura para construir el modelo del prisma hexagonal. De la misma forma encontramos la altura correspondiente a una figura con la misan área superficial pero con diferentes dimensiones y un volumen menor. ℎ = 퐴푡 − 3푥2 6푥 ℎ = 389.71 − 3 × 52 6 × 5 ℎ = 8.6 푐푚 ℎ = 퐴푡 − 3푥2 6푥 ℎ = 389.71 − 3 × 32 6 × 3 ℎ = 19.05
- 12. Comprobar 1 0011 4 2 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • Es posible comprobar los resultados de varias maneras, una de ellas es reemplazando los valores en la ecuación correspondiente al volumen. 푉 = 퐴푡 3푥 − 9푥3 4 푉 = 389.71 × 3 × 5 − 9 × 53 4 푉 = 562.52 푐푚3 푉 = 퐴푡 3푥 − 9푥3 푉 = 389.71 × 3 × 3 − 9 × 33 4 푉 = 445.44 푐푚3
- 13. Comprobar con GeoGebra • Otra forma es con la ayuda de GeoGebra, graficando las funciones y estableciendo los diversos puntos. 1 0011 42 5 0010 1010 1101 0001 0100 1011
- 14. Gracias :D