El documento explica cómo calcular el máximo común divisor (MCD) de monomios y polinomios. Se define el MCD como la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y grado que está contenida en cada uno de los términos. Se describe el procedimiento para encontrar el MCD, el cual incluye hallar el MCD de los coeficientes, identificar las letras comunes con su menor grado, y escribir el resultado. Se proveen ejemplos para ilustrar el proceso.

1. OCTAVO AÑO:
Convertir a números mixtos fracciones
Las fracciones constan de dos números. El número superior llamado numerador. El
número inferior llamado denominador.
numerador
denominador.
Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es igual o más grande que su
denominador. Una fracción propia es una fracción con el numerador más pequeño que
el denominador.
Un número mixto consta de un entero seguido de una fracción propia.
Ejemplo: La fracción impropia 8/5 se puede cambiar al número mixto 1 3/5 dividiendo
el numerador (8) por el denominador (5). Esto da un cociente de 1 y un resto de 3. El
resto se coloca sobre el divisor (5).
Transformar números mixtos en fracciones impropias
Las fracciones constan de dos números. El número superior llamado numerador. El
número inferior llamado denominador.
numerador
denominador.
Una fracción impropia es una fracción que tiene un numerador más grande o igual a su
denominador. Una fracción propia es una fracción con el numerador más pequeño que
el denominador.
Un número mixto consta de un entero seguido de una fracción propia.
Ejemplo: El número mixto 3 3/5, se puede cambiar a una fracción impropia convirtiendo
la porción entera a una fracción con el mismo denominador que tiene la porción
fraccionaria y luego sumando las dos fracciones. En este caso la porción entera (3) se
convierte a 15/5. La suma de las dos fracciones es 15/5 + 3/5 = 18/5.
La conversión entera es:
3 3/5 = 15/5 + 3/5 = 18/5.

2. NOVENO AÑO:
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los
valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al
efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo
de una raya de fracción.
2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que
se presenten de izquierda a derecha.
3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
Ejemplo
Resuelve 2a2
bc3
, cuando a=2, b=3 y c=1
2(2)2
(3)(1)3
= 2(4)(3)(1) = 24
Ejemplo
Evaluar , cuando b=8 y x=2
Ejemplo
Evaluar cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.

3. Ejemplo
Resuelve para x=3.
Ejemplo
Resuelve para x=2 y=3.
Ejemplo
Evaluar cuando w = -4.2 z = 3.6

4. DECIMO AÑO:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Descripción
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se
pueden escribir de la siguiente forma:
ax + b = 0
Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas
ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.
Solución
La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es simpre un
solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por
simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que
la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos
es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución,
sobretodo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.
La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde
n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable
está despejada.
Procedimiento para encontrar la solución
Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos
miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las
propiedades de las operaciones inversas.
 Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número,
se multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a
la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.

5.  Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se
multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n
y se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece
inalterado y la igualdad se mantiene.
 Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer
miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al
segundo miembro.
Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.
 El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =)
porque contiene a la variable.
 El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la
variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros
 El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =)
porque no contiene a la variable.
 El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la
variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros
 Se reducen términos semejantes
2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x
3x = 18
 El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la
variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

6. (3x)/3 = (18)/3
x = 6
Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para
comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente
cada miembro y se verifica la igualdad.
2(6) + 3 = 21 - (6)
12 + 3 = 15
15 = 15
Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.
Un poco más sobre el procedimiento
En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como "lo que
está restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa dividiendo". Es
válido considerar que se puede despejar algún elemento de un miembro y
pasarlo al otro miembro con la operación inversa, pero es necesario
comprender por qué se hace, para evitar errores. En el siguiente ejemplo se
illustra lo comentado aquí.
Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.
El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer miembro. El
término - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del primer
miembro, esto se hace sumando 4 a ambos miembros.
3x - 4 + 4 = x + 2 + 4
Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación queda:
3x = x + 2 + 4
Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el término - 4
del primer miembro se ha convertido en el término + 4 del segundo miembro.
En ese caso podemos decir que "el término que estaba restando ha pasado
sumando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la
ecuación queda:
3x = x + 6

7. El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del segundo
miembro. Esto se hace restando x a los dos miembros.
3x - x = x + 6 - x
Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:

8. PRIMERO BGU:
Graficando tipos de funciones
Objetivos de aprendizaje
 Graficar funciones lineales.
 Graficar funciones cuadráticas.
 Graficar funciones radicales.
Introducción
Cuando la entrada (variable independiente) y la salida (variable dependiente) son
números reales, una función puede representarse en una gráfica de coordenadas. La
entrada se grafíca en el eje x y la salida se grafíca en el eje y.
Funciones lineales
Un primer paso para graficar una función es hacer una tabla de valores. Esta es
particularmente útil cuando no conoces la forma general de la función. Probablemente
ya sabes que una función lineal será una línea recta, pero hagamos la tabla primero
para ver cómo puede ayudarnos.
Cuando hacemos la tabla, es buena idea incluir valores negativos, valores positivos y
cero para asegurarnos de que realmente tienes una función lineal.
Ejemplo
Problema Hacer una tabla de valores para f(x) = 3x + 2.
x f(x) Traza una tabla de dos columnas.
Marca las columnas con x y f(x).
x f(x)
−2
−1
0
1
Escoge varios valores de x y
anótalos en filas separadas en la
columna x.

9. 3 Consejo: Siempre es buena idea
incluir el 0, valores positivos y
valores negativos, si es posible.
x f(x)
−2 −4
−1 −1
0 2
1 5
3 11
Evalúa la función para cada valor
de x y escribe el resultado en la
columna f(x) junto al valor de x
correspondiente.
Cuando x = 0, f(0) = 3(0) + 2 = 2,
f(1) = 3(1) + 2 = 5
f(−1) = 3(−1) + 2 = −3 + 2 = −1,
etc.
Posible
Respuesta
x f(x)
−2 −4
−1 −1
0 2
1 5
3 11
(Observa que tu tabla de valores
podría ser distinta a la de alguien
más, pudiste haber escogido otros
números para x.)
Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para ayudarte a dibujar la forma y
la posición de la función. Importante: La gráfica de la función mostrará todos los
valores posibles de x y sus valores correspondientes de y. Es por eso que es la gráfica
de una recta y no sólo los puntos que están en la tabla.
Ejemplo
Problema Graficar f(x) = 3x + 2.
x f(x)
−2 −4
−1 −1
0 2
1 5
3 11
Empieza con la tabla
de valores, como la
del ejemplo anterior.
Si piensas en f(x)
como y, cada fila
forma un par
ordenado que
puedes graficar en el

10. plano de
coordenadas.
Grafíca los puntos.
Respuesta Como los puntos
están sobre una
recta, traza la recta
que pasa por los
puntos.
Intentemos otro.

11. Ejemplo
Problema Graficar f(x) = −x + 1.
f(−2) = − (−2) + 1 = 2 + 1 = 3
f(−1) = − (−1) + 1 = 1 + 1 = 2
f(0) = − (0) + 1 = 0 + 1 = 1
f(1) = − (1) + 1 = −1 + 1 = 0
f(2) = − (2) + 1 = −2 + 1 = −1
x f(x)
−2 3
−1 2
0 1
1 0
2 −1
Comienza con la
tabla de valores.
Puedes escoger
distintos valores de
x, pero de nuevo, es
útil incluir al 0,
algunos valores
positivos y algunos
valores negativos.
Si piensas en f(x)
como y, cada fila
forma un par
ordenado que
puedes graficar en el
plano de
coordenadas.
Grafica los puntos.

12. Respuesta Como los puntos
están sobre una
recta, traza la recta
que pasa por los
puntos.
Estas gráficas son representaciones de una función lineal. Recuerda que una función
es una correspondencia entre dos variables, como x y y.
Graficar f(x) = 2x – 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas es correcta?
A) B)

13. C) D)

14. SEGUNDO BGU:
MAXIMO COMUN DIVISOR DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y mayor grado que está
contenida exactamente en cada uno de 2 o más expresiones algebraicas.
Procedimiento.
1) Se halla el M.C.D. de los coeficientes (es aquel que está contenido en cada uno de los
coeficientes de las expresiones).
2) Se escriben las letras comunes con su menor grado (que estén contenidas en cada una
de las letras de las expresiones)
3) Las letras que no aparecen en todas las expresiones no son comunes; no se incluyen
como parte del M.C.D.
4) Luego se escribe el coeficiente encontrado, seguido de las letras comunes.
5) El resultado anterior será el M.C.D.
______________________________________________________________________
__
Ejemplos:
Hallar elM.C.D. de 10a^2b y 20a^3
1) El M.C.D. de 10 y 20 es 10; porque 10 está contenido exactamente en 10 y en 20.
2) Letras comunes con su menor exponente de a^2 y a^3 es a^2; porque a^2 está
contenida en a^2 y en a^3
3) La letra “b” no se pone como parte del M.C.D. porque no es común .
4) –> el M.C.D. de 10a^2b y 20a^3 es 10a^2 , que es la Solución.
______________________________________
Hallar el M.C.D. de 36a^2b^4 , 48a^3b^3c y 60a^4b^3m
1) El M.C.D. 36, 38 y 60 es 12 (porque 12 está contenido exactamente en los tres
coeficientes.
2) Las letras comunes con su menor exponente de a^2, b^3
3) Las letras “c” y “m” no son comunes para las 3 expresiones; no se toman en cuenta.

15. 4) –> el M.C.D. de 36a^2b^4 , 48a^3b^3c y 60a^4b^3m es 12a^2b^3 , que es la
Solución.
Nota: para encontrar el M.C.D de 36, 48 y 60 , puedes utilizar la siguiente tabla:
36 | 48 | 60 | 2 .
18 | 24 | 30 | 2
. 9 | 12 | 15 | 3 . –> los primos relativos encontrados (2)(2)(3) se multiplican y
el resultado será = 12
- 3 | 4 | 5 |
Toma nota que la búsqueda de otros primos relativos ya no se continúa con los residuos
3, 4 y 5 de la tabla, porque estos no tienen un número primo común que los divida.
______________________________________________________________
Ejercicio 111.
1) Hallar el M.C.D. de a^2x y ax^2
El M.C.D. de los coeficientes es 1.
La letra común de a^2 , y a es a.
La letra común de x, y x^2 es x.
–> el MC.D. de a^2x y ax^2 es 1ax = ax Solución.
______________________________________________________________
2) Hallar el M.C.D. de ab^2c , a^2bc
El M.C.D. de los coeficientes es 1.
La letra común de a, a^2 es a
La letra común de b^2, b es b
La letra común de c, c es c
–> El M.C.D. de ab^2c , y a^2bc es = abc solución.
_______________________________________________________________

16. TERCERO BGU:
Logaritmos: definición, propiedades y ejercicios
resueltos
Logaritmos definición y ejemplos
Propiedades de los logaritmos

17. Ejercicios resueltos

21. PRIMERO BGU: FISICA
MOVIMIENTOUNIFORMEMENTE VARIADO.
Un movimientoesvariadosi varíala velocidadoladirección.El másimportante esel
movimientoenque varíala velocidad.
· Puedenseruniformemente variadosovariadossinuniformidad.
Se llamaaceleración,lavariaciónque experimentalavelocidadenlaunidadde tiempo.Puede
serpositiva,si aumentaynegativaoretardo,si disminuye.
· En el movimientouniformementevariado,laaceleraciónpermanece constante.Se rige por
unas leyesdeterminadas.
· Comoejemplode movimientouniformemente aceleradotenemosel de lacaída libre de los
cuerpos,estudiadoporGalileoyNewton.
· Los movimientosvariadosse representanporgráficasde manerasemejante al movimiento
uniforme.
· El movimientode rotaciónesunejemplode movimientouniformemente variadoen
dirección.Corresponde auncuerpoque gira alrededorde uneje,ytiene susleyespropias.
Introducción
Se llamamovimientovariadosi cambialavelocidadoladirección.Este ultimoapartadoes
indiferente.TambiénpudeserUniformemente variadosi lavelocidadcambiade forma
constante y con lamismaintensidadoVariadosinuniformidadsi nose cumple loanterior.
Aceleración
Es la variaciónque experimentalavelocidadenunmovimientovariado.Puede serpositivasi la
velocidadaumentaonegativa(retardo) si lavelocidaddisminuye.
MovimientoUniformementeAcelerado
Supongamosque unmóvil (untren) parte del reposocon
Movimientovariado.
. Pasadoun tiempo
Movimientovariado.
habrá adquiridounavelocidad
Movimiento variado.

22. que será igual a velocidadanteriormásaceleración:
Movimientovariado.
Pasadoun tiempot2,la velocidadV2que seráigual a la velocidadanterior+aceleración:
Movimientovariado.
Perocomo
Movimientovariado.
y tenemosque
Movimientovariado.
loque resumidoviene aser
Movimientovariado.
Y así sería para un V3,etcétera.Portanto podemosestablecerlasiguiente fórmulageneral de
la velocidadenunmóvil enmovimientouniformemente acelerado.
Al cabo de untiempot,la velocidadVtseráigual a lavelocidadinicialVomást vecesla
aceleración:
Movimientovariado.
(1)
Para deducirlaaceleracióndiremosque es la diferencia de velocidad en la unidad detiempo:

23. Movimientovariado.
, despejamoslos denominadores
Movimientovariado.
(2)
Para calcularel espaciorecorridorecordemoslafórmuladel movimientouniforme:
Movimientovariado.
(3)
Tenemosque el espacioesel productode lavelocidadporel tiempo.Enel movimiento
variado,comola velocidadvaría,hemosde tomar la media artimética de lasdos velocidades
que responde aestafórmula:
Movimientovariado.
y si sustituimoseste valorporlavelocidadde lafórmula(3) tendremos:
Movimientovariado.
(4)
Y despejandovenlafórmula(2):
Movimientovariado.
, que sustituimosenlafórmula(4) nosdará
Movimientovariado.
; fórmulafinal que nosda el espaciorecorridoporunmóvil enmovimientouniformemente
aceleradocuandoparte del reposo:

24. Movimientovariado.
y cuandoparte de una velocidaddistintade 0tendremos
Movimientovariado.