Sistema de ecuaciones

1. Sistema de ecuaciones
Determinantes
Determinante de un arreglo de 2 por 2
a b
c d
= ad − bc
Determinante de una arreglo de 3 por 3
a b c
d e f
g h i
= a·
e f
h i
−b·
d f
g i
+c·
d e
g h
o tambi´en
a b c
d e f
g h i
= aei+bfg+dhc−(ceg+hfa+dbi)
Calcule los siguientes determinantes.
−1 2
5 −3
,
4 −5
3 −7
,
3 −8
−2 6
11 −2
−2 0
,
12 −3
0 −1
,
x x2
−4 −3
Calcules los siguientes determinantes
2 3 5
1 3 4
−2 −1 5
,
−1 4 −3
−3 −2 0
4 −4 2
0 1 0
−4 12 −3
1 121 4
,
1 −2 0
3 4 −3
−2 −4 2
M´etodo de Cramer para 2 ecuaciones
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
a1x + b1y = d1
a2x + b2y = d2
Donde a1, a2, b1, b2, d1, d2 son n´umeros reales.
Definimos:
Determinante del sistema
S =
a1 b1
a2 b2
Determinante de la variable “x”
x =
d1 b1
d2 b2
Determinante de la variable “y”
y =
a1 d1
a2 d2
La soluci´on del sistema resulta de
x =
x
S
, y =
y
S
Casos
(i) Compatible determinado (tiene solu-
ci´on ´unica). Si
a1
a2
=
b1
b2
es decir S = 0
(ii) Compatible indeterminado (tiene in-
finitas soluciones). Si
a1
a2
=
b1
b2
=
d1
d2
es decir, S = x = y = 0
(iii) Incompatible o inconsistente (no tiene
soluci´on). Si
a1
a2
=
b1
b2
=
d1
d2
es decir, S = 0, x = 0 ´o y = 0
Ejemplo explicativo:
Para qu´e valores de a y b reales el sistema:
ax + 3y = 4
2x − 6y = b
(1) Tiene soluci´on ´unica.
(2) Tiene infinitas soluciones.
(3) No tiene soluci´on.
Ejercicios: Resolver los siguientes sis-
temas
1.
x + 3y = 7
5x − 2y = −16
1

2. 2.
2x − 5y = −12
7x − 2y = −11
3.
x + 2y = 5
4x + y = 13
4.
x + 4y = 3
6x − 5y = −11
5. Entre Rosa y Beatriz tienen 124 discos
compactos. Si Rosa le diera a Beatriz 3
discos, entonces Rosa tendr´ıa el triple
de discos que Beatriz. ¿Cu´antos discos
tiene cada una?
6. El per´ımetro de un rect´angulo es de
30cm, y sabemos que la base es 1cm
m´as larga que la altura. Plantea un sis-
tema de ecuacioines y resu´elvelo para
hallar las dimensiones del rect´angulo.
7. El triple de un n´umero m´as la mitad
de otro suman 10; y si sumamos 14
unidades al primero de ellos, obtene-
mos el doble del segundo. Plantea un
sistema de ecuaciones y resu´elvelo para
hallar dichos n´umeros.
8. La base mayor de un trapecio mide el
triple que su base menor. La altura
del trapecio es de 4cm y su ´area es de
24cm2
. Calcula la longitud de sus dos
bases.
9. el per´ımetro de un tri´angulo is´osceles
es de 19cm. La longitud de cada uno
de sus lados iguales excede en 2cm al
doble de la longitud del lado desigual.
¿Cu´anto miden los lados del tri´angulo?
10. El per´ımetro de un rect´angulo es de
22cm, y sabemos que su base es 5cm
m´as larga que su altura. Plantea un sis-
tema de ecuacioines y resu´elvelo para
hallar las dimensiones del rect´angulo.
11. Resuelva el sistema:
2
3x − y
+
5
y + 2x
= 2
4
3x − y
+
3
y + 2x
= 17
M´etodo de Cramer para 3 ecuaciones
Resolver el siguiente sistema de ecuaiones
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Donde los coeficientes son reales:
Definimos:
Determinante del sistema
S =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
Determinante de la variable “x”
x =
d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
Determinante de la variable “y”
y =
a1 d1 c1
a2 d2 c2
a3 d3 c3
Determinana de la variable “z”
z =
a1 b1 d1
a2 b2 d2
a3 b3 d3
La soluci´on del sistema resulta de:
x =
x
S
, y =
y
S
, z =
z
S
En general
Variable =
Variable
Sistema
Casos
(i) Tiene soluci´on ´unica, si S = 0.
(ii) Tiene infinitas soluciones, si S = 0 y
cada Variable = 0.
2

3. (iii) No tiene soluci´on, si S = 0 y alg´un
Variable = 0.
Ejercicios:
1. Resolver
7x1 + 3x2 + 2x3 = 1
3x1 + x2 + 2x3 = 2
10x1 + 12x2 + 8x3 = 4
2. Resolver
2x − 4y + z = 1
x − 2y + 4z = 3
3x − y + 5z = 2
3. Resolver
−x1 + 2x2 + 3x3 = 0
x1 − 4x2 − 13x3 = 0
−3x1 + 5x2 + 4x3 = 0
4. Resovler
x + 2y + 3z = 3
2x + y − z = 3
3x + 3y + 2z = 10
5. Resolver
5x1 − 3x2 = 7
−2x1 + 9x2 = 4
2x1 + 4x2 = −2
6. Resolver
4x1 + 5x3 = 6
x2 − 6x3 = −2
3x1 + 4x3 = 3
7. Resolver
x + 2y + 3z = 4
2x + 4y + 6z = 3
3x + y − z = 1
8. Resolver
2x − 3y + z − 2 = 0
x + 5y − 4z + 5 = 0
4x + y − 3z + 4 = 0
9. Para qu´e valor de λ el sistema sigui-
ente:
λx + y = 0
λy + z = 1
λz + x = λ
admite infinitas soluciones
(a) 1 (b) 0 (c) 2
(d) − 1 (e) − 2
10. Resuelva el siguiente sistema de ecua-
ciones:
−x1 + 2x2 + x3 = −2
3x1 + 6x2 + 3x3 = 6
3x1 − x3 = 4
El resultado de (x1 + x2 + x3) es:
(a) 3 (b) 4 (c) 7
(d) 10 (e) 15
3