IMPLEMENTACIÓN DEL ALGEBRA DE BOOLE MEDIANTE EL USO DE COMPUERTAS LÓGICAS

1. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
IMPLEMENTACIÓN DEL ALGEBRA DE BOOLE MEDIANTE EL USO DE
COMPUERTAS LÓGICAS
I. FUNDAMENTO TEÓRICO.
1) Introducción
Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole,
constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con
el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de
circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas
otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se
llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se
trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por
los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware,
son interpretadas como funciones de boole.
2) Algebra de Boole.
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y
uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores
acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador
booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se
pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra
booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador
binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo: Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A
para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo: Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B
º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo: Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C)
= (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto
a un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso: Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador
booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
3) Operaciones:
Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica
el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las
más fundamentales:
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2. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
Operación suma
a b a+b
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un
valor c de A: 0 0 0
0 1 1
1 0 1
Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos
1 1 1
interruptores en paralelo.
Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos
sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.
Operación producto
a b a b
La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un
valor c de A: 0 0 0
0 1 0
1 0 0
Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos
1 1 1
interruptores
Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el
resultado será 0.
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3. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
Operación negación
a
La operación negación presenta el opuesto del valor de a:
0 1
1 0
Un interruptor inverso equivale a esta operación:
Operaciones combinadas
a b
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras
más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, 0 0 1
por ejemplo: 0 1 1
1 0 0
1 1 1
Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos
interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.
La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.
Leyes fundamentales
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del
sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
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4. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
1. Ley de idempotencia:
2. Ley de involución:
3. Ley conmutativa:
4. Ley asociativa:
5. Ley distributiva:
6. Ley de cancelación:
7. Ley de identidad:
8. Leyes de De Morgan:
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5. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
II. Implementacion de circuitos y aplicación de Boole
Dispositivos : LED (1)
C.I.s. : 7400 (1), 7404 (1), 7410 (1), 7432(1)
Resistores : 150 Ohms/0.5 vatio (1)
Fuente de alimentación DC : Variable, regulada con rango de 0 a 10 voltios.
Miliamperímetro DC : Rango de 0 a 30 Ma.
Multímetro digital (1)
Protoboard (1)
1. Primer circuito
U2A U4A
74LS04D
74LS10D LED1
U3A
U2B
U1B 74LS32D
R1
500Ω
74LS04D
74S00N
U2C
74LS04D
Poniendo a las entradas de orden descendente los valores A, B y C tendremos que al
final de nuestro circuito tendremos la siguiente función:
Aplicando la ley de Morgan e involución a cada bloque tenemos.
Sumando los grupos tendremos.
Aplicaremos la ley idempotencia y identidad.
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6. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
Para el circuito armado tendremos a la salida siempre un uno lógico por lo tanto el led
conectado al final del circuito estará siempre encendido para cualquier combinación
lógica a la entrada.
TABLA DE VERDAD
ENTRADAS SALIDA
C B A Y= =1
tens tens tens tens LED
GND GND GND 3.32V 1
GND GND +5V 3.32V 1
GND +5V GND 3.32V 1
GND +5V +5V 3.32V 1
+5V GND GND 3.32V 1
+5V +5V GND 3.32V 1
+5V +5V +5V 3.32V 1
En el cuadro mostrado llenado con datos experimentales se contrasta que el algebra de
Boole predijo de manera correcta el resultado final.
2. Segundo circuito
Se realizo la conexión usando unicamente 3 IC:
 7400(4-gate)
 7404(4-gate)
 7432(4-gate)
Implementando el circuito de acuerdo al esquema mostrado
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7. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
Entradas Salida
B A
Tension Tension Tension LED
GND GND 0.179 0
GND +5V 3.323 1
+5V GND 3.322 1
+5V +5V 0.178 0
El circuito anterior es equivalente a una compuerta XOR.
3. Tercer circuito
En el circuito siguiente se usaron 2 IC:
 7400(4-gate)
 7410(3-input)
Entradas Salida
C B A
Tension Tension Tension Tension LED
GND GND GND 0.171 0
GND GND +5V 0.171 0
GND +5V GND 0.171 0
GND +5V +5V 3.42 1
+5V GND GND 3.42 1
+5V GND +5V 0.171 0
+5V +5V GND 0.171 0
+5V +5V +5V 3.41 1
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8. Implementación del algebra de Boole mediante el uso de compuertas lógicas
III. CONCLUSIONES
Solo 0 y 1 son los valores posibles en el álgebra booleana. En la operación OR el
resultado será 1 si una o más variables es 1. El signo más denota la operación OR y no
la adición ordinaria. La operación OR genera un resultado de 0 solo cuando todas las
variables de entrada son 0.
En la operación AND esta se ejecuta exactamente igual que la multiplicación ordinaria
de unos y ceros. Una salida igual a 1 ocurre sólo cuando en el caso de que todas las
entradas sean 1. La salida es cero en cualquier caso donde una o más entradas sean 0.
El inversor Es un circuito que siempre tiene una sola entrada y su nivel lógico de salida
es siempre contrario al nivel lógico de la entrada.
Al dejar una parta del integrado arriba esta se muestra como un 1 lógico.
Siempre hay que tener en cuenta que al polarizar de manera incorrecta el integrado se
quema de manera automática.
Trabajo realizado por: Miguel Angel Delgado Arpita
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