Resolución de Ejercicios de Conicas categoria Elipse Realizado paso a paso

1. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA

2. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente:
Solución:
Datos del problema:
Identificación: Es una ecuación de 2do grado en las variables x e y, con B=0, por lo que pasa a
ser una ecuación de la forma: , comparando con la ecuación
dada, es decir:
, donde los coeficientes
son los siguientes:
Dónde: el determinante es
( ) ( )( ) , por tanto es una elipse.
Agrupando términos y desarrollando tenemos que:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(*)
La ecuación resultante (*) es de la forma
( ) ( )
, con centro en ( ) ( )
; ; y representa una elipse vertical, con las siguientes
características:
Dónde, el lado mayor es ( )
El lado menor ( )
La distancia focal se obtiene aplicando la relación pitagórica de las elipses, es decir:
√
Datos obtenidos: ( ); ; ;
√
Las coordenadas de los vértices del lado mayor y distancia focal son:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
√
) (
√
)
Las coordenadas de los vértices del lado menor:
( ) ( ) ( ) ( )
Las directrices son:
{
√
√
Lado recto son:

3. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Lado recto superior: | |
( )
Lado recto inferior: | |
( )
Coordenadas de los extremos de los lados rectos
( ) y ( )
( ) (
( ) √
)
(
√
)
( ) (
( ) √
)
(
√
)
( ) y ( )
( ) (
√
)
(
√
)
( ) (
√
)
(
√
)

4. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Gráfica de la situación planteada en (1):

5. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente:
Solución:
Datos del problema:
Agrupando términos en X e Y a primer miembro y el o los términos independientes o constantes
al segundo miembro, desarrollando y operando tenemos:
( ) ( )
Sacamos factor común los coeficientes de los términos cuadráticos, es decir:
( ) ( ) ( ) ( )
Completamos trinomios cuadrados perfectos en X e Y, es decir:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Dividimos ambos miembros entre 400, es decir:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
El denominador de ( ) es 25 y el denominador de ( ) es 16, como 25 > 16, entonces,
se tiene que la ecuación obtenida es una ecuación de la elipse horizontal con eje focal paralelo
al eje X, luego: ; y ; el valor de “c” lo obtenemos aplicando la
relación Pitagórica para las elipse, es decir:
El centro de la elipse es ( ) ( ) { ,
Luego tenemos los siguientes datos:
( ); ; ;
Las coordenadas de los vértices mayor y menor son respectivamente:
( ) y ( ) ( ) y ( )
( ) y ( )
( ) y ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Las coordenadas del foco son:
( ) y ( ) ( ) y ( )
( ) y ( )

6. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Las directrices de la elipse horizontal tienen las ecuaciones siguientes:
{
El lado recto viene dado por:
( )
La gráfica es la siguiente:

7. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
3.- Calcular las longitudes de los semiejes mayor y menor, las coordenadas de los vértices,
focos, extremos del eje menor, la longitud del lado recto y la excentricidad de la siguiente
elipse:
Solución:
Datos del Problema: ; ̅̅̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅̅̅ ; las coordenadas
de los vértices mayor: ; de los vértices menor: , las coordenadas de los focos: ,
la longitud del lado recto: LR, y la excentricidad.
Dividiendo entre 144 a ambos miembros obtenemos:
Está ecuación representa una elipse horizontal con centro en el origen y que tiene la forma
canónica siguiente: , donde ; ; el valor de “c” se
obtiene mediante la aplicación de la relación Pitagórica para las elipses: , donde
se tiene: √
La excentricidad es:
√
El lado recto es:
( )
Longitud del Lado mayor: ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅
Longitud del Lado mayor: ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅
Longitud de la distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (√ ) ̅̅̅̅̅̅ √
Las coordenadas de los vértices mayores y menores y las coordenadas de los focos son
respectivamente:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( √ ) (√ )
Las ecuaciones de las directrices son: { √ √
√ √

8. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Los extremos de los lados rectos son:
(√ ) (√ )
( √ ) ( √ )
La gráfica es la siguiente: