1. Algebra I
Polinomios y sus operaciones
Mr. Jesus Vellojin
Colegio Brit´nico de Cartagena
a
January 3, 2013
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
1 / 16

2. Trabajando en ´lgebra
a
Trabajando en ´lgebra
a
Trabajar en ´lgebra consiste en manejar relaciones num´ricas en las que
a
e
una o m´s cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman
a
variables o inc´gnitas y se representan por letras.
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
2 / 16

3. Trabajando en ´lgebra
a
Trabajando en ´lgebra
a
Trabajar en ´lgebra consiste en manejar relaciones num´ricas en las que
a
e
una o m´s cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman
a
variables o inc´gnitas y se representan por letras.
o
Expresi´n algebraica
o
Es es producto de una o m´s variables y una constante num´rica o literal.
a
e
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
2 / 16

4. Trabajando en ´lgebra
a
Trabajando en ´lgebra
a
Trabajar en ´lgebra consiste en manejar relaciones num´ricas en las que
a
e
una o m´s cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman
a
variables o inc´gnitas y se representan por letras.
o
Expresi´n algebraica
o
Es es producto de una o m´s variables y una constante num´rica o literal.
a
e
Ejemplos:
1
2
7xy 3
−2mnp 2
J. Vellojin (CBC)
3
4
Algebra I
πr 2
3
− y7
2
January 3, 2013
2 / 16

5. En toda expresi´n algebraica hay:
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
3 / 16

6. En toda expresi´n algebraica hay:
o
Signo: Positivo o negativo
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
3 / 16

7. En toda expresi´n algebraica hay:
o
Signo: Positivo o negativo
Coeficiente: El n´mero que va al comienzo de la expresi´n
u
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
3 / 16

8. En toda expresi´n algebraica hay:
o
Signo: Positivo o negativo
Coeficiente: El n´mero que va al comienzo de la expresi´n
u
o
Parte literal: Las letras y sus exponentes
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
3 / 16

9. En toda expresi´n algebraica hay:
o
Signo: Positivo o negativo
Coeficiente: El n´mero que va al comienzo de la expresi´n
u
o
Parte literal: Las letras y sus exponentes
Grado: Corresponde al mayor exponente dentro de las expresiones
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
3 / 16

10. En toda expresi´n algebraica hay:
o
Signo: Positivo o negativo
Coeficiente: El n´mero que va al comienzo de la expresi´n
u
o
Parte literal: Las letras y sus exponentes
Grado: Corresponde al mayor exponente dentro de las expresiones
Expresi´n
o
Signo
Coeficiente
Parte Literal
Grado
2m2 n5
Positivo
2
m2 n5
5
5a3 b 6 c 8
Positivo
5
a3 b 6 c 8
8
1
− zhk 5
3
Negativo
−
zhk 5
5
J. Vellojin (CBC)
1
3
Algebra I
January 3, 2013
3 / 16

11. Clasificaci´n
o
Las expresiones algebraicas se clasifican seg´n su n´mero de t´rminos.
u
u
e
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
4 / 16

12. Clasificaci´n
o
Las expresiones algebraicas se clasifican seg´n su n´mero de t´rminos.
u
u
e
Monomio: un solo t´rmino. →3x 2
e
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
4 / 16

13. Clasificaci´n
o
Las expresiones algebraicas se clasifican seg´n su n´mero de t´rminos.
u
u
e
Monomio: un solo t´rmino. →3x 2
e
Binomio: suma o resta de dos monomios. →4ab 2 − 5b
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
4 / 16

14. Clasificaci´n
o
Las expresiones algebraicas se clasifican seg´n su n´mero de t´rminos.
u
u
e
Monomio: un solo t´rmino. →3x 2
e
Binomio: suma o resta de dos monomios. →4ab 2 − 5b
Trinomio: suma o resta de tres monomios. →ax 2 + bx + c
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
4 / 16

15. Clasificaci´n
o
Las expresiones algebraicas se clasifican seg´n su n´mero de t´rminos.
u
u
e
Monomio: un solo t´rmino. →3x 2
e
Binomio: suma o resta de dos monomios. →4ab 2 − 5b
Trinomio: suma o resta de tres monomios. →ax 2 + bx + c
Polinomio:suma o resta de cualquier n´mero de monomios.
u
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
4 / 16

16. Clasificaci´n
o
Las expresiones algebraicas se clasifican seg´n su n´mero de t´rminos.
u
u
e
Monomio: un solo t´rmino. →3x 2
e
Binomio: suma o resta de dos monomios. →4ab 2 − 5b
Trinomio: suma o resta de tres monomios. →ax 2 + bx + c
Polinomio:suma o resta de cualquier n´mero de monomios.
u
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio
8x 3 y 4
3a2 b 3 + 8z
a − b 9 + a3 b 6
2 2
a + bc + a2 b 4 c 6 − 2
3
x2
z 5 + 32x 3
9a − b 2 + c 3
x 3 y 2 + 26a − z 5 y + 1 − abc 5
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
4 / 16

17. Valor num´rico de una expres´ algebraica
e
ıon
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
5 / 16

18. Valor num´rico de una expres´ algebraica
e
ıon
El valor num´rico de una expresi´n algebraica, para un determinado
e
o
valor, es el n´mero que se obtiene al sustituir en ´sta por un valor
u
e
num´rico dado y realizar las operaciones indicadas.
e
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
5 / 16

19. Valor num´rico de una expres´ algebraica
e
ıon
El valor num´rico de una expresi´n algebraica, para un determinado
e
o
valor, es el n´mero que se obtiene al sustituir en ´sta por un valor
u
e
num´rico dado y realizar las operaciones indicadas.
e
Veamos por ejemplo el valor num´rico de x 3 y + 2y 2 x + 6x − 3y para
e
x = 2, y = 3:
(2)3 (3) + 2(2)2 (3) + 6(2) − 3(3)
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
5 / 16

20. Valor num´rico de una expres´ algebraica
e
ıon
El valor num´rico de una expresi´n algebraica, para un determinado
e
o
valor, es el n´mero que se obtiene al sustituir en ´sta por un valor
u
e
num´rico dado y realizar las operaciones indicadas.
e
Veamos por ejemplo el valor num´rico de x 3 y + 2y 2 x + 6x − 3y para
e
x = 2, y = 3:
(2)3 (3) + 2(2)2 (3) + 6(2) − 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2) − 3(3)
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
5 / 16

21. Valor num´rico de una expres´ algebraica
e
ıon
El valor num´rico de una expresi´n algebraica, para un determinado
e
o
valor, es el n´mero que se obtiene al sustituir en ´sta por un valor
u
e
num´rico dado y realizar las operaciones indicadas.
e
Veamos por ejemplo el valor num´rico de x 3 y + 2y 2 x + 6x − 3y para
e
x = 2, y = 3:
(2)3 (3) + 2(2)2 (3) + 6(2) − 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2) − 3(3)
= 24 + 24 + 12 − 9
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
5 / 16

22. Valor num´rico de una expres´ algebraica
e
ıon
El valor num´rico de una expresi´n algebraica, para un determinado
e
o
valor, es el n´mero que se obtiene al sustituir en ´sta por un valor
u
e
num´rico dado y realizar las operaciones indicadas.
e
Veamos por ejemplo el valor num´rico de x 3 y + 2y 2 x + 6x − 3y para
e
x = 2, y = 3:
(2)3 (3) + 2(2)2 (3) + 6(2) − 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2) − 3(3)
= 24 + 24 + 12 − 9
= 51
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
5 / 16

23. Valor num´rico de una expres´ algebraica
e
ıon
El valor num´rico de una expresi´n algebraica, para un determinado
e
o
valor, es el n´mero que se obtiene al sustituir en ´sta por un valor
u
e
num´rico dado y realizar las operaciones indicadas.
e
Veamos por ejemplo el valor num´rico de x 3 y + 2y 2 x + 6x − 3y para
e
x = 2, y = 3:
(2)3 (3) + 2(2)2 (3) + 6(2) − 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2) − 3(3)
= 24 + 24 + 12 − 9
= 51
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Ejemplo: 2x 2 y 3 z es semejante a 5x 2 y 3 z.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
5 / 16

24. Ejercicios
1.Completa la siguiente tabla
Monomio
Coeficiente
Parte Literal
Grado
8x 2
5ab 4 c 2
x 2y
3 2
4 p qr
5
7
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
6 / 16

25. Ejercicios
2. Escribe 5 parejas de monomios semejantes.
3. Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso
afirmativo, indica su grado y coeficiente.
a) 3x 3
b) 5x−3
c) 3x + 1
√
d) 2x
J. Vellojin (CBC)
3
e) − x 4
4
3
f) − 6
x
√
g) 2 x
Algebra I
January 3, 2013
7 / 16

26. Operaciones entre monomios
SUMA. La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
8 / 16

27. Operaciones entre monomios
SUMA. La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
ax n + bx n = (a + b)x n
−3x 2 − 2x 2 = −5x 2
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
8z 3 b − 9z 3 b = −z 3
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
8 / 16

28. Operaciones entre monomios
SUMA. La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
ax n + bx n = (a + b)x n
−3x 2 − 2x 2 = −5x 2
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
8z 3 b − 9z 3 b = −z 3
La suma/resta de dos monomios no semejantes no es un monomio y la
dejaremos indicada.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
8 / 16

29. Operaciones entre monomios
SUMA. La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
ax n + bx n = (a + b)x n
−3x 2 − 2x 2 = −5x 2
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
8z 3 b − 9z 3 b = −z 3
La suma/resta de dos monomios no semejantes no es un monomio y la
dejaremos indicada.
3x 3 + 5x
J. Vellojin (CBC)
4z − 8t 2
Algebra I
January 3, 2013
8 / 16

30. Operaciones entre monomios
SUMA. La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
ax n + bx n = (a + b)x n
−3x 2 − 2x 2 = −5x 2
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
8z 3 b − 9z 3 b = −z 3
La suma/resta de dos monomios no semejantes no es un monomio y la
dejaremos indicada.
3x 3 + 5x
4z − 8t 2
La suma/resta de monomios semejantes permite a veces ”reducir”
expresiones algebraicas operando dentro de ella los monomios que sean
semejantes.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
8 / 16

31. Operaciones entre monomios
SUMA. La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
ax n + bx n = (a + b)x n
−3x 2 − 2x 2 = −5x 2
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
8z 3 b − 9z 3 b = −z 3
La suma/resta de dos monomios no semejantes no es un monomio y la
dejaremos indicada.
3x 3 + 5x
4z − 8t 2
La suma/resta de monomios semejantes permite a veces ”reducir”
expresiones algebraicas operando dentro de ella los monomios que sean
semejantes.
3x 2 + 5x − 2x 2 − 9x = x 2 − 4x
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
8 / 16

32. Operaciones entre Monomios y Polinomios
PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza de
manera muy similar al producto usual entre cantidades num´ricas. Basta
e
aplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
9 / 16

33. Operaciones entre Monomios y Polinomios
PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza de
manera muy similar al producto usual entre cantidades num´ricas. Basta
e
aplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.
Monomio por monomio
Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partes
num´ricas y sus partes literales.
e
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
9 / 16

34. Operaciones entre Monomios y Polinomios
PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza de
manera muy similar al producto usual entre cantidades num´ricas. Basta
e
aplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.
Monomio por monomio
Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partes
num´ricas y sus partes literales. NO OLVIDE LAS PROPIEDADES DE lA
e
´
POTENCIACION.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
9 / 16

35. Operaciones entre Monomios y Polinomios
PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza de
manera muy similar al producto usual entre cantidades num´ricas. Basta
e
aplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.
Monomio por monomio
Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partes
num´ricas y sus partes literales. NO OLVIDE LAS PROPIEDADES DE lA
e
´
POTENCIACION.
Ejemplo. Calculemos el producto de −7x 3 y 5 z y 3x4y 4 .
Soluci´n.
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
9 / 16

36. Operaciones entre Monomios y Polinomios
PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza de
manera muy similar al producto usual entre cantidades num´ricas. Basta
e
aplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.
Monomio por monomio
Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partes
num´ricas y sus partes literales. NO OLVIDE LAS PROPIEDADES DE lA
e
´
POTENCIACION.
Ejemplo. Calculemos el producto de −7x 3 y 5 z y 3x4y 4 .
Soluci´n.
o
(−7x 3 y 5 z)(3x 4 y 4 )
J. Vellojin (CBC)
Planteamos la multiplicaci´n.
o
Algebra I
January 3, 2013
9 / 16

37. Operaciones entre Monomios y Polinomios
PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza de
manera muy similar al producto usual entre cantidades num´ricas. Basta
e
aplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.
Monomio por monomio
Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partes
num´ricas y sus partes literales. NO OLVIDE LAS PROPIEDADES DE lA
e
´
POTENCIACION.
Ejemplo. Calculemos el producto de −7x 3 y 5 z y 3x4y 4 .
Soluci´n.
o
(−7x 3 y 5 z)(3x 4 y 4 )
Planteamos la multiplicaci´n.
o
= (−7 · 3)(x 3 x 4 y 5 y 4 z) Asociamos coeficientes y partes literales entre si.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
9 / 16

38. Operaciones entre Monomios y Polinomios
PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza de
manera muy similar al producto usual entre cantidades num´ricas. Basta
e
aplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.
Monomio por monomio
Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partes
num´ricas y sus partes literales. NO OLVIDE LAS PROPIEDADES DE lA
e
´
POTENCIACION.
Ejemplo. Calculemos el producto de −7x 3 y 5 z y 3x4y 4 .
Soluci´n.
o
(−7x 3 y 5 z)(3x 4 y 4 )
Planteamos la multiplicaci´n.
o
= (−7 · 3)(x 3 x 4 y 5 y 4 z) Asociamos coeficientes y partes literales entre si.
= −21x 7 y 9 z
Multiplicamos coeficientes entre si y aplicamos
la propiedad de potencias de igual base.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
9 / 16

39. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad
distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los t´rminos del
e
polinomio y efectuando el producto entre monomios.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
10 / 16

40. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad
distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los t´rminos del
e
polinomio y efectuando el producto entre monomios.
Ejemplo. Efectuemos la multiplicaci´n x 2 (3x 2 − y ).
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
10 / 16

41. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad
distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los t´rminos del
e
polinomio y efectuando el producto entre monomios.
Ejemplo. Efectuemos la multiplicaci´n x 2 (3x 2 − y ).
o
Soluci´n.
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
10 / 16

42. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad
distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los t´rminos del
e
polinomio y efectuando el producto entre monomios.
Ejemplo. Efectuemos la multiplicaci´n x 2 (3x 2 − y ).
o
Soluci´n.
o
2 (3x 2 − y )
x
J. Vellojin (CBC)
Planteamos la multiplicaci´n.
o
Algebra I
January 3, 2013
10 / 16

43. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad
distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los t´rminos del
e
polinomio y efectuando el producto entre monomios.
Ejemplo. Efectuemos la multiplicaci´n x 2 (3x 2 − y ).
o
Soluci´n.
o
2 (3x 2 − y )
x
Planteamos la multiplicaci´n.
o
= x 2 (3x 2 ) − x 2 (y ) Aplicamos la propiedad distributiva.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
10 / 16

44. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad
distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los t´rminos del
e
polinomio y efectuando el producto entre monomios.
Ejemplo. Efectuemos la multiplicaci´n x 2 (3x 2 − y ).
o
Soluci´n.
o
2 (3x 2 − y )
x
Planteamos la multiplicaci´n.
o
= x 2 (3x 2 ) − x 2 (y ) Aplicamos la propiedad distributiva.
= 3x 4 − x 2 y
Multiplicamos los monomios.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
10 / 16

45. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
11 / 16

46. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y )
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
11 / 16

47. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y )
Soluci´n.
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
11 / 16

48. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y )
Soluci´n.
o
y (y + 2)(3x + y ) Planteamos la multiplicaci´n.
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
11 / 16

49. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y )
Soluci´n.
o
y (y + 2)(3x + y ) Planteamos la multiplicaci´n.
o
= (y 2 + 2y )(3x + y ) Aplicamos la propiedad distributiva.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
11 / 16

50. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y )
Soluci´n.
o
y (y + 2)(3x + y ) Planteamos la multiplicaci´n.
o
= (y 2 + 2y )(3x + y ) Aplicamos la propiedad distributiva.
= (y 2 )(3x) + (y 2 )(y ) + (2y )(3x) + (2y )(y ) Propiedad distributiva.
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
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11 / 16

51. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y )
Soluci´n.
o
y (y + 2)(3x + y ) Planteamos la multiplicaci´n.
o
= (y 2 + 2y )(3x + y ) Aplicamos la propiedad distributiva.
= (y 2 )(3x) + (y 2 )(y ) + (2y )(3x) + (2y )(y ) Propiedad distributiva.
= 3y 2 x + y 3 + 6yx + 2y 2 Multiplicamos monomios.
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Algebra I
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11 / 16

52. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Multiplicaci´n entre polinomios
o
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada t´rmino del primer
e
polinomio por cada uno de los t´rminos del segundo polinomio (de nuevo
e
la propiedad distributiva!!!) y despu´s, se reducen t´rminos semejantes.
e
e
Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y )
Soluci´n.
o
y (y + 2)(3x + y ) Planteamos la multiplicaci´n.
o
= (y 2 + 2y )(3x + y ) Aplicamos la propiedad distributiva.
= (y 2 )(3x) + (y 2 )(y ) + (2y )(3x) + (2y )(y ) Propiedad distributiva.
= 3y 2 x + y 3 + 6yx + 2y 2 Multiplicamos monomios.
En este caso en particular no hubo t´rminos semejantes en el resultado de
e
la multiplicaci´n, pero eso no es en general como veremos a continuaci´n.
o
o
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Algebra I
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11 / 16

53. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
J. Vellojin (CBC)
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Algebra I
January 3, 2013
12 / 16

54. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Soluci´n.
o
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
12 / 16

55. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Soluci´n.
o
3
3
y
y + x (2x + y ) Planteamos el producto.
4
4
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
12 / 16

56. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Soluci´n.
o
3
3
y
y + x (2x + y ) Planteamos el producto.
4
4
=
9 2 3
y + yx (2x + y ) Propiedad distributiva.
16
4
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
January 3, 2013
12 / 16

57. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Soluci´n.
o
3
3
y
y + x (2x + y ) Planteamos el producto.
4
4
=
9 2 3
y + yx (2x + y ) Propiedad distributiva.
16
4
9
9
3
3
= xy 2 + yy 2 + yxx + yyx Propiedad distributiva.
8
16
2
4
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
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12 / 16

58. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Soluci´n.
o
3
3
y
y + x (2x + y ) Planteamos el producto.
4
4
=
9 2 3
y + yx (2x + y ) Propiedad distributiva.
16
4
9
= xy 2 +
8
9
= xy 2 +
8
9 2 3
3
yy + yxx + yyx Propiedad distributiva.
16
2
4
9 3 3 2 3 2
y + yx + y x Multiplicamos monomios.
16
2
4
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
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12 / 16

59. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Soluci´n.
o
3
3
y
y + x (2x + y ) Planteamos el producto.
4
4
=
9 2 3
y + yx (2x + y ) Propiedad distributiva.
16
4
9
9
3
3
= xy 2 + yy 2 + yxx + yyx Propiedad distributiva.
8
16
2
4
9 2
9 3 3 2 3 2
= xy + y + yx + y x Multiplicamos monomios.
8
16
2
4
15
9
3
= xy 2 + y 3 + yx 2 Simplificamos t´rminos semejantes.
e
8
16
2
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
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12 / 16

60. Operaciones entre Monomios y Polinomios
Ejemplo 2. Multiplicar
3
y
4
3
y + x (2x + y ).
4
Soluci´n.
o
3
3
y
y + x (2x + y ) Planteamos el producto.
4
4
=
9 2 3
y + yx (2x + y ) Propiedad distributiva.
16
4
9
9
3
3
= xy 2 + yy 2 + yxx + yyx Propiedad distributiva.
8
16
2
4
9 2
9 3 3 2 3 2
= xy + y + yx + y x Multiplicamos monomios.
8
16
2
4
15
9
3
= xy 2 + y 3 + yx 2 Simplificamos t´rminos semejantes.
e
8
16
2
Prep´rense para los ejercicios!!!!
a
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Algebra I
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61. Productos Notables
Productos notables
Los productos notables son multiplicaciones entre expresiones algebraicas
cuyo resultado se puede calcular por simple inspecci´n, sin verificar la
o
multiplicaci´n que cumplen ciertas reglas fijas. Esto permite reducir y
o
sistematizar el tiempo empleado en la soluci´n de muchas multiplicaciones
o
habituales.
Lo anterior nos dice que solo debemos observar el tipo de producto que se
nos plantea y luego, al igual que en f´
ısica, solo basta aplicar la f´rmula
o
respectiva!!!
Vayamos al grano
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62. Productos notables
BINOMIO DE UNA SUMA AL CUADRADO (a + b)2
Un binomio de una suma al cuadrado es igual al cuadrado del primer
t´rmino, m´s el doble del producto del primero por el segundo, m´s el
e
a
a
cuadrado del segundo t´rmino. Es decir:
e
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b 2 Esta es la primera f´rmula!!!
o
Ejemplos:
1
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x · 3 + 32 = x 2 + 6x + 9
2
(2x + 3y )2 = (2x)2 + 2 · (2x)(3y ) + (3y )2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2
Recuerde que (a + b)2 es el producto (a + b)(a + b).
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63. Productos notables
BINOMIO DE UNA DIFERENCIA AL CUADRADO (a − b)2
Un binomio de una diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del
primer t´rmino, menos el doble del producto del primero por el segundo,
e
m´s el cuadrado del segundo t´rmino. Es decir:
a
e
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b 2 Esta es la segunda f´rmula!!!
o
Ejemplos:
1
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · (2x)(3) + 32 = 4x 2 − 12x + 9
2
(3 − b)2 = 32 − 2 · (3)(b) + (b)2 = 9 − 6b + b 2
Recuerde que (a − b)2 es el producto (a − b)(a − b).
J. Vellojin (CBC)
Algebra I
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64. Productos notables
SUMA POR DIFERENCIA (a + b)(a − b)
Una suma por diferencia es igual a la diferencia entre sus
cuadradados. Es decir:
(a + b) · (a − b) = a2 − b 2 Esta es la tercera f´rmula!!!
o
Ejemplos
1
(2x + 5) · (2x − 5) = (2x)2 − 52 = 4x 2 − 25
2
(4a − 5b) · (4a + 5b) = (4a)2 − (5b)2 = 16a2 − 25b 2
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