criterio de routh

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DELPODER POPULAR PARA LA
EDUCACION UNIVERSITARIA, CIENCIAS Y
TECNOLOGIA
I.U.P “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION-MATURIN
Criterio
De
Routh Hurwitz
Profesor: Bachiller:
ing. Cristóbal Espinoza Saúl Parra Ci.V24504340
Abril 2019

2. Ejercicio número 1
La función de transferencia de un sistema de control tiene como expresión:
𝐺( 𝑠) =
3𝑠2
+ 2𝑠 − 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 4𝑠 − 1
Determinar, aplicando el método de Routh, si el sistema es estable.
Para determinar si un sistema es estable este debe cumplir con ciertas características
a) Primero se verifica si no existe algún o algunos coeficientes nulos o negativos en
presencia de un coeficiente positivo al menos.
b) Si todos los coeficientes son positivos y no nulos se procede a construir la tabla con
los coeficientes de la función.
En este caso 𝑠3
+ 2𝑠2
+ 4𝑠 − 1 al existir un coeficiente negativo el sistema se
considera inestable, Comprobaremos esto llevando a cabo el ejercicio.
𝑠3| 1 4 0
𝑠2| 2 -1 0
𝑏1|
9
2
0
𝑐1|-1
𝑏1 =
𝑎1 𝑎2 − 𝑎 𝑜 𝑎3
𝑎1
=
2 ∗ 4 − 1 ∗ (−1)
2
=
8 + 1
2
=
9
2
𝑏2 =
𝑎1 𝑎4 − 𝑎 𝑜 𝑎5
𝑎1
=
2 ∗ 0 − 1 ∗ 0
2
=
0 + 0
2
= 0
𝑐1 =
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑏1
=
9
2
∗ (−1) − 2 ∗ 0
9
2
=
−
9
2
9
2
= −1
Como se puede comprobar el sistema posee un coeficiente negativo en la primera
columna eso quiere decir que es un sistema inestable.

3. Ejercicio número 2
La función de transferencia de un sistema de control tiene como expresión:
𝐺( 𝑠) =
2𝑠2
− 3𝑠 + 1
5𝑠5 + 4𝑠4 + 2𝑠3 + 𝑠2 + 2𝑠 + 2
Determinar, aplicando el método de Routh, si el sistema es estable.
Se toma la expresión polinómica ubicada en el denominador también conocida como
ecuación característica 5𝑠5
+ 4𝑠4
+ 2𝑠3
+ 𝑠2
+ 2𝑠 + 2
Se puede observar que cada coeficiente es de signo positivo y se procede a construir la tabla
de Routh
𝑠5| 5 2 2
𝑠4| 4 1 2
𝑠3| 3
4⁄ − 2
4⁄
𝑠2| 11
3⁄ 2
𝑠1|
𝑠0|
𝑏1 =
𝑎1 𝑎2 − 𝑎 𝑜 𝑎3
𝑎1
=
4 ∗ 2 − 5 ∗ 1
4
=
8 − 5
4
=
3
4
𝑏2 =
𝑎1 𝑎4 − 𝑎 𝑜 𝑎5
𝑎1
=
4 ∗ 2 − 5 ∗ 2
4
=
8 − 10
4
= −
2
4
𝑐1 =
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑏1
=
3 ∗ 1 − 4 ∗ (−2)
3
=
3 + 8
3
=
11
3
𝑐2 =
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑏1
=
3
4⁄ ∗ 2 − 4 ∗ 0
3
4⁄
=
3
2⁄
3
4⁄
= 2

4. 𝑠3| 3
4⁄ − 2
4⁄ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑠3 𝑥 (4)
𝑠2| 11
3⁄ 2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑠2 𝑥 (3)
𝑠1|
𝑠0|
Tenemos una simplificación que no altera los signos de la tabla
𝑠5| 5 2 2
𝑠4| 4 1 2
𝑠3| 3 −2
𝑠2| 11 6
𝑠1| −
40
11
𝑠0|
𝑑1 =
𝑐1 𝑏2 − 𝑏1 𝑐2
𝑐1
=
11 ∗ (−2) − 3 ∗ 6
11
=
−22 − 18
11
= −
40
11
𝑠1| −
40
11
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑠1 𝑥 (11)
𝑠0|
Como resultado de la multiplicación tenemos:
𝑠5| 5 2 2
𝑠4| 4 1 2
𝑠3| 3 −2
𝑠2| 11 6
𝑠1| − 40
𝑠0|

5. 𝑒1 =
𝑑1 𝑐2 − 𝑐1 𝑑2
𝑑1
=
−40 ∗ 6 − 11 ∗ 0
−40
=
−240
−40
= 6
𝑠5| 5 2 2
𝑠4| 4 1 2
𝑠3| 3 −2
𝑠2| 11 6
𝑠1| − 40
𝑠0| 6
Como se puede apreciar dentro de la primera columna está presente 2 cambios de signo en
los coeficientes, esto quiere decir que existen dos polos con parte real positiva y podemos
tomar como conclusión que el sistema resultante es inestable.
Ejercicio número 3
A partir del diagrama de bloques del sistema de transferencia indicado, calcular para que
valores de k el sistema es estable.
El siguiente diagrama de bloque es una función de lazo cerrado se procede a simplificar la
expresión utilizando la propiedad de lazo cerrado.
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺( 𝑠)
𝑄( 𝑠) =
𝑠2
+ 3𝑠 − 𝑘
𝑠3 + 2𝑠2 + 10𝑠 + 5
𝑄( 𝑠) =
𝑠2
+ 3𝑠 − 𝑘
𝑠3 + 2𝑠2 + 10𝑠 + 5
1 +
𝑠2 + 3𝑠 − 𝑘
𝑠3 + 2𝑠2 + 10𝑠 + 5

6. 𝑄( 𝑠) =
𝑠2
+ 3𝑠 − 𝑘
𝑠3 + 2𝑠2 + 10𝑠 + 5 + 𝑠2 + 3𝑠 − 𝑘
𝑄(𝑠) =
𝑠2
+ 3𝑠 − 𝑘
𝑠3 + 3𝑠2 + 13𝑠 + 5 − 𝑘
Una vez obtenida la expresión simplificada se procede a la construcción de la tabla
recordando que se toma el denominador o ecuación característica: 𝑠3
+ 3𝑠2
+ 13𝑠 + 5 − 𝑘
𝑠3| 1 13
𝑠2| 3 5 − 𝑘
i)
𝑏1 =
𝑎1 𝑎2 − 𝑎 𝑜 𝑎3
𝑎1
=
3 ∗ 13 − 1 ∗ (5 − 𝑘)
3
=
39 − 5 + 𝑘
3
39
3
−
5
3
+
𝑘
3
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 (3)
39 − 5 + 𝑘
34 > 𝑘
𝑠3| 1 13
𝑠2| 3 5 − 𝑘
𝑠1| 34 + 𝑘 0
ii) para que el sistema sea estable debe cumplirse el criterio de Routh en el cual en a
expresión no deben existir coeficientes negativos y ceros
𝑐1 =
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑏1
=
34 + 𝑘 ∗ 5 − k − 3 ∗ 0
34 + 𝑘
= 5 − 𝑘

7. 5 > 𝑘
𝑠3| 1 13
𝑠2| 3 5 − 𝑘
𝑠1| 34 + 𝑘 0
𝑠0| 5 − 𝑘 0
Los valores de k para que el sistema sea estable deben ser:
34 < 𝑘 < 5
Ejercicio número 4
Un sistema de regulación presenta el diagrama de bloques de la figura adjunta, se desea
saber si el sistema es estable.
𝐺1 = 50
𝐺2 =
1
𝑠(𝑠 + 2)
Multiplicamos 𝐺1 por 𝐺2 para simplificar en un bloque que 1lamaremos 𝐺𝐴 a ambas
expresiones
𝐺1 𝐺2 = 50 ∗
1
𝑠( 𝑠 + 2)
𝐺𝐴 (𝑠) =
50
𝑠(𝑠 + 2)

8. Luego obtendremos un lazo cerrado con realimentación el cual simplificaremos
𝐺𝐴 (𝑠)
1 + 𝐺𝐴 (𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐻(𝑠) =
2
(𝑠 + 2)
50
𝑠(𝑠 + 2)
1 +
50
𝑠(𝑠 + 2)
∗
2
(𝑠 + 2)
50
𝑠(𝑠 + 2)
𝑠( 𝑠 + 2)( 𝑠 + 2) + 100
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 2)
50
𝑠( 𝑠 + 2)( 𝑠 + 2) + 100
(𝑠 + 2)
50(𝑠 + 2)
𝑠( 𝑠 + 2)2 + 100
𝐺 𝐵 =
50(𝑠 + 2)
𝑠3 + 4𝑠2 + 4𝑠 + 100

9. Luego de simplificar los bloques anteriores obtenemos otro lazo cerrado donde se aplicara
nuevamente la propiedad de lazo cerrado
𝐹( 𝑠) =
𝐺 𝐵(𝑠)
1 + 𝐺 𝐵(𝑠)
𝐹( 𝑠) =
50(𝑠 + 2)
𝑠3 + 4𝑠2 + 4𝑠 + 100
1 +
50(𝑠 + 2)
𝑠3 + 4𝑠2 + 4𝑠 + 100
𝐹( 𝑠) =
50(𝑠 + 2)
𝑠3 + 4𝑠2 + 54𝑠 + 200
Aplicando tabla de Routh para la expresión 𝑠3
+ 4𝑠2
+ 54𝑠 + 200
𝑠3| 1 54
𝑠2| 4 200
𝑏1 =
𝑎1 𝑎2 − 𝑎 𝑜 𝑎3
𝑎1
=
4 ∗ 54 − 1 ∗ 200
4
=
216 − 200
4
=
16
4
𝑏1 = 4
𝑠3| 1 54
𝑠2| 4 200
𝑠1| 4 0

10. 𝑐1 =
𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2
𝑏1
=
4 ∗ 200 − 4 ∗ 0
4
=
800
4
𝑐1 = 200
𝑠3| 1 54
𝑠2| 4 200
𝑠1| 4 0
𝑠0| 200 0
No existen cambios de signo en la primera columna lo que quiere decir que el sistema es
estable.