probabilidades

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Probabilidad (Problemas resueltos)
(Basado en VITUTOR)
1.- Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
a) Dos caras.
p(2c) = p(c)*p(c) = 1/2 * 1/2 = 1/4
b) Dos cruces.
p(2x) = p(x)*p(x) = 1/2 * 1/2 = 1/4
c) Una cara y una cruz.
p(1c&1x) = p(cx) + p(xc) = p(c)*p(x) + p(x)*p(c) = 1/2*1/2 + 1/2*1/2 = 1/4 + 1/4 = 1/2
2.- Hallar la probabilidad de que al levantar una fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor
que 9 o que sea múltiplo de 4.
Casos posibles: CR 7 2 = (7+2-1)! / [2! * (7-1)!] = 8! / (2*6!) = 8*7/2 = 4*7 = 28
Casos favorables: A(> 9) = {(4|6),(5|5),(5|6),(6|6)}
=>
p(A) = 4/28
Casos favorables: B(m4) = {(b|4),(1|3),(2|2),(2|6),(3|5),(4|4),(6|6)}
=>
=>
Casos favorables: A(>9) y B(m4) = {(6|6)}
p(B) = 7/28
p(A ∩ B) = p(A)*p(B) = 1/28
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14
3.- Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales
a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
p(1)=p ,, p(2)=2p ,, p(3)=3p ,, p(4)=4p ,, p(5)=5p ,, p(6)=6p
p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1
p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 21p
21p = 1
=>
p = 1/21
p(6) = 6p = 6*1/21 = 6/21
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

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Probabilidad (Problemas resueltos)
(Basado en VITUTOR)
p(1 U 3 U 5) = p(1) + p(3) + p(5) = p + 3p + 5p = 9p = 9*1/21 = 9/21 = 3/7
4.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
a) La probabilidad de que salga 7.
Casos posibles: VR 6 2 = 62 = 36
Casos favorables: A(s7) = {(1|6),(2|5),(3|4),(4|3),(5|2),(6|1)}
p(A) = 6/36 = 1/6
b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.
p(par) = 18/36 = 1/2
c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
A(m3) = {(1|2),(1|5),(2|1),(2|4),(3|3),(3|6),(4|2),(4|5),(5|1),(5|4),(6|3),(6|6)}
p(A) = 12/36 = 1/3
5.- Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
p(6 1 ∩ 6 2 ∩ 6 3 ) = p(6 1 )*p(6 2 )*p(6 3 ) = 1/6*1/6*1/6 = 1/216
b) Los puntos obtenidos sumen 7.
Casos posibles: VR 6 3 = 63 = 216
A(s7) = {(1|1|5),(1|2|4),(1|3|3),(1|4|2),(1|5|1),
(2|1|4),(2|2|3),(2|3|2),(2|4|1),
(3|1|3),(3|2|2),(3|2|1),
(4|1|2),(4|2|1),
(5|1|1),}
p(A) = 15/216 = 5/72
6.- Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga :
a) Un número par.
p(par) = 3/6 = 1/2

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Probabilidad (Problemas resueltos)
(Basado en VITUTOR)
b) Un múltiplo de tres.
p(m3) = 2/6 = 1/3
c) Mayor que cuatro.
P(>4) = 2/6 = 1/3
7.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca , otra roja, otra verde y otra negra.
Describir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
E = {BB, BR, BV, BN , RB, RR, RV , RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}
b) La primera bola no se devuelve.
E = {BR, BV, BN , RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}
8.- Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarillas y siete verdes. Se extrae una al azar de que:
a) Sea roja .
p(roja) = 8/20 = 0,4
b) Sea verde.
p(no roja) = 1-p(roja) = 1-0,4 = 0,6
c) Sea amarilla.
p(verde) = 7/20 = 0,35
d) No sea roja.
p(amarilla) = 5/20 = 0,25
e) No sea amarilla.
p(no amarilla) = 1-p(amarilla) = 1-0,25 = 0,75

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(Basado en VITUTOR)
9.- Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio
muestral y hallar la probabilidad de :
E = {RR, RB, BR, BB}
a) Extraer las dos bolas con reemplazamiento.
p(RR) = p(R)*p(R) = 3/10*3/10 = 3/100
p(BB) = p(B)*p(B) = 7/10*7/10 = 49/100
p(RB) = p(BR) = p(R)*p(B) = 3/10*7/10 = 21/100
b) Sin reemplazamiento.
p(RR) = p(R)*p(R) = 3/10*2/9 = 6/90
p(BB) = p(B)*p(B) = 7/10*6/9 = 42/90
p(RB) = p(BR) = p(R)*p(B) = 3/10*7/9 = 21/90
10.- Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 5 negras, ¿cuál es la probabilidad
de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
p(R U B) = p(R) + p(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5
p(noB) = 1-p(B) = 1-5/15 = 10/15 = 2/3
11.- En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44
alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:
a) Sea hombre.
p(hombre) = 15/45 = 1/3
b) Sea mujer morena.
p(mujer morena) = 20/45 = 4/9
c) Sea hombre o mujer.
p(hombre U mujer) = 15/45 + 30/45 = 45/45 = 1

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12.- En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la
probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:
a) Si se saca una papeleta.
p(C)= 8/20 = 2/5
b) Si se extraen dos papeletas.
p(C-)+p(-C) = p(C U C) = 8/20 + 8/20 - 8/20*7/19 = 8/20 * (2-7/19) = 2/5*31/19 = 62/95
O bien: 1-p(2B) = 1-(12/20*11/19) = 62/95
c) Si se extraen tres papeletas.
1-p(3B) = 1-(12/20*11/19*10/18) = 1-1320/6840 = 1-11/57 = 46/57
13.- Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La
probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10 . Determinar la probabilidad de que
al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5
14.- Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una
pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de
que la maten?
p(A)= 2/5
p(B) = 1/2
p(A ∩ B) = p(A) * p(B) = 2/5*1/2 = 2/10 = 1/5
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 2/5 + 1/2 - 1/5 = 7/10
15.- Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen
los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los
ojos castaños.
A={Hombre} ,, p(A) = 10/30 = 1/3
B={Castaños} ,, p(B) = (5+10)/30 = 15/30 = 1/2
p(A ∩ B) = p(A) * p(B) = 1/3*1/2 = 1/6

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p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 1/3 + 1/2 - 1/6 = 4/6 = 2/3
16.- La probabilidad de que un hombre viva 20 años es 1/4, y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide
calcular la probabilidad :
a) De que ambos vivan 20 años.
p(A ∩ B) = p(A) * p(B) = 1/4*1/3 = 1/12
b) De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
p(A ∩ noB) = p(A) * p(noB) = p(A) * [ 1 - p(B) ] = 1/4*(1-1/3) = 1/4 * 2/3 = 2/12 = 1/6
c) De que ambos mueran antes de los 20 años.
p(noA ∩ noB) = p(noA) * p(noB) = [ 1 - p(A) ] * [ 1 - p(B) ] =
= (1-1/4)*(1-1/3) = 3/4 * 2/3 = 6/12 = 1/2
17.- Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces.
Casos favorables = { xxcc, xcxc, xccx, cxxc, cxcx, ccxx} = 6
Casos posibles = VR 2 4 = 24 = 16
p(2x) = 6/16 = 3/8
18.- Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de
antemano se sienten juntas?
Si a y b van juntos se pueden considerar como un solo elemento. Así, x+y = 8.
Casos favorables = {xaby, xbay} = P 9 + P 9 = 2 * 9!
Casos posibles = P 10 = 10! = 10*9!
p(xaby) = (2*9!)/(10*9!) = 2/10 = 1/5
19.- Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:
a) 4 ases.
Casos favorables = Cuatro de las cartas son ases * Todas las posibilidades para la quinta carta =

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(Basado en VITUTOR)
= 1 * (52-4) = 48
Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] =
= 52*51*50*49*48 / 5!
p(4A) = 48 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 5! / (52*51*50*49) = 1/54.145
b) 4 ases y un rey.
Casos favorables = Cuatro de las cartas son ases * La quinta carta es un rey =
=1*4=4
Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] =
= 52*51*50*49*48 / 5!
p(4A+R) = 4 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 4 * 5! / (52*51*50*49*48) = 1/649.740
c) 3 cincos y 2 sotas.
Casos favorables = Tres de las cartas son cincos * Las otras dos cartas son sotas =
= C 4 3 * C 4 2 = 4!/[3!*1!] * 4!/[2!*2!] = 4 * 6 = 24
Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] =
= 52*51*50*49*48 / 5!
p(35+2S) = 24 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 24*5! / (52*51*50*49*48) = 1/108.290
d) Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
Casos favorables = Un 9, un 10, una sota, un caballo y un rey =
= 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024
Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] =
= 52*51*50*49*48 / 5!
p(9,10,S,C,R) = 1024 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 1024*5! / (52*51*50*49*48) = 64/162.435
e) 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
Casos favorables = Tres de un palo y dos de otro = 4*C 13 3 * 3*C 13 2 =
= 4*13!/[3!*10!] * 3*13!/[2!*11!] = 4*13*12*11*10!/[6*10!] * 3*13*12*11!/[2*11!] =
=(2*13*12*11/3) * (3*13*12/2) = 13*12*11*13*12

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Probabilidad (Problemas resueltos)
(Basado en VITUTOR)
Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] =
= 52*51*50*49*48 / 5!
p(3x+2y) = 13*12*11*13*12 / [52*51*50*49*48 / 5!] =
= 13*12*11*13*12*5! / (52*51*50*49*48) = 13*3*11 / 4.165 = 429 / 4.165
f) Al menos un as.
p(al menos 1 as) = 1 - p(ningún as)
Casos favorables = Combinaciones de 48 (no ases) en grupos de 5 = C 48 5 =
= 48! / [5! * 43!] = 48*47*46*45*44*43! / [5! * 43!] = 48*47*46*45*44 / 5!
Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] =
= 52*51*50*49*48 / 5!
p(ningún as) = (48*47*46*45*44 / 5!) / (52*51*50*49*48 / 5!) =
= (48*47*46*45*44) / (52*51*50*49*48) = (47*46*45*44) / (52*51*50*49) =
= (47*46*45*44):120 / (52*51*50*49):120 = 35.673 / 54.145
p(al menos 1 as) = 1 - p(ningún as) = 1 - 35.673 / 54.145 = 18.472/54.145