El documento describe varias distribuciones de probabilidad como la binomial, Poisson y normal. La distribución binomial modela experimentos con una sucesión de pruebas de Bernoulli independientes. La distribución de Poisson modela el número de eventos aleatorios que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio. La distribución normal es una de las más importantes y describe muchas cantidades físicas.

1. Un experimento muy común es observar una característica dicotómica. Distribución Bernoulli E(X) = 1 .p + 0 . (1 - p ) = p

2. a) El experimento consiste en n pruebas o repeticiones Bernoulli con n fijo. b) Las pruebas son independientes, es decir el resultado de una prueba no influye sobre el de cualquier otra. c) La probabilidad de éxito se mantiene constante de prueba en prueba y se denotará p. Experimento binomial Muchos experimentos satisfacen las siguientes condiciones:

3. Una sucesión de pruebas Bernoulli genera la variable aleatoria binomial X es el número de veces que ocurre el atributo A X es el número de éxitos DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Los valores que puede tomar X es: X ~B(n,p)

4. De una urna que contiene 8 bolas blancas y 12 negras, se extraen con reemplazo, 5 bolas. La variable que contabiliza el número de bolas blancas extraídas es una variable aleatoria binomial. X cuenta el número de éxitos en este caso el número de bolas blancas extraídas. EJEMPLO 1 Los parámetros de esta distribución binomial son:

5. La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X Binomial DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

6. ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE BINOMIAL

7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL p(x) x n =12 p = 0.7

8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL p(x) x n =12 p = 1/2

9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

10. Función de probabilidad X se distribuye en forma binomial con parámetros n y p Media: μ =n p Varianza: σ 2 = n p q n es el número de repeticiones p es la probabilidad de éxito Función de probabilidad acumulada

12. X cuenta el número de éxitos en este caso el número de bolas blancas extraídas. EJEMPLO 2 Los parámetros de esta distribución binomial son:

14. EL PROCESO DE POISSON Es una sucesión de fallas o acontecimientos puntuales, que ocupan individualmente, una porción despreciable en un medio continuo. Ese medio continuo puede ser un intervalo dado o una región específica.

15. EL PROCESO DE POISSON El intervalo dado puede ser de cualquier longitud, como un minuto, un día, una semana, etc. La región específica podría ser un segmento, un área, etc. Genera valores para la v. a. X que representa por ejemplo: el numero de llamadas telefónicas por hora que recibe una oficina.

16. EL PROCESO DE POISSON De modo que la probabilidad de que ocurra un número dado X de fallas en una extensión T de continuo es independiente de la posición de T dentro del continuo y de la ocurrencia de fallas en otros tramos, esto es, que las fallas no se producen en “cadenas” y el proceso “no tiene memoria”.

18. λ= TASA DE FALLAS (RESULTADOS) O PROMEDIO DE FALLAS (RESULTADOS) POR UNIDAD DE CONTINUO. UNA UNIDAD DE CONTINUO PUEDE SER UN INTERVALO, UNA REGION ESPECÍFICA.

19. DISTRIBUCIÓN DE POISSON Fijada la extensión t del continuo, el número de fallas X (acontecimientos o resultados) que pueden encontrarse en ella es una variable aleatoria, denominada variable de POISSON , cuya media o esperanza es

20. DISTRIBUCIÓN DE POISSON La probabilidad de encontrar x fallas en la extensión t está dada por:

21. EJEMPLO 4 El proceso productivo de un tipo de tela produce fallas a una tasa de 1.2 fallas cada 100 metros y se bobina en rollos de 80 metros. Definiremos como rollo de Primera Calidad aquel que tiene una falla o ninguna, de Segunda Calidad que tiene 2 fallas y de rechazo el que tiene 3 ó más fallas. Calculemos las probabilidades para cada una de estas calidades.

22. X : Número de fallas

24. DISTRIBUCIÓN NORMAL Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución normal, con media  y varianza  2 si X es continua y su función de densidad es: Se puede demostrar que esta función cumple las propiedades de una densidad.

25. DISTRIBUCIÓN NORMAL µ- σ µ µ+ σ

26. DISTRIBUCIÓN NORMAL

27. DISTRIBUCIÓN NORMAL La esperanza y la varianza son los parámetros de la distribución.

28. DISTRIBUCIÓN NORMAL

29. Valor Medio o Esperado Factor de posición

30. Desvío Estándar Factor de dispersión

31. DISTRIBUCIÓN NORMAL Y= aX + b variable aleatorias independientes

32. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

33. Estandarización de una variable aleatoria normal

34. Uso de tablas de la distribución normal

35. Uso de tablas de la distribución normal

36. Uso de tablas de la distribución normal

37. Uso de tablas de la distribución normal

38. Uso de tablas de la distribución normal

39. Uso de tablas de la distribución normal

40. Uso de tablas de la distribución normal

41. Uso de tablas de la distribución normal

42. Suponga que X  N ( 5,4). Calcular la probabilidad P( 1< X <8) EJEMPLO

43. En general si X  N (  ,  2 ) para k> 0 1  2 x 10 -23 10 1  6 x 10 -7 5 0.99994 4 0.9974 3 0.9544 2 0.6826 1 p k k