En 3 oraciones: 1) El documento describe el cálculo del momento de inercia de un eslabón dividido en 12 segmentos usando el teorema de Steiner. 2) Se determina el centro de masa y la densidad lineal del material, y se calcula el momento de inercia para los ejes X, Y y Z usando las fórmulas integrales apropiadas. 3) Los resultados de los cálculos se comparan con los obtenidos en SolidWorks para verificar la precisión de los mismos.

1. Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas
MECATRONICA IX
ROBOTICA II
Calculo del momento de inercia de un eslabón.
Responsable de la asignatura: Dr. Miguel Gabriel Villarreal Cervantes
Alumno: Rodríguez Ramírez Juan de Dios
Grupo: 9MV1
México, D.F. 28 de agosto 2010.

2. Part I
Desarrollo:
0.1 Centro de masa:
Para calcular el centro de masa, se divide el eslabón en 12 segmentos, con la siguiente ecuación se puede determinar
el centro de masa en Y y en X, siempre y cuando la densidad de masa sea constante por unidad de área:
AT YT =
nX
i=1
AiYi; AT XT =
nX
i=1
AiXi;
y1 = 10:625 21:25
3 = 9: 791 666 7
y2 = 10:625 21:25
3 = 9: 791 666 7
y in x in area in2
y1 = 9: 791 666 7 x1 = 0:833 333 33 A1 = 0:78125
y2 = 9: 791 666 7 x2 = 2: 166 666 7 A2 = 0:78125
y3 = 0:833 333 33 x3 = 0:833 333 33 A3 = 0:78125
y4 = 0:833 333 33 x4 = 2: 166 666 7 A4 = 0:78125
y5 = 10:0 x5 = 1:5 A5 = 0:625
y6 = 0:625 x6 = 1:5 A6 = 0:625
y7 = 8:75 x7 = 1:5 A7 = 3:75
y8 = 2 x8 = 1:5 A8 = 4:5
y9 = 5: 437 5 x9 = 0:1875 A9 = 2:015625
y10 = 5: 437 5 x10 = 2:8125 A10 = 2:015625
y11 = 9:375 x11 = 1:5 A11 = 0:604072
y12 = 1:375 x12 = 1:5 A12 = 0:92459035
para obtener el área total se suman todas las áreas:
AT = A1 + A2 + A2 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 = 15: 127 588 in2
y se obtiene que el área total es AT = 15: 127 588 in2
la placa tiene un espesor de 0:375 in por lo tanto el volumen total es de:
AT 0:375 = 15: 127 588 0:375 = 5: 672 845 5 in3
= 5: 672 845 5 25:43
= 92961: 282 mm3
si el material es de aluminio = 2700 kg
m3 la masa de todo el eslabón es de:
m=2:7 10 6
92961: 282 = 0:250 995 46 kg
y el centro de masa es:
AT xT = A1 x1+A2 x2+A3 x3+A4 x4+A5 x5+A6 x6+A7 x7+A8 x8+A9 x9+A10 x10+A11 x11+A12 x12 =
22: 691 382
xT =22: 691 382
15: 127 588 = 1: 5 in
AT yT = A1 y1 +A2 y2 +A3 y3 +A4 y4 +A5 y5 +A6 y6 +A7 y7 +A8 y8 +A9 y9 +A10 y10 +A11 y11 +A12 y12 =
80: 040 123
yT =80: 040 123
15: 127 588 = 5: 291 003 6 in
yT = 5: 291 003 6 in xT = 1: 5 in
yT = 134: 391 49 mm xT = 38: 1 mm
2

3. 1 Calculo de Momento de inercia:
Por de…nición el momento de inercia de un material se de…ne como I =
R
m
r2
dm donde r es la distancia que existe
entre el centro de giro y el diferencial de masa, si se supone un objeto de 3 dimenciones, en coordenadas cartesianas
se obtiene lo siguiente:
IX =
R
y2
+ z2
dm si se gira sobre el eje x
IY =
R
x2
+ z2
dm si se gira sobre el eje y
IZ =
R
x2
+ y2
dm si se gira sobre el eje z
De manera general, si el cuerpo rota sobre el eje "o" se tiene que:
Io =
Z
x2
+ y2
+ z2
dm
Para el caso particular cuando el eslabón tiene una distribución lineal por unidad de área constante, debido a
la simetría del cuerpo se puede analizar al elemento como si no tuviera espesor, por lo que se pueden hacer las
siguientes simpli…caciones:
IX =
R
y2
+ z2
dm =
R
y2
dm +
R
z2
dm
pero se sabe que
R
z2
dm = 0 por lo tanto:
IX =
Z
y2
dm
IY =
Z
x2
dm
IZ =
R
x2
+ y2
dm =
R
x2
dm +
R
x2
dm
IZ = IX + IY
Se puede asignar una distribución de masa lineal en función del área, debido a que el espesor de todo el material
es constante, y también la densidad:
I =
R
m
r2
dm =
R
m
r2
areadA = area
R
m
r2
dA; donde
R
m
r2
dA es el momento de inercia de un área.
para el teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos:
IX =
nX
i=1
(Ii + mid2
i ) ! IX =
nX
i=1
(Ii + areaAid2
i ) ! IX = area
nX
i=1
(Iarea i + Aid2
i )
1.1 Para la densidad
Se sabe que la densidad del aluminio es aproximadamente de 2700
Kg
m3
; también se conoce el espesor del eslabón,
por lo que se puede asignar una densidad lineal a cada in2
del eslabón.
Al = 2700
Kg
m3
= 2700 2:54 10 2
1
3
= 4: 424 507 3 10 2 kg
in3 el espesor de la placa de aluminio es de 0:375
in
Multiplicando el espesor con la densidad del aluminio se obtiene la densidad lineal de masa por unidad de área:
areaAl = 4: 424 507 3 10 2 kg
in3 0:375in = 1: 659 190 2 10 2 kg
in2
Así se podrán utilizar las formulas de momentos de área para realizar los cálculos, y posteriormente multiplicarlos
por la densidad correspondiente.
3

4. 1.2 Para el eje X:
Calculando los momentos de inercia de cada una de las áreas se tienen los siguientes resultados:
I1 = 6: 781 7 10 2
I2 = 6: 781 7 10 2
I3 = 6: 781 7 10 2
I4 = 6: 781 7 10 2
I5 = 8:13802083 10 2
I6 = 8:13802083 10 2
I7 = 0:48828125 I8 = 0:84375 I9 = 4:852722
I10 = 4:852722 I11 = 2:90381 10 2
I12 = 6:8028179 10 2
y para aplicar el teorema de los ejes paralelos se calcula la distancia de los centroides de cada una de las …guras
hacia el centro de masa:
y1 yT =d1 = 4: 500 663 1 y2 yT =d2 = 4: 500 663 1 y3 yT =d3 = 4: 457 670 3
y4 yT =d4 = 4: 457 670 3 y5 yT =d5 = 4: 708 996 4 y6 yT =d6 = 4: 666 003 6
y7 yT =d7 = 3: 458 996 4 y8 yT =d8 = 3: 291 003 6 y9 yT =d9 = 0:146 496 4
y10 yT = d10 = 0:146 496 4 y11 yT =d11 = 4: 083 996 4 y12 yT =d12 = 3: 916 003 6
…nalmente se sustituyen los valores:
Ixarea =
12X
i=1
(Ii + Aid2
i ) = A1d2
1 + A2d2
2 + A3d2
3 + A4d2
4 + A5d2
5 + A6d2
6 + A7d2
7 + A8d2
8 + A9d2
9 + A10d2
10 +
A11d2
11 + A12d2
12 + I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 + I8 + I9 + I10 + I11 + I12 = 171: 171 22 in4
el momento de inercia de el material en el eje X es de:
171: 171 22 1: 659 190 2 10 2
= 2: 840 056 1
Ix = areaAl Ixarea = 1: 659 190 2 10 2 kg
in2
171: 171 22 in4
= 2: 840 056 1 kg in2
25:42 mm2
in2 = 1832: 290 6 kg mm2
1.3 Para el eje Y:
Calculando los momentos de inercia de cada una de las áreas se tienen los siguientes resultados:
I1 = 6: 781 7 10 2
I2 = 6: 781 7 10 2
I3 = 6: 781 7 10 2
I4 = 6: 781 7 10 2
I5 = 1: 302 083 3 10 2
I6 = 1: 302 083 3 10 2
I7 = 2: 812 5 I8 = 3: 375 I9 = 2: 362 060 5 10 2
I10 = 2: 362 060 5 10 2
I11 = 2:90381 10 2
I12 = 6:8028179 10 2
y para aplicar el teorema de los ejes paralelos se calcula la distancia de los centroides de cada una de las …guras
hacia el centro de masa:
d1 = x1 xT = 0:666 666 67 d2 = x2 xT = 0:666 666 7 d3 = x3 xT = 0:666 666 67
d4 = x4 xT = 0:666 666 7 d5 = x5 xT = 0:0 d6 = x6 xT = 0:0
d7 = x7 xT = 0:0 d8 = x8 xT = 0:0 d9 = x9 xT = 1: 312 5
d10 = x10 xT = 1: 312 5 d11 = x11 xT = 0:0 d12 = x12 xT = 0:0
Iyarea =
12X
i=1
(Ii + Aid2
i ) = A1d2
1 + A2d2
2 + A3d2
3 + A4d2
4 + A5d2
5 + A6d2
6 + A7d2
7 + A8d2
8 + A9d2
9 + A10d2
10 + A11d2
11 +
A12d2
12 + I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 + I8 + I9 + I10 + I11 + I12 = 14: 768 332 in4
el momento de inercia de el material en el eje Y es de:
Iy = areaAl Iyarea = 1: 659 190 2 10 2
14: 768 332 = 0:245 034 72 kg in2
= 158: 086 60kg mm2
1.4 Para el eje Z
Por de…nición, basta con hacer la suma de los momentos de inercia de Ix + Iy
Iz = Ix + Iy; Iz = 1832: 290 6 kg mm2
+ 158: 086 60 kg mm2
= 1990: 377 2 kg mm2
1.5 Comprobación con SolidWorks
Se dibujo la pieza en solidworks, se puede observar que los parámetros que se calcularon son muy aproximados a
los que aparecen en la imagen.
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5. 5