Este documento presenta diferentes casos de factorización de polinomios. Explica cómo factorizar cuando hay un factor común, agrupar términos con un factor común, expresar trinomios como cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados perfectos, trinomios de la forma x2 + bx + c, y suma o diferencia de cubos perfectos. Incluye ejemplos y ejercicios para cada caso.

1. GUÍA DE FACTORIZACIÓN
CASO 1: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común
Ejemplos : a) 3 a + 5 ab - 4 ac = a(3 + 5 b – 4 c) b) a2 + 2 a = a(a + 2)
c) 10 a2 – 5 a + 15 a3 = 5 a ( 2 a – 1 + 3 a2) d) x4 + x3 - x2 = x2(x2 + x – 1)
Ejercicios: 1) 3x2-15 2) 8x3 - 8x2 - 16x 3) 3mn3 + 3mn -6m 4) 3x3-9xy+3x2y2-3x2y
5) 3a2b + 6ab – 5a3b2 + 8a2bx + 4ab2m 6) 34ax2 + 51a2y – 68a y2 7) 4x2 – 8x + 2
8) x – x2 + x3 – x4 9) a2 –2a3 + 3a4 – 4a5 + 6a6 10) a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2
CASO 2: Factor común por agrupamiento de términos
Ejemplos: a) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + ( ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a +b) (x + y)
b) 3m2 – 6mn + 4m – 8n = (3m2 – 6mn) + (4m – 8n) = 3m(m – 2n) + 4(m – 2n)
= (m – 2n) (3m +4)
c) 2x2 – 3xy – 4x + 6y = (2x2 – 3xy) – (4x – 6y) = x(2x– 3y) – 2(2x – 3y) = (2x – 3y) (x- 2)
Ejercicios: 1) 3ax – 3x + 4y – 4ay 2) a2 + ab + ax + bx 3) am – bm + an – bn
4) ax – 2bx – 2ay + 4by 5) x2 – a2 + x – a2x 6) 4a3 – 1 – a2 + 4a 7) x + x2 – xy2 – y2
8) 3a2 –7b2x + 3ax –7ab2 9)2am – 2an +2a – m + n – 1 10)3ax – 2by – 2bx –6a +3ay + 4b
CASO 3 Trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos:
a) m2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)2 b) 4x2 – 20xy + 25y2 =(2x – 5y)(2x- 5y) = (2x – 5y)2
c) 1 – 16x2 + 64a2x4 = (1 – 8ax2)(1- 8ax2) = (1- 8ax2)2 d) x2 + bx + b2 =(x + b )(x + b) = (x + b )2
4 2 2 2
Ejercicios: 1) 9 – 6x + x2 2) a2 – 10a + 25 3) 16 + 40x2 + 25x4 4) 4x2 – 12xy + 9y2
5) 9b2 – 30a2b + 25a4 6) 9a2+6a+1 7) 25m2-70mn +49n2 8) 400x10 + 40x5 + 1
CASO 4: Diferencia de cuadrados perfectos
Ejemplos: a) 1 – a2 = (1 + a) (1 – a) b) 16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) (4x – 5y2)
c) 4a2 – 9 = (2a + 3)(2a – 3) d) 25 – 36x4 = (5 +6x2) (5 – 6x2) e) 16 – n2 = (4 +n)(4 –n)
1 2 1 12 3 2 9 2
Ejercicios: 1) 25y6-9 2) 9z2-1 3) 121h2 - 144k2 4) x - y 5) x y - xy
256 25 4 8
6) 100 – x2y6 7) 4x2 – 81y4 8) 25x2y4 – 121 9) 100m2n4 – 169y6 10) a2 – 25
COMBINACIONES DE LOS CASOS 3 Y 4
Ejemplos:
a) a2 + 2ab + b2 – 1 = (a2 + 2ab + b2) – 1 = (a + b)2 – 1 = (a+b +1) (a +b – 1)
b) a2 – 2am + m2 – 4b2 = (a2 – 2am + m2) – 4b2 =(a – m)2 – 4b2 = (a – m + 2b)(a –m – 2b)
Ejercicios: 1) a2 + 2ab + b2 – x2 2) a2 – 2a + 1- b2 3) a2 + 2ax + x2 – 4 4) n2 + 6n + 9 -c2
5) 9 –10n + 25 – n2 6) m2 – x2 – 2xy – y2 7) 9a2 – x2 + 2x – 1 8) 1 – a2 + 2ax – x2

2. CASO 5 : Trinomio de la forma x2 + bx + c
Ejemplos: a) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) b) x2 + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2)
c) y2 –8y + 15 = (y – 5) (y – 3) d) x2– 2x –15=(x – 5) (x + 3) e)x2 – 7x+ 12=(x –3)(x – 4)
f) x4 – 5x2 – 50 = (x2 – 10) (x2 + 5) g) x6 + 11x3 – 44 =(x3 + 11) (x3 – 4)
Ejercicios: 1) x2 – 5x – 14 2) x2 – 13x + 40 3) y2 – 9y + 20 4) n2 – 6n – 40
5) x2 – 7x – 30 6) 14 + 5n – n2 7) 21a2 + 4ax – x2 8) x6 – 6x3 – 7 9) x8 + x4 – 240
10) x4 + 5x2 + 4 11) x4 + 7ax2 – 60a2 12) a4b4 –2a2b2 – 99 13) 48 + 2x2 – x4
CASO 6 : Trinomio de la forma ax2 + bx +c
Ejemplos : a) 6x2 – 7x – 3 = (3x + 1)(2x – 3) b) 20x2 + 7x – 6 = (4x +3)(5x – 2)
c) 18a2 – 13a – 5 = (18a + 5)(a – 1) d) 7m2 – 23m + 6 = (7m - 2)(m – 3)
Ejercicios: 1) 2x2 + 3x – 2 2) 12x2 – x – 6 3) 3x2 – 5x – 2 4) 8x2 – 14x – 15
5) 2x2 + 29x + 90 6) 7x2 – 44x – 35 7) 9x2 + 10x + 1 8) 4x2 + x – 33
9) 4x2 + 15x + 9 10) 21x2 + 11x – 2 11) 9x2 + 37x + 4 12) 16m + 15m2 – 15
FACTORIZACION DE SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Ejemplos:
1) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 – ab + b2) 2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
3) x3 - 8 = ( x – 2) (x2 + 2x + 4) 4) 27x3 + b6 = (3x + b2)(9x2 – 3xb2 + b4)
5) 8x3 – 125 =(2x – 5)(4x2 + 10x + 25) 6) 27m6 + 64n9 =(3m2 + 4n3)(9m4 –12m2n3 + 16n6)
1. Trabajo en mi cuaderno: Expreso como un producto de tantos factores como sea
posible:
a) 3b – 6x = b) 5x – 5 = c) 20u2 – 55u =
d) 16x – 12 = e) 6x –12y + 18 = f) 15x + 20y – 30 =
g) 14c – 21d – 35 = h) 152x2yz – 114xyz2 = i) 30m2n2 + 75mn2 –
105mn3 =
j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx = k) 4g2 + 2gh = l) 25a – 30ab + 15ab2 =
2. Factorizo las siguientes expresiones algebraicas, para ello agrupo adecuadamente:
a) a(x + 1) + b ( x + 1 ) = b) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = c) x2( p + q ) – y2( p + q ) =
d) ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = e) ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = f) a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
g) (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = h) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = i) a( a + b ) - b ( a + b ) =
j) (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )= k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =
l) 21ax + 35ay + 20y + 12x = m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by =
n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d = o) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 =

3. 3. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas, si es necesario, más de una vez:
a) m2 – 64 = b) 144y2 – 256 = c) 144 – 9x2 =
d) 25x6 – 4y4 = e) 4a2p2 – 16b2q2 = f)( xy)2 – 36 =
g) 81x4 – 16y4 = h) 225 - 25x6 = i) x2y4 – x4y4 =
4. Expreso como un producto los siguientes trinomios:
a) x2 + 6x + 8= b) x2 – 16x + 63 = c) x2 + 10x – 56= d) x2 –13x – 48 =
e) y2 – 7y – 30= f) x2 – 14x + 48= g) x2 – 5x – 84= h) x2 + 27x + 180=
i) x2 + 7x – 120= j) x2 – 30x + 216= k) x2 – 7x – 60 = l) x2 + 14x - 51=
5. Expreso como un cuadrado de binomio:
a) g2 + 2gh + h2 = b) 225 – 30b + b2 = c) x2 + 2xy + y2 = d) p2 – 2pq + q2 =
e) a2 – 2a + 1 = f) m2 – 6m + 9= g) 9x2 –12xy + 4y2 = h) 36n2 + 84pn + 49p2 =
i) 422 = j) 742 = k) 832 = l) 1262 =