Unidad didactica integrales

Unidad Didáctica:
Integrales Definidas.
Aplicaciones.
Curso2009-2010
Esther García-Ligero Ramírez
IES Álvarez Cubero

I n t e g r a l e s D e f i n i d a s . A p l i c a c i o n e s . E s t h e r G . L . R . Página1
CONTENIDO:
I. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN
II. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
III. CONTENIDOS
IV. COMPETENCIAS A TRABAJAR EN LA
UNIDAD
V. TEMPORALIZACIÓN
VI. METODOLOGÍA
VII. DESARROLLO DE LA UNIDAD.
ACTIVIDADES
VIII. EVALUACIÓN
IX. BIBLIOGRAFÍA

I. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN
A partir de la experiencia docente, he podido constatar cómo tanto el tema de
Integrales Definidas como el de Geometría en el Espacio, presentan una dificultad
añadida para los alumnos de Ciencias de la Salud, ya que al no cursar la asignatura de
Dibujo Técnico, les resulta muy complicado “ver”, en el caso de Integrales Definidas, la
superficie de la que tienen que calcular el área y en el caso de la Geometría en el
Espacio, el propio espacio.
Por otra parte, la asignatura de Matemáticas II, de Segundo de Bachillerato resulta
bastante compleja para el alumnado. En primer lugar, el temario a desarrollar es muy
extenso y el tiempo resulta escaso. En segundo lugar, los estamos iniciando en las
Matemáticas superiores, por lo que el alumno se enfrenta al lenguaje formal y al rigor
de los razonamientos; en la capacidad de abstracción, ya que están basadas en el
estudio de patrones y relaciones inherentes a estructuras abstractas; y en problemas,
donde se aplica de forma directa la teoría y la deducción lógica para su resolución.
Por lo tanto, resulta natural, que aunque en esta asignatura se desarrollen temas
muy atractivos para que el profesor pueda realizar actividades innovadoras y de
acercamiento a las matemáticas a través de otras vías o de problemas reales o
relacionados con otras asignaturas; casi siempre nos ceñimos a la explicación y la
realización de ejercicios, con los ojos puestos en la Selectividad.
Quizás, por todo ello, pensamos que sería una buena idea seleccionar el tema de
“Integral Definida. Aplicaciones” como unidad didáctica a desarrollar utilizando la
Calculadora Casio ClassPad, para el curso de Bachillerato de Ciencias de la Salud. Esta
unidad es la última dentro del bloque de análisis matemático, que se imparte durante
parte la tercera evaluación.
Aunque en selectividad no se permite el uso de calculadoras gráficas, pienso que la
incorporación de la ClassPad al aula de segundo de bachillerato puede ser
conveniente. Independientemente de las prestaciones que presenta, servirá de apoyo

en el desarrollo del tema. Será el complemento que ayudará a los alumnos a mejorar la
comprensión de los conceptos, afianzar los conocimientos y resolver problemas
complejos, ya que al ser el último tema de un bloque, los problemas que se pueden
plantear son una recopilación de todo lo aprendido en él. Las matemáticas son una
ciencia viva que ha ido evolucionando a través de la historia, por ello debe adaptarse a
los nuevos tiempos y utilizar las nuevas herramientas que hay a su disposición.
II. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
 Conocer y comprender la interpretación geométrica de la integral definida de
una función, el área como límite de las sumas superiores e inferiores.
 Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto al
integrando y conocer la propiedad aditiva con respecto al intervalo de
integración.
 Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al
integrando.
 Conocer la noción de función integral, o función área, y saber el teorema
fundamental del cálculo integral.
 Saber la Regla de Barrow y aplicarla para calcular la integral definida de una
función.
 Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.

III. CONTENIDOS
 Concepto de integral definida.
 Propiedades.
 Expresión del área de una figura plana conocida, mediante una integral.
 Función integral. Teorema fundamental del cálculo integral.
 Regla de Barrow.
 Calculo de área entre una curva y el eje X.
 Calculo de área delimitada entre dos curvas.
 Aplicaciones a otras áreas.
 Volúmenes de cuerpos de revolución.
IV. COMPETENCIAS
Esta unidad didáctica se diseña en el Marco Europeo del trabajo por Competencias
que desarrolla al alumnado de segundo de bachillerato de cara a la incorporación
universitaria y laboral en un sistema multicultural cambiante y muy afectado por las
nuevas tecnologías. Esto conlleva la necesidad de desarrollar Competencias en dicho
alumnado que de forma integral, crítica y reflexiva le permiten adaptarse a los
cambios.
Realizado un análisis de contenidos se extraen como dimensiones de indicadores
significativos para esta programación los siguientes:
 Competencia matemática:
 Dominar los conceptos de integral definida y de área de un recinto.

 Capacidad de utilizar los distintos conceptos y herramientas
matemáticas aprendidas para resolver problemas y obtener
conclusiones.
 Aplicar lo aprendido a otros campos del conocimiento.
 Competencia comunicación lingüística:
 Entender y saber extraer del texto de un problema la información
necesaria para resolverlo.
 Expresar las ideas y razonamientos seguidos para la resolución de
problemas, así como las conclusiones obtenidas.
 Competencia en el conocimiento e interacción con el medio físico:
 Utilizar las técnicas de la integración en la resolución de diferentes
problemas de aplicación real generados por fenómenos dinámicos de
diferentes áreas del conocimiento como Física, Economía, Ingeniería,
Medicina y Biología.
 Utilizar las integrales definidas para calcular áreas de figuras
geométricas conocidas.
 Competencia social:
 Ser cociente de la utilidad de los conocimientos sobre integrales
definidas para: evaluar temperaturas de lugares fríos, cantidad
dosificada de insulina para un diabético, número de bacterias en un
cultivo, modelos de situaciones de mercado…
 Competencia cultural y artística:
 Descubrir cómo se generan volúmenes a partir de un cuerpo de
revolución. Ser capaces de reconocer figuras semejantes en diferentes
manifestaciones artísticas: escultura, arquitectura, pintura.
 Competencia en el tratamiento de información y competencia digital:
 Dominar el uso de la calculadora como ayuda para la resolución de los
problemas planteados en la unidad.
 Competencia para aprender a aprender:
 Ser capaz de aplicar la teoría de forma directa en la resolución de
problemas.

 Ser consciente de la definición de función integral y del significado del
teorema fundamental del cálculo.
 Ser capaz de sintetizar todo el análisis matemático aprendido, para
posteriormente aplicarlo a la resolución de problemas.
 Competencia autonomía e iniciativa personal:
 Utilizar los conocimientos adquiridos y elegir el procedimiento óptimo
para la resolución de problemas.
 Abordar los problemas utilizando diferentes vías, para observar que
ello no supone un cambio en su solución.
 Poder calcular un área dibujando el recinto y realizando la integral
definida correspondiente.
V. TEMPORALIZACIÓN
Se prevé dedicarle aproximadamente doce clases. Durante esas doce horas se
procederá a la explicación de la unidad y a la resolución de los correspondientes
ejercicios. Esto es algo aproximado, ya que nos encontramos, por una parte, que al
haber explicado con anterioridad el tema de “Integrales Indefinidas”, conocen los
métodos de integración y ello nos facilita la labor. Pero por otra parte, al introducir en
la explicación el uso de la calculadora, puede conllevar un retraso en el desarrollo del
tema, ya que esto es algo novedoso para ello y requiere el uso del ordenador para
utilizar el emulador.
Aquí no se van a poder plasmar todos los ejercicios que realizarán los alumnos en
clase para obtener un cierto manejo en el cálculo de integrales definidas, por lo que
mostraremos algunos ejemplos más significativos.

VI. METODOLOGÍA
La metodología que se va a utilizar será eminentemente activa, orientada a estimular
el espíritu crítico de los alumnos e impulsar un clima favorable de participación.
Se procurará obtener el interés y la utilidad de los conceptos enseñados. El
aprendizaje se realizará de modo reflexivo, para que el alumnado pueda alcanzar sus
propias conclusiones respecto a lo aprendido.
Los contenidos servirán para afianzar los adquiridos durante cursos anteriores y
prepararlos para la Universidad.
En el aula se alternarán las explicaciones tradicionales y el uso del emulador
ClassPad Manager, como soporte de las explicaciones del profesor y especialmente
para la realización de ejercicios. Unas veces se usará la calculadora para “corregir” los
ejercicios y comprobar si su realización ha sido correcta y en otros casos, para efectuar
el ejercicio completo con la calculadora, pero siempre explicando de forma clara y
razonada el planteamiento y los resultados, que deberán estar suficientemente
motivados indicando los pasos más relevantes del procedimiento utilizado.
Con el fin de que los alumnos consoliden los conocimientos adquiridos, se
distribuirá una recopilación de ejercicios de selectividad que podrán realizar en casa y
trabajarlos primero sin calculadora y posteriormente corregirlos con la calculadora. De
esta forma se consigue que refuercen sus conocimientos del tema y del uso de la
calculadora, a la vez que les otorga una cierta independencia en el proceso de
aprendizaje.
Para finalizar, se les plantearan problemas reales para que puedan tomar conciencia
de la utilidad de la integral definida.

VII. DESARROLLO UNIDAD. ACTIVIDADES
SESIÓN I
Introducción
¿Cómo se puede saber la cantidad dosificada de insulina para un diabético en
diferentes periodos? ¿Sabrías pronosticar el número total de bacterias de un cierto
cultivo para un instante determinado? ¿Y la temperatura promedio en el polo norte
durante un periodo de tiempo establecido? Conociendo la oferta de un producto, ¿qué
ganancias obtendrían los productores si aumentasen la producción una cierta
cantidad? ¿Qué trabajo realizará una fuerza ejercida sobre un cuerpo al que produce
un desplazamiento determinado?...
Tanto en Física, Medicina, Economía, Biología,… existen infinidad de funciones para
las cuales tiene gran relevancia calcular el área bajo su gráfica. En esto, nos vamos a
centrar en este tema, para ello utilizaremos únicamente funciones continuas.
Necesitaremos dos resultados obtenidos en temas anteriores:
1. Teorema de Weierstrass: Toda función continua 𝑓(𝑥) definida en un intervalo
cerrado [ 𝑎, 𝑏] alcanza un valor máximo y un valor mínimo en algún punto del
intervalo.
2. Consecuencia del teorema de Bolzano: Toda función continua 𝑓(𝑥) definida
en un intervalo cerrado [ 𝑎, 𝑏] toma todos los valores comprendidos entre el
mínimo y el máximo.
Aproximación al valor del área por rectángulos superiores e
inferiores
Supongamos la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) continua y que toma valores positivos, queremos
calcular el área encerrada por dicha curva, el eje X y las rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 .

Recinto cuya área queremos calcular
Vamos a obtener el área de dicho recinto, para lo cual consideramos el intervalo
[ 𝑎, 𝑏] dividido en 𝑛 partes no necesariamente iguales.
𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥 𝑛 = 𝑏
Por ser la función 𝑓(𝑥) continua en el intervalo [ 𝑎, 𝑏], lo será también en cada uno
de los subintervalos [ 𝑥0, 𝑥1] ; [ 𝑥1, 𝑥2] ;…; [ 𝑥 𝑖−1, 𝑥 𝑖] ;… ; [ 𝑥 𝑛−1, 𝑥 𝑛] y por tanto, según
vimos, alcanzará en cada uno de esos intervalos un máximo, 𝑀𝑖 para el intervalo
[ 𝑥 𝑖−1, 𝑥 𝑖] y un mínimo, 𝑚 𝑖 también para dicho intervalo.
Podemos aproximar el área mediante la suma de las áreas de los rectángulos con
base cada uno de los subintervalos y de altura el máximo valor que toma la función en
cada uno de ellos. Esta aproximación será por exceso y este exceso irá siendo menor,
como se puede observar en la gráfica, a medida que aumentemos el número de
puntos considerados en la partición.

El área será la suma de las áreas de todos los rectángulos:
∑ 𝑀𝑖 ∙ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1) = 𝑀1 ∙ ( 𝑥1 − 𝑥0) +
𝑛
𝑖=1
𝑀2 ∙ ( 𝑥2 − 𝑥1)+ ⋯+ 𝑀 𝑛 ∙ ( 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1)
Pero también podemos aproximar el área mediante la suma de las áreas de los
rectángulos con base cada uno de los subintervalos y de altura el mínimo valor que
toma la función en cada uno de ellos. Esta aproximación será por defecto y al igual
que antes, a medida que aumentemos el número de puntos considerados en la
partición, menor será la diferencia con el valor real del área.
El área será la suma de las áreas de los rectángulos:
∑ 𝑚 𝑖 ∙ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1) = 𝑚1 ∙ ( 𝑥1 − 𝑥0) +
𝑛
𝑖=1
𝑚2 ∙ ( 𝑥2 − 𝑥1) + ⋯ + 𝑚 𝑛 ∙ ( 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 )

Si el número de divisiones del intervalo [ 𝑎, 𝑏] aumentara y cada vez tuviéramos más
divisiones hasta hacer 𝑛 → ∞, el área así obtenida se aproximaría al área real.
Definición de Integral definida. Integral de Riemann
Para conseguir una mejor aproximación al área que buscamos, no sólo vamos a hacer
que el número de particiones aumente, también vamos a considerar en lugar del
máximo o mínimo de cada uno de los subintervalos, un valor intermedio 𝑓(𝑐𝑖) .
Por lo que definimos la integral definida de una función continua 𝑓(𝑥) en un
intervalo [ 𝑎, 𝑏], como:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = lim
𝑛→+∞
∑( 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1) ∙ 𝑓(𝑐𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
Donde 𝑎 es el límite inferior de integración, 𝑏 es el límite superior de integración
(𝑎 < 𝑏) y la función 𝑓(𝑥) es el integrando.
El signo del valor de la integral definida, va a depender de los valores que tome la
función en el intervalo dónde se vaya a integrear. Así pues:
 Si la función sólo toma valores positivos, el valor intermedio 𝑓(𝑐𝑖) será positivo
para todo 𝑖 y la integral definida será positiva.
Si 𝑓( 𝑥) > 0 ⇒ ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 > 0
𝑏
𝑎
 Si la función sólo toma valores negativos, el valor intermedio 𝑓(𝑐𝑖) será
negativo para todo 𝑖 y la integral definida será negativa.
Si 𝑓( 𝑥) < 0 ⇒ ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 < 0
𝑏
𝑎
 Si toma valores positivos y negativos, la integral definida puede resultar
positiva, negativa o nula.

SESIÓN II, III y IV
Propiedades de la Integral definida
A continuación vamos a estudiar las principales propiedades de las integrales
definidas. Son consecuencia directa del concepto de integral que acabamos de dar.
Seguimos suponiendo funciones continuas.
1. Si 𝑎 = 𝑏, entonces:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
Área a calcular
2. Si 𝑐 es un punto interior del intervalo [ 𝑎, 𝑏], entonces:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
Resultado

Resultado
3. Si permutamos los límites de integración, la integral cambia de signo:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = −∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
4. La integral de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o
diferencia de la integral de cada una de las funciones:
∫(𝑓( 𝑥) ± 𝑔( 𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
( 𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎

5. La integral del producto de un número por una función, es igual que el número
por la integral de la función:
∫( 𝑘𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
6. Si para cada punto 𝑥 del intervalo [ 𝑎, 𝑏] se cumple que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), entonces
la integral definida en dicho intervalo de la función 𝑓(𝑥) es menor que la
integral definida en dicho intervalo de la función 𝑔(𝑥):
∀𝑥 ∈ [ 𝑎, 𝑏] /𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ⇒ ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
7. Teorema del valor medio del cálculo integral: Si 𝑓(𝑥) es una función continua
en el intervalo [ 𝑎, 𝑏], entonces existe un punto 𝑐 en el interior de ese intervalo,
𝑐 ∈ ( 𝑎, 𝑏), tal que:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = ( 𝑏 − 𝑎) 𝑓(𝑐)
𝑏
𝑎

Definición de función integral
Sea 𝑓( 𝑥) una función continua definida en un intervalo cerrado [ 𝑎, 𝑏] y para todo
punto 𝑥 de dicho intervalo existe la integral definida entre 𝑎 y 𝑥 . Definimos la función
integral:
𝐹( 𝑥) = ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
Al ser la función 𝑓( 𝑡) y el límite inferior de integración fijos, esta integral definida
puede considerarse como un número real que depende de 𝑥 .
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Si 𝑓( 𝑥) es una función continua en el intervalo [ 𝑎, 𝑏] , entonces la función 𝐹(𝑥) es
derivable y su derivada es la función integrando, es decir, 𝐹´( 𝑥) = 𝑓( 𝑥).
ACTIVIDADES
1) Ejercicio Solución

2) Ejercicio
Solución: (Estos ejercicios, se pueden realizar con la calculadora de dos formas
diferentes, como se ha hecho en a y c, y directamente, como se ha hecho en b y d).
a) b)
c) d)
3) Ejercicio

Solución: (Vamos a realizar el ejercicio con la calculadora de dos formas
diferentes: Primeramente, lo haremos siguiendo los pasos que tendréis que
hacer en un examen).
a)

b) En este caso resolvemos el problema directamente, en un solo paso, con la
calculadora. Podemos ver como hay dos mínimos en los mismos puntos
obtenidos por el otro método: 1 y -1, y su valor es 0. Por otra parte, al calcular
el máximo se observa que no tiene ya que su valor es infinito.
4) Ejercicio
“Si una función es continua en el intervalo [a,b], ¿puede ser ∫ f(x)dx = 0
b
a
?”
Solución: (Se puede observar que como la función toma valores positivos y negativos en
el intervalo, aunque es continua su integral es cero. En la parte inferior de la
calculadora, al realizar la integral definida en la gráfica, no sale exactamente cero,
pero es prácticamente cero).

SESIÓN V, VI y VII
Regla de Barrow
Sea 𝑓( 𝑥) una función continua en el intervalo [ 𝑎, 𝑏] y 𝐺(𝑥) una primitiva suya,
entonces la integral definida de la función en dicho intervalo es igual al valor que toma
la primitiva en el punto 𝑏 menos el valor que toma en el punto 𝑎.
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐺(𝑥)] 𝑎
𝑏
= 𝐺( 𝑏) − 𝐺(𝑎)
𝑏
𝑎
Demostración
Sea 𝐹( 𝑥) = ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
, por el Teorema Fundamental del cálculo, se tiene que
𝐹´( 𝑥) = 𝑓( 𝑥).
Por otra parte como 𝐺(𝑥) es una primitiva de la función 𝑓( 𝑥) se tiene que 𝐺´( 𝑥) =
𝑓(𝑥). Si dos funciones tienen la misma derivada, difieren a lo sumo en una constante,
por lo que 𝐹( 𝑥) = 𝐺( 𝑥) + 𝑘. Si en esta igualdad hacemos 𝑥 = 𝑎, entonces tenemos
que 𝐹( 𝑎) = ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡 = 0
𝑎
𝑎
y que 𝐺( 𝑎) + 𝑘 = 0 ⇒ 𝑘 = −𝐺(𝑎).
Por tanto queda 𝐹( 𝑥) = 𝐺( 𝑋) − 𝐺(𝑎) y haciendo 𝑥 = 𝑏, obtenemos:
𝐹( 𝑏) = 𝐺( 𝑏) − 𝐺(𝑎)
𝐹( 𝑏) = ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎 }
⇒ ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐺( 𝑏) − 𝐺(𝑎)
𝑏
𝑎

ACTIVIDADES
1) Ejercicio
Solución: (Se va a realizar la integral y luego la integral definida, para que quede más
claro y se puedan corregir los posibles errores en los cálculos)
a) b)
c) d)

2) Ejercicio
Solución: (Vamos a realizar las integrales definidas y vamos a representar el área a
integrar con el fin de que se vea mejor).
a) Recordar que la calculadora hace directamente la integral definida, pero
nosotros tendríamos primero que expresar la función valor absoluto como una
función a trozos; y segundo calcular la integral definida teniendo en cuenta el
valor de los límites de integración y los “trozos” de la función .
𝑓( 𝑥) = {
𝑥2
− 1 𝑥 < −1
−𝑥2
+ 1 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥2
− 1 𝑥 < 1
{
∫ (−𝑥2
+ 1) 𝑑𝑥
1
0
∫ ( 𝑥2
− 1) 𝑑𝑥
2
1
b) Volvemos a separar la función dada para ver como lo haríamos sin calculadora.

𝑓( 𝑥) = {
−𝑥2
+ 2𝑥 𝑥 ≤ 2
𝑥2
− 2𝑥 𝑥 > 2
∫ (−𝑥2
+ 2𝑥) 𝑑𝑥
2
0
3) Ejercicio
“Considera la función definida por f(x) = {
z(x − 1) −1 < 𝑥 ≤ 1
x ln x x > 1
,
a) Determinar el valor de a sabiendo que la función es derivable.
b) Calcular ∫ f(x)dx
2
0
.”
Solución: (Vamos a hacer este ejercicio en varios pasos).

Resultado
4) Ejercicio
“Se sabe que la función 𝑓( 𝑥) = 𝑥3
+ 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 tiene un extremo relativo en el
punto de abscisa 𝑥 = 0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de
abscisa 𝑥 = −1. Conociendo además que ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 6
1
0
, calcula a, b y c.”
Solución: (Realizamos el ejercicio en varios pasos).
Resultado

5) Ejercicio
Solución
Resultado
SESIÓN VIII, IX y X
Aplicación de la integral definida. Cálculo de áreas
I. FUNCIÓN POSITIVA EN EL INTERVALO

Si la función es continua y positiva para todos los valores del intervalo [ 𝑎, 𝑏] , el
recito del que hay que calcular el área está situado por encima del eje de abscisas y su
área vendrá dada por la integral definida entre 𝑎 y 𝑏.
II. FUNCIÓN NEGATIVA EN EL INTERVALO
Si la función es continua y negativa para todos los valores del intervalo [ 𝑎, 𝑏] , el
recito del que hay que calcular el área está situado debajo del eje de abscisas y su área
vendrá dada por el valor absoluto de la integral definida entre 𝑎 y 𝑏.
III. FUNCIÓN QUE TOMA VALORES POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL INTERVALO
Si la función no tiene signo constante en el intervalo [ 𝑎, 𝑏], su gráfica determina con
el eje OX varias regiones, en este caso el área se calcula como suma de las áreas de
cada una de las regiones.
IV. ÁREA ENTRE DOS FUNCIONES
Si las gráficas de las funciones se cortan en dos o más puntos y queremos calcular el
área entre dichas funciones; en primer lugar se dibuja el recinto, luego se calculan los
puntos de intersección y por último el área se obtiene como la diferencia entre la
función que queda por encima menos la que queda por debajo.
ACTIVIDADES
1) Ejercicio

Solución
Resultado
2) Ejercicio
“Sea la función 𝑓( 𝑥) = 𝑒
−𝑥
2 .
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de
abscisa 𝑥 = 0.
b) Calcular el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de la
función, la recta de ecuación 𝑥 = 2 y la recta tangente obtenida en el apartado
anterior.”
Solución

Resultado
3) Ejercicio
Solución
Área1 Área 2

Resultado
4) Ejercicio
Solución

Resultado
5º) Ejercicio Solución
Resultado
6) Ejercicio

Solución
Resultado
SESIÓN XI y XII
Otras aplicaciones de la integral definida
I. APLICACIÓN A LA GEOMETRÍA
Hallar mediante integrales definidas el área de un círculo y el volumen de una
esfera de radio 1. (La ecuación de una circunferencia es 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
).
Resultado

Resultado
II. APLICACIÓN A LA FÍSICA
Un móvil se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea con aceleración 𝑎( 𝑡) =
√ 𝑡 𝑚
𝑠2⁄ .Halla el incremento de velocidad experimentado entre los 4𝑠 y los 9𝑠.
Resultado en
𝑚
𝑠
¿Cuál es el trabajo realizado al comprimir un muelle 2𝑐𝑚 si aplicamos una fuerza
𝐹( 𝑥) = 5𝑥 𝑁, (Newton) en la dirección del desplazamiento? (pasamos los cm a m,
entonces serán 0.02m, así trabajaremos en el SI).
Resultado en Julios
III. APLICACIÓN A LA ECONOMÍA

Se sabe que la curva de la oferta para un producto es 𝑠( 𝑥) =
𝑥
2
+ 7. Encontrara la
ganancia de los productores si la producción asciende a 10 artículos.
IV. APLICACIÓN A LA MEDICINA
Para controlar el organismo de un diabético se utiliza la implantación de una
cápsula que proporciona insulina, de forma lenta y continua, a la corriente sanguínea.
Al medir la cantidad de insulina administrada se obtuvieron una serie de valores que se
ajustaban a la función 𝑓( 𝑡) = 0.2𝑡𝑒−0.07𝑡 𝑐𝑚3
𝑑í𝑎⁄ . Esta es la función de cambio
instantáneo, con la que se suministra la insulina, en términos de tiempo t. ¿Cuál será la
cantidad total de insulina suministrada en los 60 primeros días.
V. APLICACIÓN A LA BIOLOGÍA

Al registrar cada hora el número aproximado de bacterias que contiene un cultivo
y, posteriormente calcular la razón de cambio promedio para pares de datos
consecutivos, con el fin de dibujar los valores encontrados y obtener una función que se
acerque a la curva trazada. Obtenemos que dicha función es 𝑓( 𝑡) = 1000𝑒2𝑡
. Dónde t
son las horas y f (t) representa el número de bacterias por hora. Calcular el incremento
de población en 6 horas.
VIII. EVALUACIÓN
Teniendo en cuenta que el alumnado de este curso va a realizar al finalizar el curso
escolar la prueba de acceso a la Universidad, para su evaluación se llevará a cabo una
prueba escrita semejante a las que tendrán que realizar en dicho examen. También se
tendrá en cuenta el trabajo diario, su participación en clase y la consecución de los
objetivos.
Para la valoración del aprendizaje del manejo de la calculadora, introduciremos en
la prueba escrita un ejercicio que deberán realizar haciendo uso de la calculadora
ClassPad
IX. BIBLIOGRAFÍA

 Manual de uso de la calculadora CassPad 330.
 Libros de texto de 2º de Bachillerato de Matemáticas II.
 Documento de directrices y orientaciones generales para las pruebas de acceso
a la Universidad
 Pruebas de acceso a la Universidad, de años anteriores:
www.ujaen.es/serv/acceso/selectividad/orientaciones.htm .
 Aplicaciones: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesFisica.htm .
 Aplicaciones: http://www.scribd.com/doc/5052245/CALCULO-DIFERENCIAL-E-
INTEGRAL-II-FAS4-APLICACIONES-DEL-CALCULO-INTEGRAL- .

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