Este documento describe conceptos geométricos relacionados con la potencia de un punto respecto a una circunferencia y el eje radical. Define la potencia como el producto de los segmentos determinados por una recta secante desde un punto externo, interno o en la circunferencia. Explica cómo calcular la potencia y su valor para diferentes posiciones del punto. También define el eje radical como el lugar geométrico de puntos con la misma diferencia constante de cuadrados de distancias a dos puntos fijos, y describe su relación con dos o más circun
Este examen parcial de geometría evalúa las capacidades de razonamiento, comunicación matemática y resolución de problemas. Contiene 4 bloques con preguntas sobre propiedades geométricas de figuras como trapecios, rombos y cuadrados, clasificación de cuadriláteros, interpretación de enunciados y representación gráfica, y resolución de problemas utilizando datos y propiedades geométricas.
Este documento clasifica los triángulos según sus ángulos y lados. Describe los tres tipos de triángulos según sus ángulos: obtusángulo, acutángulo y rectángulo. Explica las propiedades de los triángulos rectángulos y presenta ejemplos notables y aplicaciones como el Teorema de Pitágoras y la proporcionalidad.
1. La circunferencia tiene centro en C(-4, 8) y radio R=5.
2. La elipse tiene ejes focal y mayor de longitud 10 y eje menor de longitud 6.
3. La hipérbola equilátera tiene distancia focal de 8√2 y vértices y foci situados sobre sus asintotas perpendiculares.
1) El documento describe las clasificaciones y propiedades de los triángulos. Se clasifican según sus ángulos (agudos, obtusos, rectos) y lados (escaleno, isósceles, equilátero).
2) Se describen las líneas notables de un triángulo como las medianas, alturas, bisectrices y más.
3) Se explican conceptos como la suma de los ángulos, teorema de Pitágoras, proporcionalidad y semejanza de triángulos.
Este documento resume las relaciones de equivalencia entre diferentes figuras geométricas planas. Explica que dos polígonos son equivalentes si se pueden descomponer en ortos polígonos respectivamente. Luego detalla que los paralelogramos, triángulos y trapecios son equivalentes a paralelogramos de bases y alturas específicas. Finalmente, presenta fórmulas para calcular el área de triángulos, sectores y segmentos circulares en términos de sus radios y otros elementos.
El documento presenta una serie de problemas relacionados con ángulos y segmentos de línea. Los problemas cubren temas como medición de ángulos, ángulos complementarios y suplementarios, relaciones entre ángulos en triángulos, y cálculo de longitudes de segmentos de línea basado en relaciones dadas.
Este documento presenta 5 problemas de trigonometría que involucran el cálculo de senos, cosenos y áreas de figuras geométricas. El primer problema pide calcular senθ dado un triángulo. El segundo calcula senα para un triángulo isoceles. El tercero encuentra la altura de un trapecio. El cuarto calcula el área de una región triangular extendida. Y el quinto calcula el área de un triángulo en términos de θ.
El documento describe los elementos de una circunferencia y las relaciones entre los ángulos y arcos formados por diferentes combinaciones de radios, cuerdas, secantes y tangentes. Explica que los ángulos formados por dos radios son iguales al arco medido en grados, mientras que los ángulos formados por dos cuerdas son la mitad del arco. También incluye ejercicios para practicar el cálculo de ángulos en circunferencias.
Este examen parcial de geometría evalúa las capacidades de razonamiento, comunicación matemática y resolución de problemas. Contiene 4 bloques con preguntas sobre propiedades geométricas de figuras como trapecios, rombos y cuadrados, clasificación de cuadriláteros, interpretación de enunciados y representación gráfica, y resolución de problemas utilizando datos y propiedades geométricas.
Este documento clasifica los triángulos según sus ángulos y lados. Describe los tres tipos de triángulos según sus ángulos: obtusángulo, acutángulo y rectángulo. Explica las propiedades de los triángulos rectángulos y presenta ejemplos notables y aplicaciones como el Teorema de Pitágoras y la proporcionalidad.
1. La circunferencia tiene centro en C(-4, 8) y radio R=5.
2. La elipse tiene ejes focal y mayor de longitud 10 y eje menor de longitud 6.
3. La hipérbola equilátera tiene distancia focal de 8√2 y vértices y foci situados sobre sus asintotas perpendiculares.
1) El documento describe las clasificaciones y propiedades de los triángulos. Se clasifican según sus ángulos (agudos, obtusos, rectos) y lados (escaleno, isósceles, equilátero).
2) Se describen las líneas notables de un triángulo como las medianas, alturas, bisectrices y más.
3) Se explican conceptos como la suma de los ángulos, teorema de Pitágoras, proporcionalidad y semejanza de triángulos.
Este documento resume las relaciones de equivalencia entre diferentes figuras geométricas planas. Explica que dos polígonos son equivalentes si se pueden descomponer en ortos polígonos respectivamente. Luego detalla que los paralelogramos, triángulos y trapecios son equivalentes a paralelogramos de bases y alturas específicas. Finalmente, presenta fórmulas para calcular el área de triángulos, sectores y segmentos circulares en términos de sus radios y otros elementos.
El documento presenta una serie de problemas relacionados con ángulos y segmentos de línea. Los problemas cubren temas como medición de ángulos, ángulos complementarios y suplementarios, relaciones entre ángulos en triángulos, y cálculo de longitudes de segmentos de línea basado en relaciones dadas.
Este documento presenta 5 problemas de trigonometría que involucran el cálculo de senos, cosenos y áreas de figuras geométricas. El primer problema pide calcular senθ dado un triángulo. El segundo calcula senα para un triángulo isoceles. El tercero encuentra la altura de un trapecio. El cuarto calcula el área de una región triangular extendida. Y el quinto calcula el área de un triángulo en términos de θ.
El documento describe los elementos de una circunferencia y las relaciones entre los ángulos y arcos formados por diferentes combinaciones de radios, cuerdas, secantes y tangentes. Explica que los ángulos formados por dos radios son iguales al arco medido en grados, mientras que los ángulos formados por dos cuerdas son la mitad del arco. También incluye ejercicios para practicar el cálculo de ángulos en circunferencias.
Este documento presenta fórmulas y propiedades de cuadriláteros como cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, trapecios y paralelogramos. Explica que en todo paralelogramo los lados opuestos son iguales y los ángulos opuestos son suplementarios. También detalla que en todo trapecio la suma de las distancias entre los lados no paralelos es igual al doble del área. Por último, indica que en un cuadrilátero inscrito y circunscrito, el área del cuad
El documento describe varios métodos geométricos para construir figuras como mediatrices, bisectrices, triángulos y perpendiculares. Estos métodos incluyen trazar arcos con el compás, transportar ángulos y lados, y unir puntos para completar las figuras.
El documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos mediante el uso de teoremas trigonométricos. Se define la resolución de triángulos y se describen tres métodos principales: 1) el teorema de los senos para determinar lados a partir de senos de ángulos opuestos, 2) el teorema de los cosenos para determinar lados a partir de cosenos de ángulos y cuadrados de lados, y 3) el teorema de las proyecciones para expresar lados en términos de otros lados y cosenos
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulosJunior Casana
Este documento presenta información sobre relaciones métricas en triángulos oblicuángulos, incluyendo teoremas de Euclides, la mediana y la bisectriz interior. También proporciona ejemplos para calcular lados desconocidos usando estas relaciones.
El documento presenta 30 preguntas de geometría analítica básica y ecuación cartesiana de la recta. Las preguntas incluyen determinar coordenadas de puntos, distancias entre puntos, áreas de figuras geométricas como triángulos y cuadriláteros, y ecuaciones de rectas. Se pide identificar información necesaria para resolver problemas o determinar si una afirmación es verdadera.
Este documento contiene 14 preguntas de geometría sobre triángulos, ángulos y bisectrices. Las preguntas involucran identificar medidas de ángulos, relaciones entre elementos geométricos como alturas y bisectrices, y determinar ángulos desconocidos dados otros elementos del triángulo.
Este documento presenta información sobre cómo calcular el área de diferentes figuras planas como paralelogramos, triángulos, trapecios, polígonos regulares y regiones sombreadas. Explica las fórmulas para calcular el área de cada figura y proporciona ejemplos resueltos de cómo aplicar las fórmulas.
El documento presenta la resolución de un problema geométrico en tres pasos. Primero, ubica los puntos A y B dados en el enunciado mediante lugares geométricos. Segundo, traza un plano P que contenga el segmento AB formando un ángulo de 45° con el plano horizontal. Tercero, representa las proyecciones de un cuadrado contenido en el plano P, sabiendo que una de sus diagonales es una recta de perfil de 10 unidades.
Este documento presenta varios teoremas y ejemplos para calcular el área de figuras planas como paralelogramos, triángulos, trapecios y polígonos regulares. Explica las fórmulas para el área de cada figura en términos de su base y altura. Luego, proporciona varios ejercicios prácticos resueltos para calcular el área de diferentes figuras aplicando las fórmulas correspondientes.
Este documento contiene 30 problemas de geometría sobre triángulos. Los problemas incluyen determinar medidas de ángulos, congruencia de triángulos, bisectrices, perpendiculares y paralelas. Se piden calcular longitudes desconocidas y determinar si afirmaciones son verdaderas.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos relacionados con funciones y gráficas. Incluye ejercicios de representación de puntos en un plano cartesiano, interpretación de gráficas que modelan situaciones reales como carreras o cambios de temperatura, identificación de funciones a partir de sus gráficas, y representación gráfica de funciones dadas mediante tablas de valores o fórmulas algebraicas.
Este documento contiene 30 problemas de geometría sobre triángulos oblicuángulos. Los problemas incluyen calcular lados desconocidos, ángulos desconocidos, relaciones trigonométricas, reducir expresiones y determinar valores a partir de gráficos. El documento proporciona una variedad de ejercicios para practicar conceptos y habilidades de resolución de triángulos oblicuángulos.
1. En un triángulo ABC, la suma x + y es 58°.
2. En un triángulo DEF, el ángulo γ vale 45° cuando la recta G pasa por el vértice D.
3. En un cuadrilátero con ángulos α y β iguales, cada ángulo vale 22,5°.
El documento presenta varios problemas de trigonometría relacionados con sectores circulares. 1) Calcula la longitud de un arco de 1° en un círculo de radio 1800 cm. 2) Determina x en sectores circulares concéntricos si el área S = 8L2. 3) Calcula el área de un sector dado su ángulo central y el área de otro sector.
Este documento presenta 7 problemas de geometría analítica que involucran puntos, distancias, áreas y perímetros de figuras geométricas como cuadrados, triángulos y paralelogramos. Los problemas requieren calcular coordenadas, distancias, áreas y perímetros usando fórmulas trigonométricas y de geometría analítica.
Este documento contiene un resumen de 3 oraciones de una lección sobre triángulos. Explica cómo calcular el valor de "x" en diferentes configuraciones triangulares usando ángulos y medidas de lados. Luego presenta varios ejercicios para que el estudiante calcule el valor de "x" en diferentes triángulos.
El documento presenta una introducción a diferentes sistemas de referencia, incluyendo sistemas unidimensionales, bidimensionales (coordenadas rectangulares y polares), tridimensionales y geográficos. También cubre funciones y gráficas, definiendo conceptos como funciones, funciones directamente proporcionales y sus representaciones gráficas.
El documento presenta cuatro problemas de geometría de olimpiadas y sus soluciones. Los problemas involucran figuras geométricas como cuadriláteros, triángulos y círculos, y propiedades como puntos de tangencia, áreas y potencias. Las soluciones utilizan conceptos como coordenadas baricéntricas, ángulos y relaciones trigonométricas.
Este documento trata sobre las secciones cónicas y sus propiedades geométricas. Explica que una sección cónica es la curva que se obtiene al intersectar un cono con un plano, y que incluye elipses, parábolas e hipérbolas. Además, define cada una de estas curvas como el lugar geométrico de puntos que cumplen ciertas propiedades relacionadas con la distancia a otros puntos o rectas.
El documento presenta la definición y propiedades de la potencia de un punto con respecto a una circunferencia. Explica que la potencia de un punto P es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia colineales con P. Demuestra que si P está fuera de la circunferencia su potencia es PO2 - R2, y si está dentro es R2 - PO2, donde O es el centro y R el radio. También define y analiza el eje radical de dos circunferencias.
Este documento presenta los conceptos básicos de la circunferencia, incluyendo sus elementos (centro, radio, diámetro, cuerda), propiedades (relación entre radio y tangente, divisiones de la circunferencia por diámetros, igualdad de arcos comprendidos por paralelas) y problemas resueltos que aplican dichas propiedades para hallar ángulos y arcos desconocidos.
Este documento presenta un guión de clases para una lección de matemáticas sobre el área de figuras planas. La lección se enfoca en demostrar las fórmulas para calcular el área de diferentes figuras como cuadrados, rectángulos, triángulos, rombos, trapecios, polígonos regulares y círculos. Luego, aplica estas fórmulas en ejemplos numéricos y complejos que involucran descomponer figuras. La lección concluye con una guía de ejercicios para que los estudiantes practiquen.
Este documento presenta fórmulas y propiedades de cuadriláteros como cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, trapecios y paralelogramos. Explica que en todo paralelogramo los lados opuestos son iguales y los ángulos opuestos son suplementarios. También detalla que en todo trapecio la suma de las distancias entre los lados no paralelos es igual al doble del área. Por último, indica que en un cuadrilátero inscrito y circunscrito, el área del cuad
El documento describe varios métodos geométricos para construir figuras como mediatrices, bisectrices, triángulos y perpendiculares. Estos métodos incluyen trazar arcos con el compás, transportar ángulos y lados, y unir puntos para completar las figuras.
El documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos mediante el uso de teoremas trigonométricos. Se define la resolución de triángulos y se describen tres métodos principales: 1) el teorema de los senos para determinar lados a partir de senos de ángulos opuestos, 2) el teorema de los cosenos para determinar lados a partir de cosenos de ángulos y cuadrados de lados, y 3) el teorema de las proyecciones para expresar lados en términos de otros lados y cosenos
Relaciones métricas en los triangulos oblicuangulosJunior Casana
Este documento presenta información sobre relaciones métricas en triángulos oblicuángulos, incluyendo teoremas de Euclides, la mediana y la bisectriz interior. También proporciona ejemplos para calcular lados desconocidos usando estas relaciones.
El documento presenta 30 preguntas de geometría analítica básica y ecuación cartesiana de la recta. Las preguntas incluyen determinar coordenadas de puntos, distancias entre puntos, áreas de figuras geométricas como triángulos y cuadriláteros, y ecuaciones de rectas. Se pide identificar información necesaria para resolver problemas o determinar si una afirmación es verdadera.
Este documento contiene 14 preguntas de geometría sobre triángulos, ángulos y bisectrices. Las preguntas involucran identificar medidas de ángulos, relaciones entre elementos geométricos como alturas y bisectrices, y determinar ángulos desconocidos dados otros elementos del triángulo.
Este documento presenta información sobre cómo calcular el área de diferentes figuras planas como paralelogramos, triángulos, trapecios, polígonos regulares y regiones sombreadas. Explica las fórmulas para calcular el área de cada figura y proporciona ejemplos resueltos de cómo aplicar las fórmulas.
El documento presenta la resolución de un problema geométrico en tres pasos. Primero, ubica los puntos A y B dados en el enunciado mediante lugares geométricos. Segundo, traza un plano P que contenga el segmento AB formando un ángulo de 45° con el plano horizontal. Tercero, representa las proyecciones de un cuadrado contenido en el plano P, sabiendo que una de sus diagonales es una recta de perfil de 10 unidades.
Este documento presenta varios teoremas y ejemplos para calcular el área de figuras planas como paralelogramos, triángulos, trapecios y polígonos regulares. Explica las fórmulas para el área de cada figura en términos de su base y altura. Luego, proporciona varios ejercicios prácticos resueltos para calcular el área de diferentes figuras aplicando las fórmulas correspondientes.
Este documento contiene 30 problemas de geometría sobre triángulos. Los problemas incluyen determinar medidas de ángulos, congruencia de triángulos, bisectrices, perpendiculares y paralelas. Se piden calcular longitudes desconocidas y determinar si afirmaciones son verdaderas.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos relacionados con funciones y gráficas. Incluye ejercicios de representación de puntos en un plano cartesiano, interpretación de gráficas que modelan situaciones reales como carreras o cambios de temperatura, identificación de funciones a partir de sus gráficas, y representación gráfica de funciones dadas mediante tablas de valores o fórmulas algebraicas.
Este documento contiene 30 problemas de geometría sobre triángulos oblicuángulos. Los problemas incluyen calcular lados desconocidos, ángulos desconocidos, relaciones trigonométricas, reducir expresiones y determinar valores a partir de gráficos. El documento proporciona una variedad de ejercicios para practicar conceptos y habilidades de resolución de triángulos oblicuángulos.
1. En un triángulo ABC, la suma x + y es 58°.
2. En un triángulo DEF, el ángulo γ vale 45° cuando la recta G pasa por el vértice D.
3. En un cuadrilátero con ángulos α y β iguales, cada ángulo vale 22,5°.
El documento presenta varios problemas de trigonometría relacionados con sectores circulares. 1) Calcula la longitud de un arco de 1° en un círculo de radio 1800 cm. 2) Determina x en sectores circulares concéntricos si el área S = 8L2. 3) Calcula el área de un sector dado su ángulo central y el área de otro sector.
Este documento presenta 7 problemas de geometría analítica que involucran puntos, distancias, áreas y perímetros de figuras geométricas como cuadrados, triángulos y paralelogramos. Los problemas requieren calcular coordenadas, distancias, áreas y perímetros usando fórmulas trigonométricas y de geometría analítica.
Este documento contiene un resumen de 3 oraciones de una lección sobre triángulos. Explica cómo calcular el valor de "x" en diferentes configuraciones triangulares usando ángulos y medidas de lados. Luego presenta varios ejercicios para que el estudiante calcule el valor de "x" en diferentes triángulos.
El documento presenta una introducción a diferentes sistemas de referencia, incluyendo sistemas unidimensionales, bidimensionales (coordenadas rectangulares y polares), tridimensionales y geográficos. También cubre funciones y gráficas, definiendo conceptos como funciones, funciones directamente proporcionales y sus representaciones gráficas.
El documento presenta cuatro problemas de geometría de olimpiadas y sus soluciones. Los problemas involucran figuras geométricas como cuadriláteros, triángulos y círculos, y propiedades como puntos de tangencia, áreas y potencias. Las soluciones utilizan conceptos como coordenadas baricéntricas, ángulos y relaciones trigonométricas.
Este documento trata sobre las secciones cónicas y sus propiedades geométricas. Explica que una sección cónica es la curva que se obtiene al intersectar un cono con un plano, y que incluye elipses, parábolas e hipérbolas. Además, define cada una de estas curvas como el lugar geométrico de puntos que cumplen ciertas propiedades relacionadas con la distancia a otros puntos o rectas.
El documento presenta la definición y propiedades de la potencia de un punto con respecto a una circunferencia. Explica que la potencia de un punto P es el producto de sus distancias a cualquier par de puntos en la circunferencia colineales con P. Demuestra que si P está fuera de la circunferencia su potencia es PO2 - R2, y si está dentro es R2 - PO2, donde O es el centro y R el radio. También define y analiza el eje radical de dos circunferencias.
Este documento presenta los conceptos básicos de la circunferencia, incluyendo sus elementos (centro, radio, diámetro, cuerda), propiedades (relación entre radio y tangente, divisiones de la circunferencia por diámetros, igualdad de arcos comprendidos por paralelas) y problemas resueltos que aplican dichas propiedades para hallar ángulos y arcos desconocidos.
Este documento presenta un guión de clases para una lección de matemáticas sobre el área de figuras planas. La lección se enfoca en demostrar las fórmulas para calcular el área de diferentes figuras como cuadrados, rectángulos, triángulos, rombos, trapecios, polígonos regulares y círculos. Luego, aplica estas fórmulas en ejemplos numéricos y complejos que involucran descomponer figuras. La lección concluye con una guía de ejercicios para que los estudiantes practiquen.
(1) El documento presenta 5 temas sobre conceptos de física como potencial dieléctrico, capacitancia, distribución de carga en capacitores, resistividad y campo eléctrico. (2) Los problemas involucran cálculos matemáticos para determinar cantidades como potencial, capacitancia equivalente, voltaje, corriente y densidad de carga. (3) Se proveen diagramas y fórmulas para guiar la solución de cada problema.
Este documento presenta los elementos básicos de la circunferencia y el círculo, incluyendo su perímetro, área, y varios tipos de ángulos (ángulo del centro, ángulo inscrito, ángulo interior, ángulo exterior). También describe propiedades clave como que el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito en el mismo arco, y que todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales. Por último, explica cuatro teoremas relacionados con segmentos en la circunfer
Este documento contiene 15 problemas de geometría y trigonometría. Los problemas incluyen cálculos geométricos sobre triángulos, puntos y líneas, así como cálculos trigonométricos que involucran funciones como seno, coseno y tangente. El objetivo es calcular longitudes, áreas, ángulos y valores trigonométricos dados los datos geométricos provistos en cada problema.
El documento describe las propiedades básicas de una circunferencia. Define una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, cuerda, arco y tangente. Luego detalla propiedades como que un radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente, y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes. Finalmente, presenta teoremas sobre medidas de ángulos relacionados a circunferencias.
El documento describe las cuatro cónicas principales: la elipse, la hipérbola, la circunferencia y la parábola. Explica cómo se obtienen cada una al cortar una superficie cónica con un plano y define sus elementos característicos. También presenta las ecuaciones geométricas de cada curva cónica y desarrolla las propiedades que permiten derivar dichas ecuaciones.
El documento lista las fórmulas para calcular el área y volumen de varias figuras geométricas tridimensionales como cubos, paralelepípedos y prismas, así como las fórmulas para calcular el área de figuras planas como triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos.
El documento contiene 7 temas de un examen de cálculo diferencial. El primer tema involucra calcular el área de una región sombreada entre dos circunferencias. El segundo tema trata de determinar el valor de un ángulo dado otro. El tercer tema pide calcular volúmenes removidos y depositados en diferentes figuras geométricas. Los temas restantes involucran operaciones con vectores, límites y evaluación de límites.
El problema describe cómo llevar una perpendicular desde un punto dado fuera de una recta hasta dicha recta. Se traza un arco desde el punto dado que corta la recta en dos puntos, luego se trazan arcos desde esos puntos que se cortan en un punto D; la línea que une el punto dado con D es la perpendicular buscada.
El primer documento presenta preguntas sobre definiciones y propiedades de figuras geométricas como trapecios, triángulos y paralelogramos. El segundo documento contiene múltiples problemas de geometría que involucran cálculos de áreas, perímetros y ángulos de figuras como triángulos, rombos, circunferencias y más. El tercer documento plantea una pregunta sobre la razón del área de un triángulo inscrito en un cuadrado y el área del cuadrado.
Este documento contiene 15 preguntas de geometría analítica sobre vectores, rectas y puntos. Algunas preguntas tienen que ver con la equivalencia y ortogonalidad de vectores, ecuaciones de rectas, puntos medios, ángulos entre rectas, pendientes, y distancias entre puntos y rectas. El documento proporciona varias opciones de respuesta para cada pregunta y pide marcar la respuesta correcta.
El documento explica conceptos geométricos relacionados con el lugar geométrico de puntos cuyas distancias a dos puntos fijos cumplen ciertas condiciones. En concreto, se define el eje radical como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos es constante. También se explican conceptos como el centro radical de tres circunferencias y cómo trazar circunferencias ortogonales a dos o más circunferencias dadas. Finalmente, se proponen algunos
El documento presenta información sobre áreas de figuras geométricas planas. Explica cómo calcular el área de triángulos, rectángulos, paralelogramos, trapecios, rombos y cuadrados. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.
Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y área de diferentes figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios, trapezoides, circunferencias y círculos. También explica cómo calcular el área total de figuras compuestas sumando o restando las áreas de sus partes. Por último, presenta fórmulas para calcular el área y volumen de cuerpos como cubos, paralelepípedos rectos, conos, cilindros
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y área de diferentes figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios, trapezoides, circunferencias y círculos. También explica cómo calcular el área total de figuras compuestas sumando o restando las áreas de sus partes. Por último, presenta fórmulas para calcular el área y volumen de cuerpos como cubos, paralelepípedos rectos, conos, cilindros
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
1. POTENCIA.
P A B Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Producto de los segmentos determinados por una recta secante, trazada
C
D desde un punto a la circunferencia, situados en el mismo plano.
PA / PC = PB / PD =...k PA . PB = PC . PD...k
(PA)(PB)=(PC)(PD)=...k Si se unen A y D así como B y C, tanto en el caso del punto exterior como en
el interior a la circunferencia, se forman los triángulos PAD y PCB, que son
A
semejantes, ya que en el caso del exterior, los ángulos en P son iguales y los
P ángulos en B y D también por ser inscritos y de igual arco; y en el caso del
C D interior los ángulos en P son iguales por ser opuestos por el vértice y los B y
D también por ser inscritos y de igual arco. Estableciendo la
B proporcionalidad entre los lados homólogos se tiene:
2 2
Valor de la potencia. ( d -r )
d r r d
Punto exterior:
(PA)(PB)=(d-r)(d+r)= d2-r2
Punto interior:
P A b O B a b
(-PA)(PB)= -(r-d)(r+d)= -(r2-d2)= d2- r2 A B
O P
a Para el punto en el centro la potencia es -r2, ya
que d2 = 0; para el resto de los puntos, la potencia
crece al aumentar d, teniendo como valor
0(cero) los puntos situados en la circunferencia.
Punto exterior. Punto en la Punto interior. Punto en el centro.
Potencia positiva. circunferencia. Potencia negativa. Potencia negativa.
Segmentos orientados Potencia igual a cero. Segmentos orientados Segmentos orientados
en el mismo sentido. (PA)(PB) = k = 0 en sentido contrario. en sentido contrario.
2 2 2 2 2
(PA)(PB) = k = d - r (-PA)(PB) = -k = d - r (-PA)(PB) = -k = -r
A P B
A B
P A B P A P B
C Segmento representativo de la potencia.
c
B b O A P
Punto exterior.
a La tangente PC es la posición límite de una secante y el punto C posición
límite común de las intersecciones.
2 2 2 2
(PA)(PB)=(PC)(PC)=PC =(PO-OA)(PO+OB)=(d-r)(d+r)=d -r = c
C
c
Punto interior.
a b
A B La semicuerda normal al diámetro que pasa por P, es medio proporcional
O P
entre las distancias de este a la circunferencia.
2 2 2 2
(-PA)(PB)=(PC)(PC)=Pc =(-PO+OA)(OB-PO)=(-r+d)(r-d)= d -r = c
2. EJE RADICAL.
2 2
c -b =k Eje radical como lugar geométrico.
El lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a
otros dos fijos es constante(k), es una recta perpendicular a la que une dichos puntos.
En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso/agudo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados más/menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él.
2 2 2
ABM: c = (a/2) + m + 2(a/2)(MH)
2 2
c - b = 4(a/2)(MH) = 2a(MH) = k
2 2 2
ACM: b = (a/2) + m - 2(a/2)(MH)
A La diferencia (c2 - b2) es constante, por igualdad, lo es (2a(MH).
c b Sí B y C son puntos fijos (a) es constante y, por tanto, (MH).
m h M, punto medio de (BC), es fijo luego H también debe serlo.
B M H C Según esto el punto A, del lugar geométrico buscado tiene fija
su proyección normal en H sobre el segmento (BC), así pues,
a/2 a/2 cualquier punto A estará en dicha perpendicular por H al
segmento (BC).
Eje radical de dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias es el lugar
A P B geométrico(recta) de los puntos del plano, donde están
situados, que tienen la misma potencia (variable para cada uno
de ellos) respecto de ellas.
Q Al trazar rectas tangentes exteriores a las circunferencias O y Q,
O obtenemos los segmentos AB y A’B’ que unen los puntos de
B’ tangencia. Los puntos medios P y P’ de dichos segmentos
P’ guardan la misma potencia respecto de las circunferencias.
A’ La recta PP’, que une ambos puntos, es perpendicular a la que
une los centros (OQ) de ambas circunferencias y su eje radical.
Eje radical según las posiciones relativas entre dos circunferencias
Exteriores Secantes Interiores
CR P’ CR
A B A B
A B
(P)
(P) P
Tangentes interiores Tangentes exteriores Concéntricas
A B A B A
P P B
3. CENTRO RADICAL
ER(AB) Centro radical de tres circunferencias.
B
ER(BC) Lugar geométrico del plano, donde están situadas, que
tiene la misma potencia respecto de ellas.
A
CR El lugar geométrico (centro radical) es el punto de
intersección de los ejes radicales entre dichas
C circunferencias.
ER(AC)
El centro radical es un punto impropio cuando los
centros de las circunferencias están alineados y sus
ejes radicales resultan paralelos.
HAZ DE CIRCUNFERENCIAS.
Haz de circunferencias coaxiales(corradicales). Conjunto de circunferencias de eje radical común.
Haz de exteriores Haz de tangentes Haz de secantes
Propiedad de los haces de circunferencias Circunferencias secantes ortogonales.
coaxiales.
Circunferencias con los radios que pasan por el
Cada punto del eje radical tiene igual potencia punto de tangencia perpendiculares y siendo el
respecto de todas las circunferencias del haz; por radio de una tangente a la otra.
tanto, el punto de contacto de las tangentes Cada haz de circunferencias coaxiales lleva
trazadas desde él coinciden con los de una asociado otro haz de circunferencias
circunferencia. ortogonales a las primeras
4. TANGENCIA. (Potencia).
1º PPP 3º PPR
Circunferencia que pasa por tres puntos Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta.
no alineados.
(Circunferencia circunscrita a un triángulo.) Trazar la recta que une los dos puntos hasta cortar a la dada para obtener el
centro radical. Hallar, también, la mediatriz del segmento distancia entre los
Trazar las mediatrices de los lados del dos puntos que es el lugar geométrico de los centros de todas las
triángulo para obtener el circuncentro, punto circunferencias que pasen por estos.
común de éstas y centro de la circunferencia Hallar la recta tangente a una circunferencia cualquiera, trazada con centro
circunscrita. en la mediatriz y que pase por los dos puntos, desde el centro radical.
El segmento representativo de potencia (recta tangente) describe una
circunferencia, desde el centro radical, que contiene todos los puntos de
tangencia incluidos los de las circunferencias tangentes a la recta dada; por
2º RRR tanto, basta levantar por ellos perpendiculares a ella que al cortar la
Circunferencias tangentes a tres rectas. mediatriz dan los centros de las circunferencias solución.
(Circunferencias inscrita y exinscritas a un triángulo.)
F C G
Trazar las bisectrices de los ángulos interiores para encontrar el incentro,
centro de la circunferencia tangente interior a los lados de un triángulo; y las E
bisectrices de los ángulos exteriores para obtener los tres exincentros,
B
centros de las circunferencias tangentes a tres rectas.
I
H
D
A
5. TANGENCIA. (Potencia). 1
4º RRP 5º RRC
Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas. Circunferencia tangente a otra y a dos rectas.
Hallar la bisectriz del ángulo que forman las rectas. Desplazar las rectas paralelamente, hacia dentro y hacia fuera, la longitud
Determinar el punto simétrico al dado trazando una perpendicular a la del radio de la circunferencia. Las nuevas posiciones de las rectas con el
bisectriz y continuar como el caso 3º PPR. centro de la circunferencia se transforman y solucionan como el 4º RRP.
(3º PPR). Trazar la recta que une los dos puntos hasta cortar a una de las dadas para obtener el centro radical.
Hallar la recta tangente a una circunferencia cualquiera, trazada con centro en la mediatriz y que pase por los dos puntos, desde el centro radical.
El segmento representativo de potencia (recta tangente) describe una circunferencia, desde el centro radical, que contiene todos los puntos de tangencia
incluidos los de las circunferencias tangentes a la recta dada; por tanto, basta levantar por ellos perpendiculares a ella que al cortar la mediatriz dan los centros
de las circunferencias solución.
r
F C G
E
B a
r
r
I
H a
D
A
K
J
r
6. TANGENCIA. (Potencia). 2
6º PPC Circunferencia con centro en una recta, tangente a otra y que pasa por
Circunferencia que pasa por dos punto y es tangente a otra. un punto.
Trazar el eje radical de las circunferencias que pasan por los puntos, Trazar una perpendicular a la recta por el punto y determinar su simétrico.
uniéndolos, y el lugar geométrico de sus centros, hallando la mediatriz de la Esta operación transforma el ejercicio en el caso 6º PPC.
distancia entre ellos. (6º PPC). La perpendicular es el eje radical de las circunferencias que
Trazar una circunferencia auxiliar cualquiera que corte a la dada, según pasan por los dos puntos y, el lugar geométrico de los centros de las
condiciones anteriores, y el eje radical de ambas. Éste eje corta al otro y circunferencias, la recta dada.
determina el centro radical. Trazar una circunferencia auxiliar cualquiera que corte a la dada, según
Hallar el segmento representativo de potencia de las circunferencias y condiciones anteriores, y el eje radical de ambas. Éste eje corta al otro y
obtener los puntos de tangencia. Aplicar las normas de tangencia entre determina el centro radical.
circunferencias para determinar los centros de las dos soluciones. Hallar el segmento representativo de potencia de las circunferencias y
obtener los puntos de tangencia. Aplicar las normas de tangencia entre
circunferencias para determinar los centros de las dos soluciones.
J
A
C
K
K D L a
E
I
F
H
C B
I E
D F
L
H
G J
A B G
7. TANGENCIA. (Potencia). 3
7º PCR
Circunferencia que pasa por un punto, tangente a otra y a una recta.
Determinar que la recta tenga por inversos los puntos de la circunferencia, al trazar por su centro una perpendicular a aquella, así como el centro de inversión.
Dicho centro variará la situación según sea la potencia: positiva para las tangentes exteriores y negativa para las interiores.
Construir una circunferencia que pasa por el punto y los inversos, hallados anteriormente, para obtener el inverso del punto al alinearlo con el centro de
inversión y cortar la circunferencia última. Esta recta es el eje radical de las soluciones y corta a la recta fijando el centro radical de todo el conjunto.
Hallar el segmento representativo de potencia, de dicho centro y la circunferencia última, y llevarlo sobre la recta, en uno y otro sentido desde el centro radical,
para determinar los puntos de tangencia.
Unir los puntos de tangencia con el centro de inversión para obtener los de la circunferencia y aplicar las normas de tangencia para hallar los centros de las
circunferencias solución.
G
G
D’ H F I a a H F D’ I
A
E L A’
J C
D A
L E
M
K K
B
B M J
D
C
A’
8. TANGENCIA. (Potencia). 4
Circunferencias tangentes a otra y a una recta en un punto de ella. (Aplicar inversión o potencia y eje radical. 7º PCR)
C
I
D
I
B
B
G F
A
H C
D H
A E F E G
a a
G
F
B
B
F
C
E A
H G
A D a D C E
a
9. TANGENCIA. (Potencia). 5
8º RCC
Circunferencia tangente a otras dos y a una recta.
Simplificar el ejercicio reduciendo la circunferencia pequeña a un punto, trazando paralelas a uno u otro lado de la recta a la distancia del radio de aquella y
concéntricas a la mayor sumando o restando dicha distancia; según se deseen obtener las circunferencias tangentes exteriores , interiores o intercaladas.
(7º PCR). Determinar que la recta tenga por inversos los puntos de la circunferencia, al trazar por su centro una perpendicular a aquella, así como el centro de
inversión. Dicho centro variará la situación según sea la potencia: positiva para las tangentes exteriores y negativa para las interiores.
Construir una circunferencia que pasa por el punto y los inversos, hallados anteriormente, para obtener el inverso del punto al alinearlo con el centro de
inversión y cortar la circunferencia última. Esta recta es el eje radical de las soluciones y corta a la recta fijando el centro radical de todo el conjunto.
Hallar el segmento representativo de potencia, de dicho centro y la circunferencia última, y llevarlo sobre la recta, en uno y otro sentido desde el centro radical,
para determinar los puntos de tangencia.
Unir los puntos de tangencia con el centro de inversión para obtener los de la circunferencia y aplicar las normas de tangencia para hallar los centros de las
circunferencias solución.
G
J K
F
H D’ F I a’ I D’ H
A
O P a
A E O
E L C
M Ñ
A’ L B
N D
D M
J Ñ
B K
C
11. TANGENCIA. (Potencia). 6
9º PCC
Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a otras dos.
Hallar el centro de homotecia (directa o inversa) que es a la vez centro de inversión (positiva o negativa) de las circunferencias y determinar los puntos de
tangencia desde éste a ellas, según se deseen obtener las circunferencias tangentes interiores o exteriores.
Determinar el inverso del punto dado trazando una circunferencia que pase por el y por los de tangencia hallados anteriormente. El eje radical de esta
circunferencia y la mayor corta la recta que une los puntos, que es eje radical de las soluciones, y fija el centro radical del conjunto.
Hallar las rectas tangentes desde el centro radical a la circunferencia mayor para obtener los puntos de tangencia en ella y aplicar las normas de tangencia para
encontrar los centros y los puntos de tangencia en la circunferencia menor.
F
K
E
J
D O
N O E
B C
I B
Ñ
G A F
A H Ñ
L M
K D
G
N
L I
C M
H
J
12. TANGENCIA. (Potencia). 7
10º CCC
Circunferencia tangente a otras tres. Teorema deApolonio.
Hallar los centros de homotecia directa de las circunferencias entre sí que
estarán alineados. Ñ
Determinar el centro radical de las circunferencia.
Obtener los polos de cada circunferencia dada con la polar que une los centros
de homotecia. A
Unir los polos con el centro radical para fijar los puntos de tangencia. Las
circunferencias tangentes (interior y exterior) del ejemplo tienen sus centros en
K
las rectas que unen los de las dadas con los puntos de tangencia.
Abajo se indican las 8 posibles soluciones.
N
C G
M O
P
Q
B
L
R
D H E I J F
13. TANGENCIA. SOLUCIONES GRÁFICAS DE LOS 10 CASOS DE TANGENCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS.
1º PPP 2º RRR 3º PPC 4º PPR 5º RRP
6º RRC 7º RCP 8º RCC 9º PCC 10º CCC