Abp informe final

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

2013
ABP – MUSICOS SIDERALES

INTEGRANTES:

MALDONADO TRIGOSO, TANIA 20102611C

PATRICIO JARAMA, JUAN CARLOS 20102149H

HERRERA COSAR, JHONATTAN ALFONSO 20101056F

LIVISI CARBAJAL, ELDER 20104528F

INTRODUCCIÒN

El presente trabajo lo elaboramos con la finalidad de analizar ―La Paradoja De Los
Gemelos‖ planteado por Albert Einstein, tal paradoja describe el suceso donde un hermano
gemelo viaja a velocidades relativistas a otro planeta y por otro lado, su hermana gemela se
queda en la Tierra.

Considerando el análisis del ―tiempo‖ que va a transcurrir, en el viaje de ida y vuelta, según
el punto de vista de cada hermano, la paradoja en sí, se da cuando la gemela en Tierra
realiza los cálculos respectivos, por lo que ésta espera que su hermano sea más joven que
ella, en el caso del hermano viajero, él al igual que su hermana también espera que ésta sea
más joven , esto aparentemente es una paradoja; sin embargo, como veremos más adelante,
desde cualquiera de los dos sistemas de referencia, los resultados respecto de los ―tiempos‖
transcurridos del viaje, resultarán idénticos.

Para poder entender y describir correctamente el problema planteado por Einstein,
utilizaremos conceptos proporcionados dentro del ámbito de la física moderna como: Las
Transformadas De Lorentz, La Teoría De Relatividad Especial y el Efecto Doppler
Relativista (que será la forma de confirmar nuestros resultados).

Asumiremos, también, algunas condiciones iniciales en el problema dado como despreciar
algunas aceleraciones que presenta el cohete donde viaja Marlon, para poder aplicar La
Teoría Especial de la Relatividad , que sólo es válido para sistemas de Referencia Inerciales
y aplicando correctamente los postulados de la TER y sus consecuencias (dilatación del
tiempo, contracción de longitudes, entre otras) y realizando los cálculos correctos, se podrá
explicar y dejar claro que tal paradoja no es ninguna paradoja.

El Aprendizaje Basado en
Problemas como técnica didáctica

Es una estrategia de enseñanza-aprendizaje en la que tanto la adquisición de conocimientos
como el desarrollo de habilidades y actitudes resulta importante, en el ABP un grupo
pequeño de alumnos se reúne, con la facilitación de un tutor, a analizar y resolver un
problema seleccionado o diseñado especialmente para el logro de ciertos objetivos de
aprendizaje. Durante el proceso de interacción de los alumnos para entender y resolver el
problema se logra, además del aprendizaje del conocimiento propio de la materia, que
puedan elaborar un diagnóstico de sus propias necesidades de aprendizaje, que comprendan
la importancia de trabajar colaborativamente, que desarrollen habilidades de análisis y
síntesis de información, además de comprometerse con su proceso de aprendizaje.
El ABP se sustenta en diferentes corrientes teóricas sobre el aprendizaje humano, tiene
particular presencia la teoría constructivista, de acuerdo con esta postura en el ABP se
siguen tres principios básicos:
El entendimiento con respecto a una situación de la realidad surge de las
interacciones con el medio ambiente.
El conflicto cognitivo al enfrentar cada nueva situación estimula el aprendizaje.
El conocimiento se desarrolla mediante el reconocimiento y aceptación de los
procesos sociales y de la evaluación de las diferentes interpretaciones individuales
del mismo fenómeno.
El ABP incluye el desarrollo del pensamiento crítico en el mismo proceso de enseñanza -
aprendizaje, no lo incorpora como algo adicional sino que es parte del mismo proceso de
interacción para aprender. El ABP busca que el alumno comprenda y profundice
adecuadamente en la respuesta a los problemas que se usan para aprender abordando
aspectos de orden filosófico, sociológico, psicológico, histórico, práctico, etc. Todo lo
anterior con un enfoque integral. La estructura y el proceso de solución al problema están
siempre abiertos, lo cual motiva a un aprendizaje consciente y al trabajo de grupo
sistemático en una experiencia colaborativa de aprendizaje.

Los alumnos trabajan en equipos de seis a ocho integrantes con un tutor/facilitador que
promoverá la discusión en la sesión de trabajo con el grupo. El tutor no se convertirá en la
autoridad del curso, por lo cual los alumnos sólo se apoyarán en él para la búsqueda de
información. Es importante señalar que el objetivo no se centra en resolver el problema
sino en que éste sea utilizado como base para identificar los temas de aprendizaje para su
estudio de manera independiente o grupal, es decir, el problema sirve como detonador para
que los alumnos cubran los objetivos de aprendizaje del curso. A lo largo del proceso de
trabajo grupal los alumnos deben adquirir responsabilidad y confianza en el trabajo
realizado en el grupo, desarrollando la habilidad de dar y recibir críticasorientadas a la
mejora de su desempeño y del proceso de trabajo del grupo.
Dentro de la experiencia del ABP los alumnos van integrando una metodología propiapara
la adquisición de conocimiento y aprenden sobre su propio proceso de aprendizaje.
Los conocimientos son introducidos en directa relación con el problema y no de
maneraaislada o fragmentada. En el ABP los alumnos pueden observar su avance en
eldesarrollo de conocimientos y habilidades, tomando conciencia de su propio desarrollo.

Características del ABP
Una de las principales características del ABP está en fomentar en el alumno la
actitudpositiva hacia el aprendizaje, en el método se respeta la autonomía del estudiante,
quienaprende sobre los contenidos y la propia experiencia de trabajo en la dinámica
delmétodo, los alumnos tienen además la posibilidad de observar en la práctica
aplicacionesde lo que se encuentran aprendiendo en torno al problema.
La transferencia pasiva de información es algo que se elimina en el ABP, por elcontrario,
toda la información que se vierte en el grupo es buscada, aportada, o bien,generada por el
mismo grupo.
A continuación se describen algunas características del ABP:
Es un método de trabajo activo donde los alumnos participan constantemente en
laadquisición de su conocimiento.
El método se orienta a la solución de problemas que son seleccionados o
diseñadospara lograr el aprendizaje de ciertos objetivos de conocimiento.
El aprendizaje se centra en el alumno y no en el profesor o sólo en los contenidos.

Es un método que estimula el trabajo colaborativo en diferentes disciplinas, se
trabajaen grupos pequeños.
Los cursos con este modelo de trabajo se abren a diferentes disciplinas
delconocimiento.
El maestro se convierte en un facilitador o tutor del aprendizaje.
Al trabajar con el ABP la actividad gira en torno a la discusión de un problema y
elaprendizaje surge de la experiencia de trabajar sobre ese problema, es un método
queestimula el autoaprendizaje y permite la práctica del estudiante al enfrentarlo
asituaciones reales y a identificar sus deficiencias de conocimiento.

Objetivos del ABP
El ABP busca un desarrollo integral en los alumnos y conjuga la adquisición
deconocimientos propios de la especialidad de estudio, además de habilidades, actitudes
yvalores. Se pueden señalar los siguientes objetivos del ABP:
Promover en el alumno la responsabilidad de su propio aprendizaje.
Desarrollar una base de conocimiento relevante caracterizada por profundidad
yflexibilidad.
Desarrollar habilidades para la evaluación crítica y la adquisición de
nuevosconocimientos con un compromiso de aprendizaje de por vida.
Desarrollar habilidades para las relaciones interpersonales.
Involucrar al alumno en un reto (problema, situación o tarea) con iniciativa
yentusiasmo.
Desarrollar el razonamiento eficaz y creativo de acuerdo a una base de
conocimientointegrada y flexible.
Monitorear la existencia de objetivos de aprendizaje adecuados al nivel de
desarrollode los alumnos.
Orientar la falta de conocimiento y habilidades de manera eficiente y eficaz hacia
labúsqueda de la mejora.
Estimular el desarrollo del sentido de colaboración como un miembro de un
equipopara alcanzar una meta común.

¿Cómo difiere el ABP de otras estrategias didácticas?
En el siguiente cuadro se señalan algunas diferencias importantes entre el proceso
deaprendizaje tradicional y el proceso de aprendizaje en el ABP:

En un proceso de aprendizaje tradicional: En un proceso de Aprendizaje Basado en
Problemas:
El profesor asume el rol de experto o Los profesores tienen el rol de facilitador, tutor, guía,
autoridadformal. coaprendiz, mentor o asesor.
Los profesores transmiten la información a Los alumnos toman la responsabilidad de aprender
losalumnos. ycrear alianzas entre alumno y profesor.
Los profesores organizan el contenido Los profesores diseñan su curso basado en
enexposiciones de acuerdo a su disciplina. problemas abiertos.
Los profesores incrementan la motivación de los
estudiantes presentando problemas reales.
Los alumnos son vistos como ―recipientes vacíos‖o Los profesores buscan mejorar la iniciativa de los
receptores pasivos de información. alumnos y motivarlos. Los alumnos son vistos como
sujetos que pueden aprender por cuenta propia.
Las exposiciones del profesor son basadas Los alumnos trabajan en equipos para resolver
encomunicación unidireccional; la información problemas, adquieren y aplican el conocimiento en
estransmitida a un grupo de alumnos. una variedad de contextos.
Los alumnos localizan recursos y los profesores los
guían en este proceso.
Los alumnos trabajan por separado. Los alumnos conformados en pequeños grupos
interactúan con los profesores quienes les ofrecen
retroalimentación.
Los alumnos absorben, transcriben, memorizan Los alumnos participan activamente en la resolución
yrepiten la información para actividades del problema, identifican necesidades de aprendizaje,
específicascomo pruebas o exámenes. investigan, aprenden, aplican y resuelven problemas.
El aprendizaje es individual y de competencia. Los alumnos experimentan el aprendizaje en un
ambiente cooperativo.
Los alumnos buscan la ―respuesta correcta‖ paratener Los profesores evitan solo una ―respuesta correcta‖
éxito en un examen. yayudan a los alumnos a armar sus preguntas,
formularproblemas, explorar alternativas y tomar
decisionesefectivas.
La evaluación es sumatoria y el profesor es el Los estudiantes evalúan su propio proceso así como
único evaluador. los demás miembros del equipo y de todo el grupo.

Además el profesor implementa una evaluación
integral, en la que es importante tanto el proceso
como el resultado.

Pasos del proceso de aprendizaje en el esquema convencional:

1. Se expone lo 3. Se presenta un
que se debe 2. Se aprende la problema para
saber. información. aplicar lo
(Conocimientos) aprendido.

Pasos del proceso de aprendizaje en el ABP:

Pasos para la resolución de un problema ABP:

• LEER Y ANALIZAR EL ESCENARIO DEL PROBLEMA
•Se busca con esto que el alumno verifique su comprensión del escenario mediante la discusión del
PASO 1 mismo dentro de su equipo de trabajo.

•REALIZAR UNA LLUVIA DE IDEAS
•Los alumnos usualmente tienen teorías o hipótesis sobre las causas del problema; o ideas de cómo
resolverlo. Estas deben de enlistarse y serán aceptadas o rechazadas, según se avance en la
PASO 2 investigación.

•HACER UNA LISTA DE AQUELLO QUE SE CONOCE
•Se debe hacer una lista de todo aquello que el equipo conoce acerca del problema o situación.
PASO 3

•HACER UNA LISTA DE AQUELLO QUE SE DESCONOCE
•Se debe hacer una lista con todo aquello que el equipo cree se debe de saber para resolver el
PASO 4 problema. Existen muy diversos tipos de preguntas que pueden ser adecuadas; algunas pueden
relacionarse con conceptos o principios que deben estudiarse para resolver la situación.

•HACER UNA LISTA DE AQUELLO QUE NECESITA HACERSE PARA RESOLVER EL PROBLEMA
•Planear las estrategias de investigación. Es aconsejable que en grupo los alumnos elaboren una lista
PASO 5 de las acciones que deben realizarse.

•DEFINIR EL PROBLEMA
•La definición del problema consiste en un par de declaraciones que expliquen claramente lo que el
PASO 6 equipo desea resolver, producir, responder, probar o demostrar.

•OBTENER INFORMACIÓN
•El equipo localizará, acopiará, organizará, analizará e interpretará la información de diversas fuentes.
PASO 7

•PRESENTAR RESULTADOS
•El equipo presentará un reporte o hará una presentación en la cual se muestren las
recomendaciones, predicciones, inferencias o aquello que sea conveniente en relación a la solución
PASO 8 del problema.

La Paradoja de los Gemelos

En 1905 un desconocido físico alemán llamado Albert Einstein publicó un artículo que
cambiaría radicalmente el significado de conceptos como ―espacio‖ y ―tiempo‖. Lo
conocemos como Teoría de la Relatividad Especial. Esta teoría se apoya en el principio de
relatividad y en la constancia de la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia
inercial. Permitió establecer una equivalencia entre ―masa‖ y ―energía‖, y redefinir el
concepto del ―espacio-tiempo‖. De ella se derivaron predicciones y, por supuesto, surgieron
algunas curiosidades. Una de las más desconcertantes es que un observador vea que un
cuerpo en movimiento posee una longitud más corta que la que tiene en reposo. Otra, que la
duración de los eventos que afectan a un cuerpo en movimiento son más largos con
respecto al mismo evento medido por un observador que se encuentra en el sistema de
referencia del cuerpo en reposo. Dejando las matemáticas de lado, la Relatividad Especial
nos dice que el tiempo se ralentiza con la velocidad.
Esto da lugar a la famosa ―paradoja de los gemelos‖
La paradoja de los gemelos (o paradoja de los relojes), propuesta por Albert Einstein, es un
experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores
con diferentes estados de movimiento. Los protagonistas son dos gemelos, y el primero de
ellos hace un viaje en una nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. El
otro se queda en la Tierra. Al regresar, el viajero es más joven que el gemelo terrestre
debido a los efectos de la Teoría Especial de la Relatividad. Pero desde el punto de vista del
viajero, el que se mueve alejándose es el que quedó en la Tierra, y el gemelo de la nave es
quien tendría que envejecer más rápido. ¿Cómo se resuelve la paradoja?

OBJETIVOS:

Comprender los postulados de la Relatividad Especial de Albert Einstein respecto a la a la
no detección del Movimiento Absoluto Uniforme y la constancia de la Velocidad de la Luz.

Comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas de referencia inerciales que se
mueven con velocidad constante unos respecto de otros.

Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría de la Relatividad en la medición de
los intervalos de tiempo y espacio, así como en la frecuencia de la luz cuando la fuente se
desplaza con una velocidad comparable al de la luz.

PARADOJA: MÚSICOS SIDERALES

Marlon y Rocío son dos hermanos que forman un dúo de músicos muy talentosos que
tienen muchas cosas en común, entre otras, haber nacido el mismo día y el mismo año.
Existe entre ellos un sentimiento fraternal que les ha permitido alcanzar un buen nivel de
comprensión, tanto en el plano familiar como profesional.
El día en que ambos cumplen 20 años, Marlon recibe la noticia de haber sido contratado en
excelentes condiciones económicas para tocar en una importante banda de rock universal.
El detalle del contrato consiste en que el lugar de trabajo está ubicado en un planeta que se
encuentra a 8 años luz de la tierra, motivo por el cual se produce una obligada separación
entre los dos.
Rocío, que además de la música muestra mucho interés
por temas referidos a la Física, ha conseguido la
información de que la compañía de viajes interestelares
―APOCALIPSIS‖, que llevará de viaje a Marlon,
atravesará el espacio a una velocidad de crucero igual a
0,8c (―c‖ es la velocidad de la luz en el vacío) y que
además el viaje durará 6 años.
Esto ha llamado poderosamente la atención de Rocío,
pues sus conocimientos de Mecánica Clásica le han
permitido calcular que este viaje debería durar 10 años.
El carácter inquieto de Rocío le ha llevado a consultar sus predicciones con el personal de
vuelo, quienes le han ratificado en todas las formas que el viaje, efectivamente, durará 6
años.
¿Cómo se explica que este viaje emplee menos tiempo de lo que le corresponde?
Al despedirse, Marlon le propone a Rocío enviarse mutuamente señales de luz cuando
cumplan años. Si al llegar al lejano planeta Marlon decide emprender el retorno de forma
inmediata, el número de señales recibidas por ambos hasta el instante del reencuentro,
¿será exactamente el mismo?

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA:

En la enunciación más habitual de la paradoja, se toma como protagonistas a dos gemelos
(de ahí el nombre); el primero de ellos hace un largo viaje a una estrella en una nave
espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz; el otro gemelo se queda en la
Tierra. A la vuelta, el gemelo viajero es más joven que el gemelo terrestre.
De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y según su predicción de la dilatación
del tiempo, el gemelo que se queda en la Tierra envejecerá más que el gemelo que viaja por
el espacio a gran velocidad (más adelante se prueba esto mediante cálculo) porque
el tiempo propio del gemelo de la nave espacial va más lento que el tiempo del que
permanece en la Tierra y, por tanto, el de la Tierra envejece más rápido que su hermano.
Pero la paradoja surge cuando se hace la siguiente observación: visto desde la perspectiva
del gemelo que va dentro de la nave, el que se está alejando, en realidad, es el gemelo en la
Tierra (de acuerdo con la Invariancia galileana) y, por tanto, cabría esperar que, de acuerdo
con los cálculos de este gemelo, su hermano en la Tierra fuese quien tendría que envejecer
menos por moverse respecto de él a velocidades cercanas a la de la luz. Esto es, el gemelo
de la nave es quien tendría que envejecer más rápido.
La paradoja quedaría dilucidada si se pudiese precisar quién envejece más rápido realmente
y qué hay de erróneo en la suposición de que, de acuerdo con los cálculos del gemelo de la
nave, es el gemelo terrestre quien envejece menos.

PREGUNTAS ADICIONALES

1. ¿De qué tratan los Postulados de Einstein?.¿Tienen estos postulados alguna
conexión con el problema planteado?
2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo dilatado a partir de las
Transformaciones de Lorentz?
3. Valiéndose sólo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro método podrían aplicar
para deducir la misma relación de tiempo dilatado?
4. Elaboren un análisis relativístico del problema planteado y formulen una hipótesis
de trabajo para resolver la posible incongruencia de resultados de Rocío.
5. Comparar los resultados acerca del tiempo de viaje eligiendo como sistema de
referencia:
a) La tierra.
b) La nave en que viaja Marlon.
6. Utilizar las relaciones de mecánica clásica y las obtenidas para espacio contraído y
tiempo dilatado según corresponda.
7. Elaboren un juicio de valor acerca de los resultados obtenidos en la pregunta
anterior.
8. En base a uno de los Postulados de Einstein se puede elegir como sistema en reposo
a la nave en que se encuentra Marlon, entonces ¿cuánto tiempo demoraría Rocío en
volver de su viaje con la tierra? Despreciar el arranque y el frenado de la nave.
9. Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora los resultados de la
pregunta (5) con los de la pregunta (7), ¿cuántos años han pasado realmente para los
dos protagonistas de esta historia?
10. ¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia de la luz cuando el observador o la fuente
experimentan un movimiento?
11. Explica la conocida expresión: ―Corrimiento al rojo‖.
12. El conteo de las señales de luz que se enviaron los protagonistas, ¿permitirá
determinar los años transcurridos para los dos?. Analicen y elaboren una síntesis del
estudio de este fenómeno.

13. Evalúen otras posibles consecuencias de viajar a grandes velocidades y el eventual
uso práctico de la dilatación del tiempo en los viajes espaciales.

FUENTES DE INFORMACIÓN

A. FUENTES BIBLIOGRÁFICAS
1. Física Fundamental.
Jay Orear. Editorial Limusa- Wiley, S.A. México 1970.
2. Física, tomo II. 3ra Edición.
Raymond A. Serway. Mc GRAW-HILL. S.A. México 1993.
3. Física para la ciencia y la tecnología, volumen II. 4ta. Edición.
Paul A. Tipler. Editorial REVERTÉ, S.A. Barcelona 2000.
4. Física Conceptual. 3ra Edición
Paul G. Hewitt. Addison Wesley Longman. México 1999.
5. Introducción a la Teoría Especial de la Relatividad
Robert Resnick. Editorial Limusa. México 1981
6. ¿Qué es la Teoría de la Relatividad?
L. Landau. Y. Rummer. Editorial Aguilera,1974.

B. RECURSOS DE LAS NTIC
1. Temas de electromagnetismo
http//www.enebro.pntic.ms.es /fisica.html
http//www.monografías.com/ciencias-y-tecnologia/fisica/la relatividad
2. Física Virtual
http//www.pergamino virtual.com/categorías/ciencia_y_tcenología_fisica1.shtml
http//www.filosofiacuba.com/eugenio/06/06.html
3. APPLETS de Relatividad.

SUPUESTOS
A. CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Fundamentos de mecánica clásica referidos a cinemática.
2. Resolver ecuaciones de dos variables que requieren la potenciación por dos.
B. NECESIDADES DE APRENDIZAJE
1. Conocer los postulados de Einstein.
2. Establecer una relación entre la velocidad y el tiempo de duración del viaje.
3. Establecer una relación entre velocidad y espacio.
4. Aprender las relaciones de transformación de Lorentz.
5. Conocer el efecto Doppler relativístico.
C. HIPÓTESIS / CONJETURAS
 La dilatación del tiempo es más notoria cuando se viaja a grandes velocidades.
 La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos observadores el tiempo
medido por estos observadores, en general, no coincide sino que la diferente medida
de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos.
D. POSIBLES SOLUCIONES
SOL1:El tiempo puede ser calculado tomando a la nave como sistema en reposo y a
la tierra y Rocío en movimiento, en cuyo caso su valor debe ser igual al que anuncia
la compañía de vuelo para el viaje de Marlon. Aquí es de esperar la existencia de
una asimetría.
SOL 2:El número de señales deben ser diferentes: Rocío recibe menos señales
luminosas que Marlon, pues éste se encuentra en movimiento y esto afecta a la
frecuencia de la luz.

I) MARCO TEORICO

Recordemos algunas expresiones de la Mecánica clásica:

;

;

A. La Teoría De La Relatividad Especial
También llamada Teoría de la relatividad restringida, es una teoría física publicada en 1905
por Albert Einstein. Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es
igual en todos los sistemas de referencias inerciales y de obtener todas las consecuencias
del principio de relatividad de Galileo, según el cual cualquier experimentación realizada
en un sistema de referencia inercial se desarrollará de manera idéntica en cualquier otro
sistema inercial.

La Teoría de la relatividad especial estableció nuevas ecuaciones que permitían pasar de un
sistema de referencia inercial a otro. Las ecuaciones correspondientes conducen a
fenómenos que chocan con el sentido común, siendo uno de los más asombrosos y más
famosos la llamada paradoja de los gemelos.

La relatividad especial tuvo también un impacto en la filosofía, eliminando toda posibilidad
de existencia de un tiempo y de un espacio absoluto en el conjunto del universo.

POSTULADOS:

 Primer postulado - Principio especial de relatividad - Las leyes de la física son las
mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un
sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto.
 Segundo postulado - Invariancia de c - La velocidad de la luz en el vacío es una
constante universal, c, que es independiente del movimiento relativo del observador y
la fuente luminosa.

El poder del argumento de Einstein está en la manera como deriva en resultados
sorprendentes y plausibles a partir de dos simples hipótesis y cómo estas predicciones
fueron confirmadas por las observaciones experimentales.

Principio de Relatividad

Henri Poincaré, matemático francés, sugirió a finales del siglo XIX que el principio de
relatividad establecido desde Galileo (la invariancia galileana) se mantiene para todas las
leyes de la naturaleza. Joseph Larmor y HendrikLorentz descubrieron que las ecuaciones de
Maxwell, la piedra angular del electromagnetismo, eran invariantes solo por una variación
en el tiempo y una cierta unidad longitudinal, lo que produjo mucha confusión en los
físicos, que en aquel tiempo estaban tratando de argumentar las bases de la teoría del éter,
la hipotética substancia sutil que llenaba el vacío y en la que se transmitía la luz. El
problema es que este éter era incompatible con el principio de relatividad.

En su publicación de 1905 en electrodinámica, Henri Poincaré y Albert Einstein explicaron
que, con las transformaciones hechas por Lorentz, este principio se mantenía perfectamente
invariable. La contribución de Einstein fue el elevar a este axioma a principio y proponer
las transformadas de Lorentz como primer principio. Además descartó la noción de tiempo
absoluto y requirió que la velocidad de la luz en el vacío sea la misma para todos los
observadores, sin importar si éstos se movían o no. Esto era fundamental para las

ecuaciones de Maxwell, ya que éstas necesitan de una invarianza general de la velocidad de
la luz en el vacío.

B. Transformaciones De Lorentz
Ahora, existía una inconsistencia entre la completa descripción del electromagnetismo
realizada por Maxwell y la mecánica clásica. Para ellos, la luz era una onda
electromagnética transversal que se movía por un sistema de referencia privilegiado, al cual
lo denominaban éter.

HendrikAntoonLorentz trabajó en resolver este problema y fue desarrollando unas
transformaciones para las cuales las ecuaciones de Maxwell quedaban invariantes y sin
necesidad de utilizar ese hipotético éter. La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como
la Teoría electrónica de Lorentz, no excluía al éter. En la misma, Lorentz proponía que la
interacción eléctrica entre dos cuerpos cargados se realizaba por medio de unos corpúsculos
a los que llamaba electrones y que se encontraban adheridos a la masa en cada uno de los
cuerpos. Estos electrones interactuaban entre sí mediante el éter, el cual era contraído por
los electrones acorde a transformaciones específicas, mientras estos se encontraban en
movimiento relativo al mismo. Estas transformaciones se las conoce ahora como
transformaciones de Lorentz.

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la relatividad especial, son un
conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las medidas de una magnitud
física obtenidas por dos observadores diferentes.

Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de la relatividad especial de
Einstein.

La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante
para todos los observadores inerciales.

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ DE LAS COORDENADAS

Una de las consecuencias de quea diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica, en
mecánica relativista no exista un tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre
dos sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes observadores en
diferentes estados de movimiento son diferentes. Eso implica que las coordenadas de
tiempo y espacio medidas por dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo,
debido a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros observadores son
relacionales por reglas fijas: las transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

Para examinar la forma concreta que toman estas transformaciones de las coordenadas se
consideran dos sistemas de referencia inerciales u observadores inerciales: y y se
supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o punto del espacio-tiempo
(representable por un instante de tiempo y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de
coordenadas diferentes:

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismo punto del espacio-
tiempo, estas deben ser relacionables de algún modo. Las transformaciones de Lorentz dicen
que si el sistema está en movimiento uniforme a velocidad a lo largo del eje X del
sistema y en el instante inicial ( ) el origen de coordenadas de ambos sistemas
coinciden,de aquí las ecuaciones que describen la transformación de un sistema a otro son:

Equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

Donde es la velocidad de la luz en el vacío.

Contrario a nuestro conocimiento actual, en aquel momento esto era una completa
revolución, debido a que se planteaba una ecuación para transformar al tiempo, cosa que
para la época era imposible. En la mecánica clásica, el tiempo era un invariante. Y para que
las mismas leyes se puedan aplicar en cualquier sistema de referencia se obtiene otro tipo
de invariante a grandes velocidades (ahora llamadas relativistas), la velocidad de la luz.

Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma matricial:

Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad
relativa respecto de la luz:

La transformación de Lorentz anterior toma esa forma en el supuesto de que el origen de
coordenadas de ambos sistemas de referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta
restricción la forma concreta de las ecuaciones se complica.

Si, además, se elimina la restricción de que la velocidad relativa entre los dos sistemas se dé
según el eje X y que los ejes de ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, las

expresiones de la transformación de Lorentz se complican más aún, denominándose la
expresión general transformación de Poincaré (1905).

C. Simultaneidad

Directamente de los postulados expuestos arriba, y por supuesto de las transformaciones de
Lorentz, se deduce el hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos
acontecimientos hayan ocurrido al mismo tiempo en diferentes lugares. Si dos sucesos
ocurren simultáneamente en lugares separados espacialmente desde el punto de vista de un
observador, cualquier otro observador inercial que se mueva respecto al primero los
presencia en instantes distintos.

Matemáticamente, esto puede comprobarse en la primera ecuación de las transformaciones
de Lorentz:

Dos eventos simultáneos verifican ∆t≠0, pero si sucedieron en lugares distintos (con ∆x≠0),
otro observador con movimiento relativo obtiene ∆t'≠0. Sólo en el caso ∆t=0 y ∆x=0 no
ocurre esto (sucesos simultáneos en el mismo punto).

El concepto de simultaneidad puede definirse como sigue. Dados dos eventos puntuales E1
y E2, que ocurre respectivamente en instantes de tiempo t1 y t2, y en puntos del espacio P1
= (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2), todas las teorías físicas admiten que estos sólo pueden
darse una, de tres posibilidades mutuamente excluyentes:

 Es posible para un observador estar presente en el evento E1 y luego estar en el
evento E2, y en ese caso se afirma que E1 es un evento anterior a E2. Además si eso
sucede no puede existir otro observador que verifique 2.
 Es posible para un observador estar presente en el evento E2 y luego estar en el
evento E1, y en ese caso se afirma que E1 es un evento posterior a E2. Además si eso
sucede no puede existir otro observador que verifique 1.

 Es imposible para algún observador puntual, estar presente simultáneamente en los
eventos E1 y E2.

Dado un evento cualquiera, el conjunto de eventos puede dividirse según esas tres
categorías anteriores. Es decir, todas las teorías físicas permiten fijado un evento, clasificar
a los demás eventos: en (1) pasado, (2) futuro y (3) resto de eventos (ni pasados ni futuros).
En mecánica clásica esta última categoría está formada por los sucesos llamados
simultáneos, y en mecánica relativista eventos no relacionados causalmente con el primer
evento. Sin embargo, la mecánica clásica y la mecánica relativista difieren en el modo
concreto en que esa división entre pasado, futuro y otros puede hacerse y en si dicho
carácter es absoluto o relativo de dicha partición.

D. Dilatación Del Tiempo Y Contracción De La Longitud

Como se dijo previamente, el tiempo en esta teoría deja de ser absoluto como se proponía
en la mecánica clásica. O sea, el tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de
ser el mismo. Si tenemos un observador inmóvil haciendo una medición del tiempo de un
acontecimiento y otro que se mueva a velocidades relativistas, los dos relojes no tendrán la
misma medición de tiempo. Mediante la transformación de Lorentz nuevamente llegamos a
comprobar esto. Se coloca un reloj ligado al sistema S y otro al S', lo que nos indica que x
= 0. Se tiene las transformaciones y sus inversas en términos de la diferencia de
coordenadas:

Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos:

De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en el sistema en movimiento S' serán
más largos que los del S. La relación entre ambos es esa γ. Este fenómeno se lo conoce
como dilatación del tiempo. Si se dice que el tiempo varía a velocidades relativistas, la
longitud también lo hace. Un ejemplo sería si tenemos a dos observadores inicialmente
inmóviles, éstos miden un vehículo en el cual solo uno de ellos "viajará" a grandes
velocidades, ambos obtendrán el mismo resultado. Uno de ellos entra al vehículo y cuando
adquiera la suficiente velocidad mide el vehículo obteniendo el resultado esperado, pero si
el que esta inmóvil lo vuelve a medir, obtendrá un valor menor. Esto se debe a que la
longitud también se contrae. Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x y
condicionando a ∆t'=0 se obtiene:

De lo cual podemos ver que existirá una disminución debido al cociente. Estos efectos solo
pueden verse a grandes velocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana las conclusiones
obtenidas a partir de estos cálculos no tienen mucho sentido.

E. Efecto Doppler Relativista
En física, el efecto Doppler relativista es el cambio observado en la frecuencia de la luz
procedente de una fuente en movimiento relativo con respecto al observador. El efecto
Doppler relativista es distinto del efecto Doppler de otro tipo de ondas como el sonido
debido a que la velocidad de la luz es constante para cualquier observador
independientemente de su estado de movimiento. A su vez, requiere para su explicación el
manejo de la teoría de la relatividad especial.

Cuando una fuente de ondas se acerca o se aleja a un receptor, ocurre el llamado efecto
Doppler. Cuando se acerca el emisor resulta que las ondas ―se aprietan‖ aumentando la
frecuencia de las ondas por delante de él y disminuyendo por detrás. Y cuando es el
receptor es que se acerca al emisor tenemos que el receptor va alcanzando las ondas que se
le acercan antes de lo previsto. En ambos casos el acercamiento provoca un aumento de la
frecuencia percibida y el alejamiento una disminución.

Es interesante estudiar cómo afecta la relatividad especial a este fenómeno, pues no
podemos olvidar que a altas velocidades el tiempo se vuelve lento en el objeto móvil
respecto al sistema de referencia considerado en reposo.

Supongamos que una nave se aleja de la Tierra hacia otra estrella (en reposo relativo
respecto a la Tierra) a velocidad relativa a la Tierra ―v‖.

La estrella emite radiaciones a una frecuencia ―f0‖, que son observadas desde la nave y los
astronautas miden una frecuencia " ".

Por efecto Dopplergalileano tenemos que la frecuencia observada por la nave será

Pero dado que no podemos olvidar la RE, tenemos que hemos considerado a la estrella en
reposo, y entonces debo aplicar la RE desde el punto de vista de la estrella, con lo que la

nave se mueve y posee sus relojes más lentos en un factor .

Así que la verdadera frecuencia que percibiría la nave al observar a la estrella sería mayor,
pues recibirá más fotones por segundo propio, y sería:

..... (1)

Esta es la expresión típica del efecto Doppler relativista que se puede simplificar a

Si ahora consideramos el problema desde el punto de vista de la nave, considerándola
inercial, tenemos que el efecto Doppler clásico es diferente = c/(c-v). Si comparamos
los efectos doppler clásicos resulta que podríamos determinar "quién se mueve". Podríamos
determinar el "movimiento absoluto". Pero estamos tratando de verlo desde un punto de
vista relativista y no hemos terminado de completar la fórmula. Debemos tener en cuenta
que, desde el punto de vista de la nave y suponiendo que la nave está en reposo, es la
estrella la que se mueve y acerca a una velocidad ―v‖. Con lo que ahora es la estrella la que
tiene su tiempo enlentecido en el mismo factor de antes y la nave no.

Así resulta que la frecuencia observada entonces debería ser menor que el Doppler
esperado, pues la estrella emitirá menos fotones por segundo, siendo entonces

...... (2)

Esta expresión también se puede simplificar y resulta

¡La misma expresión típica del efecto Doppler relativista que antes!

Desde ambos puntos de vista resulta que la medición por parte del observador será la
misma, manifestándose así el principio de relatividad en todo su esplendor, pues por
observación del efecto Doppler ningún observador podrá determinar si está más en reposo
que otro.

Para terminar observemos en el siguiente gráfico la representación de los dos efectos
Doppler clásicos y la del Doppler relativista

Podemos observar claramente la diferencia entre los tres, y que en el verdaderamente
correcto, el relativista, la relación / tiende a infinito a medida que la velocidad se acerca
a la de la luz (v/c se acerca a 1).

La corrección relativista al efecto Doppler es una de las principales pruebas de la dilatación
temporal predicha por la teoría de la relatividad.

II) SOLUCIONES:

SOLUCIÓN “1” DE LA PARADOJA

Recordando los postulados de la Relatividad Especial de Einstein, debido a que hemos
considerado que la velocidad de la luz es contante en sus propios sistemas de referencia,
entonces concluimos que uno está usando incorrectamente las leyes de la física en el
sentido relativístico.
Ambos aplican la fórmula de la dilatación del tiempo, ahora veremos quién de ellos está
aplicando erróneamente dicha ecuación. .
Recordando que cada uno de los observadores tiene un reloj, a través de éste desea medir
qué tanto se demora su hermano hasta el encuentro.
La relación de la fórmula entre el sistema estático y el que se mueve (no al revés), tomando
en cuenta el experimento mental de Einstein. A partir de ahí concluimos que la fórmula de
dilatación del tiempo solo puede ser aplicada por Rocío y no por Marlon.
Por tanto debemos usar una ecuación más general como las Transformaciones de Lorentz.
Usando la forma en el tiempo tanto como la directa como para la inversa:
vx
t1 t1
c2
vx
t2 t2
c2

vx
t1 t1
c2
vx
t2 t2
c2
Evaluando, el sistema de referencia móvil es la nave y es la misma nave la que se va
analizar bajo su propio sistema de referencia, por tanto x es siempre cero para S’, desde su
partida en la tierra, hasta su llegada al otro planeta; por tanto, si se aplica en las

transformadas se consigue: t t

Esto es para el punto de vista de S que es Rocío, como se dijo, Rocío usó bien la fórmula.

Ahora evaluando la transformada directa:

vx2 vx1
t 2 t1 t 2 t1 ( )
c2 c2

Recordar que x1 es diferente de x2 en el viaje según S; esta es la transformada correcta que
debe usar Marlon. Notar que x1 es la posición de la tierra según S y x2 es la posición de la
nave según S.
Especificando:
v
t t ( x)
c2

Pero esta ecuación está determinada con los datos de Rocío, así que tenemos que
convertirlo con los datos de Marlon, entonces usaremos las transformaciones de Lorentz
para poner la ecuación en función de datos de Marlon:

Esta es la verdadera ecuación que debe usar Marlon en el viaje para ver cuánto tiempo pasa
para Rocío.

SOLUCIÓN “2” DE LA PARADOJA

El número de señales deben ser diferentes, rocío recibe menos señales luminosas que
Marlon, pues este se encuentra en movimiento y esto afecta a la frecuencia de la luz.

Las ondas de luz deben analizarse en forma distinta a como se analizan las ondas sonoras,
ya que no requieren de ningún medio para propagarse y no existe ningún método para
distinguir el movimiento de la fuente de luz del movimiento del observador. Así, es de
esperar encontrara una formula diferente para el corrimiento Doppler de ondas de luz, una
que solo sea sensible al movimiento relativo de la fuente y el observador, y que sea válida
para velocidades relativas de la fuente y el observador próximas a c.

: es la frecuencia medida por un observador que se aproxima a una fuente de luz

: es la frecuencia según se mide en el sistema de referencia en que la fuente
esta en reposo.

La expresión para el caso de una fuente que se aleja se obtiene al sustituir ―v” por, ―-v” en
la ecuación.

Ahora cada uno de estos casos entre el movimiento de la fuente y el receptor, tienen un
nombre específico:

Corrimiento al Rojo:Sucede cuando una fuente de luz se aleja del observador:

Corrimiento al Azul:Sucede cuando una fuente de luz se acerca al observador:

Ahora para poder analizar nuestro problema tenemos que analizar lo que sucede desde el
punto de cada observador (Marlon y Rocío).

Desde el punto de vista de Marlon

Viaje de ida:

Para Marlon el viaje de ida será de 6 años, como hemos visto anteriormente, por lo tanto
durante estos 6 años que se aleja él recibirá las señales que Roció envía con una frecuencia
= 1/3 , por lo tanto en 6 años recibirá 1/3 de señal por año lo cual hace un total de 2
señales en el viaje de ida.

Viaje de regreso:

Ahora la fuente y el receptor se están acercando por lo que la nueva relación de frecuencias
será de =3 , como el viaje de regreso dura también un total de 6 años Marlon recibirá
en este tiempo 3 señales por año lo cual hace un total de 18 señales durante el viaje de
regreso

Pues juntando ambos datos concluimos que en todo el viaje, ida y vuelta, Marlon ha
recibido un total de 20 señales enviadas por Roció con lo cual Marlon concluye que para
Roció han pasado un total de 20 años.

Desde el punto de vista de Rocío

Viaje de ida:

Nuevamente la fuente y el receptor se alejan, en este caso la fuente será La nave mientras
que la tierra será el receptor por lo tanto la relación de frecuencias será la misma que en el
caso de Marlon = 1/3 solo que esta vez han cambiado los papeles, por lo tanto durante
el viaje de ida Rocío recibirá 1/3 de señal por año durante el tiempo que Marlon viaja,
como calculamos anteriormente este viaje durara 10 años para Roció por lo tanto recibirá
10/3 de señales durante este tiempo.

Aun no podemos pasar al viaje de regreso puesto que Roció no sabe que Marlon ha
emprendido este viaje hasta que empiece a recibir señales a una mayor frecuencia, pues
justo cuando Marlon da la vuelta de regreso enviara una señal más la cual demorará, al
recorrer a la velocidad de la luz, un total de 8 años en llegar hasta Roció en los cuales la
frecuencia aun será de 1/3 de señal por año por lo que recibirá 8/3 de señales adicionales las
cuales agregamos a las 10/3 de señales anteriores y obtenemos un total de 6 señales en todo
el supuesto viaje de ida.

Viaje de regreso:

Como bien hemos comentado Roció no sabe que Marlon emprende el viaje de regreso hasta
que empiece a recibir las señales con mayor frecuencia y vimos que esto será después que
llega la última señal antes que Marlon regrese, es decir 8 años después de Marlon dio la
vuelta de regreso a la tierra, ahora como dicho viaje dura 10 años solo nos quedan 2 años en
los cuales Roció recibirá señales con una frecuencia de =3 , entonces recibes 3 señales
por año durante esos 2 últimos años lo cual hace un total de 6 señales.

Nuevamente juntamos ambos resultados, 6 señales en los primeros 18 años y 6 señales más
en los 2 últimos años los cuales hacen un total de 12 señales durante todo el viaje, entonces
Roció concluiría que su hermano solo ha envejecido 12 años durante su viaje de ida y de
regreso.

Veamos que en efecto hay una asimetría en el movimiento relativo entre Rocío y Marlon
que determina que sólo uno de los dos sea más joven que el otro, de modo que no hay
paradoja.

Y ahora podemos dar respuesta a la pregunta que dice si la cantidad de señales seria la
misma que recibirían ambos hasta el momento en que se vuelvan a encontrar. Marlon
recibe 20 señales y Rocío recibe 12 señales, por lo tanto el número de señales recibidas es
diferente.

III) PREGUNTAS ADICIONALES:

1. ¿De qué tratan los Postulados de Einstein? ¿Tienen estos postulados alguna conexión
con el problema planteado?

Los postulados de Einstein son:

Las leyes de la física son las mismas en cualquier marco de referencia inercial (principio
de relatividad).
La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor C en cualquier marco de
referencia inercial (principio de la constancia de la velocidad de la luz).

El primer postulado, este implica que el movimiento en línea recta y a velocidad constante
sólo se puede observar si existe un marco de referencia contra el cual comparar. Por lo
tanto no existe un marco de referencia absoluto con respecto al cual se pueden comparar
todos los movimientos. Entonces cualquier sistema de referencia inercial está apto para
describir un fenómeno físico.

Si las leyes difiriesen, esa diferencia permitiría distinguir un marco inercial de los otros o
haría que un marco fuese de algún modo más ―correcto‖ que otro. Veamos dos ejemplos.
Suponga que observa a dos niños que juegan a atrapar una pelota mientras usted y los niños
se hallan a bordo de un tren que avanza con velocidad constante. Sus observaciones del
movimiento de la pelota, no importa con cuanto cuidado las haga, no le pueden indicar con
qué rapidez (o si) se mueve el tren. Esto se debe a que las leyes de Newton del movimiento
son las mismas en todos los marcos inerciales.

El segundo postulado contradice las transformaciones de Galileo y confirma los resultados
del experimento de Michelson y Morley: si la velocidad de la luz esconstante no hay
diferencia de tiempo entre dos recorridos de la luz y por consiguiente no puede haber
corrimiento de las franjas de interferencia al girar el interferómetro. Además, también
afirma que la rapidez de la luz en un vacío es la misma en todos los marcos inerciales de
referencia y es independiente del movimiento del observador o de la fuente.

Reflexionemos en lo que esto significa. Supóngase que dos observadores miden la rapidez
de la luz en el vacío. Uno de ellos está en reposo respecto a la fuente de luz y el otro se
aleja de ella. Ambos se hallan en marcos inerciales de referencia. De acuerdo con el
principio de relatividad, los dos observadores deben obtener el mismo resultado, no
obstante el hecho de que uno se desplaza respecto al otro.

Estos postulados tienen relación con el problema, ya que el primer postulado se relaciona
en cualquier marco de referencia, en el problema se relaciona a la tierra donde esta Rocío, y
el otro sería la nave donde se va a transportar Marlon porque el experimenta unas
observaciones distintas aunque no parezca por nuestra física clásica

2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo dilatado a partir de las
Transformaciones de Lorentz?

Z z
’
v

O X x’
O’

y’

Y

Estas son las transformaciones de Galileo pero según la relatividad esto ya no sería
adecuado y necesitamos unas nuevas transformaciones que mantengan la velocidad de la
luz constante.

Las transformaciones de Galileo y las de Newton son válidas (las variaciones en el tiempo
y longitud son imperceptibles) cuando los objetos gobernados por ellas se mueven a
velocidades pequeñas comparadas con la luz. Pero es necesario un ajuste cuando la
velocidad de los objetos es muy grande, o comparable con ella.

Entonces las transformaciones de Galileo se multiplican por un factor adecuado para
obtener unas nuevas transformaciones adecuadas al problema e imponerle al factor la
condición de que para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, sea
igual a la unidad.

Esto hace que las nuevas transformaciones sean generales y se puedan aplicar en cualquier
caso.

Entonces:

–

Como :

–

x = (x' t ' u) ..........
..........
..........
.......(1)
y = y ' ..........
..........
..........
..........
..........
(2)
z = z ' ..........
..........
..........
..........
..........
.(3)
u
t = t´ x' 2
...........
..........
.......... 4)
.(
c

u u
t1 = t´1 x' 2
t 2 = t´2 x' 2
c c

De modo que:

El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurre en el mismo lugar en un sistema de
referencia se denomina el tiempo propio tp. En este caso, el intervalo de tiempo Δt medido
en cualquier otro sistema de referencia es siempre más largo que el propio. Este
crecimiento se denomina dilatación del tiempo:

Y para la contracción de la longitud se tiene:

x = (x - t u) .......... (1)
....
y = y..........
.......... 2)
.....(
z = z ..........
..........
.....(3)
u
t = t-x 2
.........( )
4
c

Consideremos una varilla en reposo en el sistema S´ con un extremo en x’2 y el otro x’1.
La longitud de la varilla en este sistema es su longitud propia Lp = x’2 – x’1. Para hallar la
longitud de la varilla en el sistema S hay que tener cierto cuidado. En este sistema la varilla
se está moviendo hacia la derecha con velocidad ―u‖, que es la velocidad de S’.

Se define la longitud de la varilla en el sistema S como – ; en donde es la
posición de un extremo en un cierto instante t1, y x1 es la posición del otro extremo en el
mismo instante , medidos en el sistema S. Para calcular – .

– –

Como , obtenemos:

–
– – –

Por lo tanto entonces la longitud del sistema de referencia S es mas pequeña en
comparación con la longitud propia (Contracción del espacio).

3. Valiéndose solo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro método podrían aplicar para
deducir la misma relación de tiempo dilatado?

Existe un ejemplo donde se dispara un haz de luz dentro de un vagón en la posición 1. En
esta posición el sostiene velocidad 0. En la posición 2 el sistema se mueve a una velocidad
constante V.

1 v 2

La luz en ambos sistemas y para ambos observadores debe viajar igual a c pero para los dos
observadores se ve que recorren caminos distintos.

- En 1 la luz recorre 2D a un tiempo Δt entonces:



- En 2 se ve que la luz recorre una distancia mayor, pero sabemos por los postulado
de Einstein que la luz no puede variar de velocidad sin importar donde se encuentre
el observador, entonces el que tiene que variar es el tiempo Δt’

C Δt’/2
D

vΔt’/2

Entonces despejando:

Reemplazando 1 en 2

Pero como entonces

Dilatación del tiempo

4. Elaboren un análisis relativístico del problema planteado y formulen una hipótesis de
trabajo para resolver la posible incongruencia de resultados de Rocío.

Lo que sucede en el problema es que los dos observadores están en distintos sistemas de
referencia, tanto Rocío como Marlon.

Rocío se encuentra en la tierra y su sistema de referencia es esta, todo lo que percibe es
respecto a la tierra, ella no ve ni percibe la contracción de longitudes ni la dilatación del
tiempo.

El problema se centra en los postulado de Einstein en el cual para cualquier sistema las
leyes físicas se cumplen, y la velocidad de la luz es la misma para cualquiera que sea el
observador, en el momento en que Marlon comienza a mandar las luces, este recorre una
distancia, que en un sistema puede ser la distancia menor, y en el otro sistema de referencia
puede verse mayor y en esto es que ven que sus relojes se diferencian, y cada uno se ven
más jóvenes.

Como ya hemos comentado antes, el problema de la paradoja reside en que dependiendo
del sistema inercial en que observemos los sucesos, tanto Marlon como Rocío se ven más
jóvenes, pero no podemos tomar como sistema inercial el caso de Marlon debido a que su
sistema sufre aceleraciones lo que rompe su estado de observador inercial, Para evitar
inconvenientes es necesario suponer que el evento del viaje sucede baja determinadas
circunstancias y para lo cual la medición de tal suceso es necesario la utilización de relojes
síncronos para cada hermano, en ese caso Marlon al llegar al planeta va observar que este
se encuentra adelantado al suyo (6.4 años) mas el tiempo que le ha tomado en llegar que
sería de 3.6 años calcularía el mismo tiempo de 10 años que tiene Rocío, el mismo caso
sucedería cuando Marlon realice el viaje de regreso.A esto se le debe sumar que no se
considere los efectos aceleración y arranque de la nave pues cambiaria los resultados y que
Marlon retorna inmediatamente luego de llegar a su destino.

5. Comparar los resultados acerca del tiempo de viaje eligiendo como sistema de
referencia:
a) La tierra:

Tenemos:

Rx = 8años-luz

Siendo la tierra nuestro sistema de referencia tenemos que Roció calcula en el instante en

que Marlon ha recorrido 8 años luz el reloj de Rocío registra (Según la mecánica clásica):

–
Años

Los dos sucesos el momento en que sincronizan Roció y Marlon sus relojes y el recorrido
de Marlon de 8 a-c no están en el mismo punto en este marco de referencia, por lo que t
=10 años. El reloj de Marlon está en reposo en relación con él, y su reloj mide un tiempo
transcurrido igual a to.

……………………….. (1)

Donde γ es:

= 5/3

V: Velocidad del cohete que es igual a 0.8c.

C: Velocidad de la luz que es igual a 3x108m/s

De (1):

En este sistema de referencia (tierra) el tiempo propio será el tiempo medido por Marlon.
(to).

Para Roció ha pasado 10 años y para Marlon tan solo 6 años.

b) Para la nave en que viaja Marlon:

Debido a la contracción de longitud para Marlon el recorrido que realiza lo realiza en
solamente 6 años. Sin embargo podemos indicar que para Marlon el que sufre la
contracción del tiempo es Rocío por encontrarse en un sistema que se mueve respecto a él.
Siendo el T de Marlon igual a 6 años. Para este sistema de referencia el tiempo propio será

el tiempo en el reloj de Rocío.

Por lo tanto el tiempo de movimiento de Rocío según Marlon será

Para detectar los 3.6 años que demora Rocío, Marlon usa en x un reloj que solo es
sincrónico para Rocío, entonces el reloj en x (perseguidor) adelanta con respecto a Rocío
una cantidad igual a:

Luego lo que debería ver Marlon será años que vendría
ser el verdadero tiempo. c2

Esto aclara finalmente que:

 Tanto según los cálculos y predicciones del sistema inercial del gemelo terrestre
como los cálculos según el sistema del gemelo viajero, ambos concluirán que el
gemelo terrestre es quien envejecerá más, ya que el tiempo medido durante el
transcurso del viaje es mayor para él.
 La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la relatividad
especial, aunque se requiere el uso de sistemas inerciales y tener precauciones
especiales para asegurar la continuidad de la métrica.

6. Elabore un juicio de valor acerca de los resultados obtenidos en la pregunta anterior.
Según lo que hemos podido observar a lo largo del informe, el hecho de viajar a
velocidades cercanas de la luz rompe el esquema de la física clásica, generando nuevos
conceptos y formas de percibir el espacio tiempo. En el problema planteado podemos
observar cómo es que el tiempo se veráralentizado por este hecho ya que uno de los
hermanos envejecerá 8 años más que el otro, además de poder ver según nuestras
ecuaciones que el hermano que viaja a 0.8c percibe el espacio comprimido del valor ―real‖
que percibiría alguien en la tierra, todos estos fenómenos solo explicables desde el punto de
vista de la física moderna con la Teoría de Relatividad Especial.

Ciertamente tenemos que Marlon bajo las especificaciones anteriores ha recorrido la
trayectoria del viaje en solamente 12 años en comparación de lo experimentado por Rocío
para la cual el trayecto es de 20 años, esto es normal dentro de los parámetros de la teoría
de la relatividad especial. Debido a la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo.

Pero debemos tener en cuenta que la medición de Rocío se realiza por que se encuentra en
un sistema referencial inercial, a diferencia de Marlon que no podría obtener la misma
medición debido a que se encuentra en un sistema referencial no inercial. Indico que se
encuentra en un sistema referencial no inercial debido a que la nave podría sufrir
aceleración a lo largo de su trayectoria y por lo tanto la velocidad no sería uniforme.

En caso se considerará la aceleración de la nave entonces podríamos empezar a hablar
sobre los conceptos de la teoría de relatividad general.

7. En base a uno de los postulados de Einstein se puede elegir como sistema en reposo a
la nave en que se encuentra Marlon, entonces ¿cuánto tiempo demoraría Rocío en
volver de su viaje con la tierra?, despreciar el arranque y el frenado de la nave.

Se plantearía el mismo problema que el caso anterior en que la Tierra era un sistema
inercial solo que ahora se toma un observador estacionario y en reposo respecto de la nave
de Marlon y aquí sería Rocío quien esté más joven, entonces el viaje de la tierra de ida y
vuelta demora 12 años por lo tanto Rocío demoraría en volver 12 años

8. Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora los resultados de la
pregunta (5) con los de la pregunta (7) ¿cuántos años han pasado realmente para los
dos protagonistas de esta historia?

En la pregunta 5 se toma en cuenta el arranque y frenado de la nave, entonces desde el
punto de vista de Marlon o de Rocío siempre se concluirá que el que viaja en la nave (en
este caso Marlon) será quien permanezca más joven. En cambio en la pregunta 7 al no
considerar el arranque y frenado se estaría tomando por error a la nave como un sistema
inercial y se estaría originando la paradoja de que ambos piensan que el otro hermano
estará más joven en el momento del reencuentro.

 Según Rocío (Ubicada en Tierra)

V = 0,8 c a un planeta distante LP = 8 años luz y debe demorar en la ida

Entonces regresará 20 años más tarde.

 Según Marlon (Planeta P distante L´P)

Viaje demora:

Entonces regresa 12 años más tarde.

Realmente han pasado 20 años para Rocío y 12 años para Marlon.

9. ¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia cuando el observador o la fuente
experimentan un movimiento?
Las ondas de luz deben analizarse en forma distinta a como se analizan las ondas sonoras,
ya que no requieren de ningún medio para propagarse y no existe ningún método para
distinguir el movimiento de la fuente de luz del movimiento del observador. Así, es de
esperar encontrara una formula diferente para el corrimiento Doppler de ondas de luz, una
que solo sea sensible al movimiento relativo de la fuente y el observador, y que sea válida
para velocidades relativas de la fuente y el observador próximas a c.

: es la frecuencia medida por un observador que se aproxima a una fuente de luz

: es la frecuencia según se mide en el sistema de referencia en que la fuente
esta en reposo.

La expresión para el caso de una fuente que se aleja se obtiene al sustituir v por ,v en la
ecuación.

i) Relaciones encontradas:

ii) Cálculos:

Cuando la fuente y el receptor se alejan:

Cuando la fuente y el receptor se aproximan:

Desde el punto de vista de Marlon

Viaje de ida:

Para Marlon el viaje de ida será de 6 años, como hemos visto anteriormente, por lo tanto
durante estos 6 años que se aleja él recibirá las señales que Roció envía con una frecuencia
= 1/3 , por lo tanto en 6 años recibirá 1/3 de señal por año lo cual hace un total de 2
señales en el viaje de ida.

Viaje de regreso:

Ahora la fuente y el receptor se están acercando por lo que la nueva relación de frecuencias
será de =3 , como el viaje de regreso dura también un total de 6 años Marlon recibirá
en este tiempo 3 señales por año lo cual hace un total de 18 señales durante el viaje de
regreso

Pues juntando ambos datos concluimos que en todo el viaje, ida y vuelta, Marlon ha
recibido un total de 20 señales enviadas por Roció con lo cual Marlon supone que para
Roció han pasado un total de 20 años.

Desde el punto de vista de Rocío

Viaje de ida:

Nuevamente la fuente y el receptor se alejan, en este caso la fuente será La nave mientras
que la tierra será el receptor por lo tanto la relación de frecuencias será la misma que en el
caso de Marlon = 1/3 solo que esta vez han cambiado los papeles, por lo tanto durante
el viaje de ida Rocio recibirá 1/3 de señal por año durante el tiempo que Marlon viaja,
como calculamos anteriormente este viaje durara 10 años para Roció por lo tanto recibirá
10/3 de señales durante este tiempo.

Aun no podemos pasar al viaje de regreso puesto que Roció no sabe que Marlon ha
emprendido este viaje hasta que empiece a recibir señales a una mayor frecuencia, pues
justo cuando Marlon da la vuelta de regreso enviara una señal más la cual demorará, al

recorrer a la velocidad de la luz, un total de 8 años en llegar hasta Roció en los cuales la
frecuencia aun será de 1/3 de señal por año por lo que recibirá 8/3 de señales adicionales las
cuales agregamos a las 10/3 de señales anteriores y obtenemos un total de 6 señales en todo
el supuesto viaje de ida.

Viaje de regreso:

Como bien hemos comentado Roció no sabe que Marlon emprende el viaje de regreso hasta
que empiece a recibir las señales con mayor frecuencia y vimos que esto será después que
llega la última señal antes que Marlon regrese, es decir 8 años después de Marlon dio la
vuelta de regreso a la tierra, ahora como dicho viaje dura 10 años solo nos quedan 2 años en
los cuales Roció recibirá señales con una frecuencia de =3 , entonces recibes 3 señales
por año durante esos 2 últimos años lo cual hace un total de 6 señales.

Nuevamente juntamos ambos resultados, 6 señales en los primeros 18 años y 6 señales más
en los 2 últimos años los cuales hacen un total de 12 señales durante todo el viaje, entonces
Roció concluiría que su hermano solo ha envejecido 12 años durante su viaje de ida y de
regreso.

10. Explique la conocida expresión: “corrimiento al rojo”.
El corrimiento al rojo es definido como un incremento en la longitud de onda de radiación
electromagnética recibidas por un detector comparado con la longitud de onda emitida por
la fuente. Este incremento en la longitud de onda se corresponde con un decremento en la
frecuencia de la radiación electromagnética.

El corrimiento gravitacional hacia el rojo, el efecto Doppler de la luz y el corrimiento
cosmológico al rojo por la expansión del universo forman el conjunto de tres corrimientos
hacia el rojo distintos que se confunden a menudo por producir cambios similares en la
frecuencia de las ondas electromagnéticas.

11. El conteo de las señales de luz que se enviaron los protagonistas ¿permitirá
determinar los años transcurridos para ambos?
Si permitirá calcular los años transcurridos para ambos, he aquí un análisis acerca del
tiempo de llegada de las señales enviadas por Rocío y Marlon:
Señales emitidas por Rocío y recibidas por Marlon:

Tomaremos como referencia a la Tierra, donde se encuentra Rocío, para ella el viaje total
dura 16 años y la distancia total recorrida será de 16 años luz.

Caso 1.- Cuando Rocío emite señales mientras Marlon no llega al Planeta X y las señales le
llegan también antes de que llegue.

PLANETA
TIERRA X
¡Aquí
llega la
señal!

Sea el cumpleaños de Roció, entonces la señal luminosa llegará a Marlon dentro de un
tiempo Δt.
Del gráfico:

Quiere decir que la señal luminosa tardara 4i años en llegar a Marlon, desde el punto de
vista de Rocío.

Se nota que si i=2, entonces la señal del segundo cumpleaños de Roció llegara a Marlon
dentro de 8 años de emitida, es decir 10 años desde que inició su viaje y coincidentemente
llegará al Planeta X.

N° de cumpleaños Año de llegada según Rocío Año de llegada según Marlon
de Rocío (desde que inicio el viaje) (desde que inicio el viaje)
1 5 3
2 10 6
Caso 2.- Cuando Rocío emite señales mientras Marlon no llega al Planeta X y las señales le
llegan cuando está de regreso a la Tierra.

V=0.8 d1
PLANETA
c
TIERRA X
¡Aquí
llega la V=0.8
señal! c

D=c(Δt) d2

Después de la segunda señal recibida por Marlon de Roció, este ya se encontrará de regreso
a la Tierra, por lo tanto el análisis del tiempo que tarda la señal luminosa después del
cumpleaños i de Roció (i>2) será:

La distancia entre los planetas es 8 años luz, entonces la distancia de ida y vuelta serán 16
años luz.

3 10.55 6.33
4 11.11 6.66
5 11.66 7
6 12.22 7.33
7 12.77 7.66
8 13.33 8
9 13.88 8.33
10 14.44 8.66
Caso 3.- Cuando Rocío emite señales mientras Marlon está de regreso a la Tierra y las
señales también le llegan cuando está de regreso a la Tierra.

d01

d02
V=0.8
c PLANETA
TIERRA X
¡Aquí V=0.8
llega la c
señal!

d1=0.8c(Δt)
D=c(Δt)

En la Décima señal emitida por Roció la posición inicial de Marlon cambiara, pues para los
10 años según Roció este ya se encontrara de Regreso a Tierra, entonces el análisis será:

La distancia entre los planetas es 8 años luz, entonces la distancia de ida y vuelta serán 16
años luz.

11 15 9
12 15.55 9.33
13 16.11 9.66
14 16.66 10
15 17.22 10.33
16 17.77 10.66
17 18.33 11
18 18.88 11.33
19 19.44 11.66
20 20 12

Señales emitidas por Marlon y Recibidas por Rocío:

Utilizaremos nuevamente a la Tierra como sistema de referencia entonces se sabe que si
para Marlon pasa 1 año para la Tierra pasarán 5/3 de año, entonces si para Marlon pasan i
años entonces para la Tierra pasarán 5(i)/años.

Caso 1) Marlon envía señales mientras está de camino al Planeta X

t’ = 5(i)/3
t=i
PLANETA
TIERRA X
¡Emite
V=0.8
señal!
c

D=c(Δt)

Para Marlon pasarán i años, mientras que para la Tierra pasarán 5(i)/3 años, entonces la
distancia recorrida por el cohete cuando Marlon manda señales será:

Del gráfico se percibe:

de Marlon (desde que inicio el viaje) (desde que inicio el viaje)
1 3 1.8
2 6 3.6
3 9 5.4
4 12 7.2
5 15 9
Caso 2) Marlon envía señales mientras está de regreso a la Tierra

d2

t’ = 5(i)/3
t=i
PLANETA
TIERRA X
V=0.8 ¡Emite
c señal!

D=c(Δt) d1

En este caso Marlon ya está de regreso, entonces el análisis será:

Del gráfico se percibe:

N° de cumpleaños de Marlon Año de llegada según Rocío Año de llegada según Marlon
(desde que inicio el viaje) (desde que inicio el viaje)
6 18 10.8
7 18.33 11
8 18.66 11.2
9 19 11.4
10 19.33 11.6
11 19.66 11.8
12 20 12

12. Evalúen otras posibles consecuencias de viajar a grandes velocidades y el eventual
uso de la dilatación del tiempo.

En cuanto a viajar a grandes velocidades a estrellas lejanas, la contracción relativista del
tiempo puede beneficiar a los tripulantes de la nave espacial permitiendo a los ocupantes el
―tener una vida más larga‖ a comparación de aquellos que se quedan en un sistema de
referencia en reposo (la tierra), acortando el tiempo de un trayecto; pero el transcurrido en
la Tierra puede ser de siglos o milenios.

Por todo lo anterior, la imposibilidad de rebasar la velocidad de la luz parece que nos
condena a permanecer eternamente en nuestro pequeño rincón de la Galaxia, separados por
enormes distancias de otros astros —salvo unos cuantos muy cercanos— y, quizás, de
civilizaciones extraterrestres. Por eso, la posibilidad de viajar, o al menos comunicarse, a
una velocidad superior a la luz es una ilusión muy cara; sin embargo, las dificultades no son
simplemente técnicas, sino que están relacionadas con la misma geometría del espacio-
tiempo.

En primer lugar, si bien es cierto que se necesita una energía infinita para alcanzar la
velocidad de la luz, cabe preguntarse si no existe algún mecanismo desconocido, quizás
relacionado con efectos cuánticos, que permita rebasar esa barrera en alguna forma no
prevista por la física actual. Además podrían existir partículas que, desde que nació el
Universo, posean una velocidad superior a la luminosa; a tales hipotéticas partículas incluso
se les ha dado un nombre: taquiones (del griego tachys: velocidad). Si existieran, los
taquiones resolverían el problema de las comunicaciones interestelares, al permitir enviar
mensajes más veloces que las señales luminosas. Por otra parte, en algunos libros o
películas de ciencia ficción los personajes se "teletransportan", o viajan a través de un
supuesto "híper espacio", o cualquier cosa que implique su desaparición en un punto y su
aparición en otro muy lejano. Pero veremos a continuación que la posibilidad de viajar o
enviar señales más rápidamente que la luz equivale a un viaje aparentemente muy distinto,
pero más difícil de concebir: ¡un viaje al pasado!

O bien, imaginémonos que en el futuro se inventara un "teletransportador" tal que
permitiera a un viajero espacial desaparecer en la Tierra y materializarse en algún lugar

lejano, implicando un desplazamiento a mayor velocidad que la luz. Nuestro viajero podría
llevarse un teletransportador consigo para poder regresar a la Tierra. Pero, en ese caso, cabe
la posibilidad de que el viajero inicie su retorno desde un planeta en movimiento tal que
¡regrese antes de haber salido!

IX.- CONCLUSIONES
• La ralentización del tiempo siempre esta presente, solo basta que un cuerpo esté en
movimiento constante respecto de otro. En nuestro día a día la experimentamos,
sino que no es notoria, pero para velocidades grandes como las que se consideran en
la TRE (v>0.2C), es realmente apreciable este tiempo.

• Contrariamente a lo que piensa la gente, la paradoja no es el hecho de que un
gemelo envejezca más rápido que otro, sino en el razonamiento capcioso que
sugería que los dos gemelos concluirían que es el otro quien envejecería más.

• En la teoría de la relatividad las medidas de tiempo y espacio, son relativas y no
absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador.

X.-BIBLIOGRAFIA

FISICA MODERNA, SERWAY RAYMOND, MÉXICO : MCGRAW-HILL, 1997
FISICA MODERNA ,TIPLER, PAUL A. BARCELONA : REVERTÉ, 1980

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