El documento presenta la resolución de dos problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales (SEL). El primer problema involucra resolver un SEL de 3 ecuaciones y 3 incógnitas relacionado con puestos de guardia en un aeropuerto. El segundo problema determina el valor de k para el cual el SEL asociado no puede resolverse. En ambos casos se utilizan métodos como regla de Cramer y matriz inversa para hallar las soluciones.

1. Acosta- Ríos
PARTE A
ENUNCIADO 21
Sea A cualquier matriz 3x3, con det(A)=2. ¿Cuánto vale
3
1
det( ) det( )
det(5 )
det(5 ) det( )
t
tA A
A
A A



?
Desarrollamos esta expresión, utilizando “propiedades de los determinantes”:
Igualdad de potencia de un determinante: det( 𝐴 𝑏
) = det(𝐴) 𝑏
, teniendo en cuenta esto:
𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)3
+ 𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴𝑡
)
𝑑𝑒𝑡(5𝐴) ∙ 𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)−1
∙ 𝑑𝑒𝑡⁡(5𝐴𝑡
)
Si usamos la propiedad: det(b.A)=𝑏 𝑛
det(A)
𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)3
+ 𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴𝑡
)
53 𝑑𝑒𝑡( 𝐴) ∙ 𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)−1
∙ 53
𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴𝑡
)
Luego, el determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta. det(𝐴𝑡
)= det(A)
𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)3
+ 𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)
53 𝑑𝑒𝑡( 𝐴) ∙ 𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)−1
∙ 53
𝑑𝑒𝑡⁡( 𝐴)
Reemplazando por el coeficiente equivalente: det(A)=2
23
+ 2
53 ∙ 2 ∙ 2(−1) ∙ 53
∙ 2
Resolvemos potencias y luego multiplicamos o sumamos según corresponda:
8 + 2
125 ∙ 2 ∙
1
2
∙ 125 ∙ 2
10
125 ∙
2
2
∙ 250
10
125
∙ 250
2500
125
𝟐𝟎
Entonces,
3
1
det( ) det( )
det(5 )
det(5 ) det( )
t
tA A
A
A A



= 20
Actividad de Proceso Nº4

2. Acosta- Ríos
PARTE B
ENUNCIADO 11
Un aeropuerto tiene 20 puestos de guardia permanente, algunos requieren como
mínimo 4 agentes, otros 2 y otros 1. La cantidad total de
agentes en el aeropuerto es de 60. Con motivo del cierre
momentáneo del aeropuerto se necesita cubrir solamente
la tercera parte de los puestos de 4 agentes, la mitad de
los puestos de 2 agentes y la totalidad de los puestos de 1
agente: tal evento requiere un total de 10 puestos.
¿Cuántos puestos hay de 4 agentes, de 2 agentes y de 1 agente, respectivamente?
Datos Conocidos:
 Puestos de guardia permanente =20
 Cantidad de agentes en el aeropuerto=60
 Por cierre momentáneo del aeropuerto: se requieren 10 puestos
Datos Desconocidos:
Cantidad de puestos:
 de 4 agentes,
 de 2 agentes,
 de 1 agente.
Vinculaciones entre Datos Conocidos y Desconocidos. Designación de variables:
Con motivo del cierre momentáneo, se necesita cubrir:

1
3
⁡⁡de los puestos de 4 agente. (variable “x);

1
2
⁡⁡de los puestos de 2 agentes. (variable “y”);
 El total de los puestos de 1 agente. (variable “z”).
Planteo Matemático:
Consideramos organizar de la siguiente manera:
Según la cantidad de puestos en el aeropuerto
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20
Según la cantidad de agentes respecto a los puestos
4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 60
Según la cantidad de puestos que se precisan para el cierre momentáneo
1
3
𝑥 +
1
2
𝑦 + 𝑧 = 10
Luego, con estas tres ecuaciones, construimos el SEL:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20
4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 60
1
3
𝑥 +
1
2
𝑦 + 𝑧 = 10
Lo resolvemos utilizando la Regla de Cramer, para ello, recurrimos a paquetesinformáticos en
línea:
 OnlineMSchool
 Wiris
 Wolfram Alpha.

3. Acosta- Ríos
RRReeesssooollluuuccciiióóónnn pppooorrr OOOnnnllliiinnneeeMMMSSSccchhhoooooolll
Esta plataforma nos devuelve como resultado:
x= 12
y= 4
z= 4
Recordemos la regla de Cramer:Las variables de X, Y o Z, se obtienen como el cociente de dos
determinantes: donde el numerador es el determinante de una matriz que se obtiene a partir de
A reemplazando la columna de los coeficientes (x, y o z) por el vector de términos
independientes y el denominador, el determinante de la matriz de coeficientes.
[
1 1 1
4 2 1
1
3
1
2
1
][
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
20
60
10
]
VVVaaarrriiiaaabbbllleee XXX
RRReeesss ooollluuuccciiióóónnn pppooorrr WWWiiirrriiisss
RRReeesss ooollluuuccciiióóónnn pppooorrr WWWooolllfffrrraaammm AAAlllppphhhaaa
Recordando el resultado obtenido por la plataforma OnlineMSchool:
x =12

4. Acosta- Ríos
VVVaaarrriiiaaabbbllleee YYY
RRReeesss ooollluuuccciiióóónnn pppooorrr WWWiiirrriiisss
RRReeesss ooollluuuccciiióóónnn pppooorrr WWWooolllfffrrraaammm AAAlllppphhhaaa
Recordando el resultado obtenido por la plataforma OnlineMSchool:
y =4
VVVaaarrriiiaaabbbllleee ZZZ
RRReeesss ooollluuuccciiióóónnn pppooorrr WWWiiirrriiisss
RRReeesss ooollluuuccciiióóónnn pppooorrr WWWooolllfffrrraaammm AAAlllppphhhaaa
Recordando el resultado obtenido por la plataforma OnlineMSchool:
z =4

5. Acosta- Ríos
Repasemos…
Las tres plataformas nos devuelven como resultado:
x= 12; y= 4; z= 4
Como se puede observar, los resultados de los tres paquetes informáticos coinciden.
Verificación Matemática
Aquí es donde reemplazamos lasvariables por loscoeficienteshallados,y comprobamossi
cumplen con lasrestricciones.
Según la cantidad de puestos en el aeropuerto
12 + 4 + 4 = 20
20 = 20
Según la cantidad de agentes respecto a los puestos
4 ∗ 12 + 2 ∗ 4 + 4 = 60
60 = 60
Según la cantidad de puestos que se precisan para el cierre momentáneo
1
3
∗ 12 +
1
2
∗ 4 + 4 = 10
10 = 10
Concluimos que…
De los 20 puestos existentes en el aeropuerto, los mismos se distribuyen de la siguiente
manera:
 12 de ellos son cubiertos por 4 agentes,
 4 de ellos son cubiertos por 2 agentes, y
 los 4 restantes son cubiertos por un agente.
Para el cierre momentáneo del aeropuerto, y respondiendo a la pregunta del enunciado, se
distribuiría de la siguiente manera:
 Solo se precisan 4 puestos cubiertos por 4 agentes cada uno,
 2 puestos que sean cubiertos por 2 agentescada uno.
 y la totalidad (o sea, 4) para que cada uno de ellos, sea cubierto por1 agente.
 En total, 4+2+4=10 puestosy es lo que el evento requiere.
Probamos resolver el SEL con un método diferente… con el método de Matriz Inversa
Utilizamos uno de los paquetes informáticos a los que recurrimos previamente
RRReeesssooollluuuccciiióóónnn pppooorrr OOOnnnllliiinnneeeMMMSSSccchhhoooooolll

6. Acosta- Ríos
Como se puede observar, porel método de Matriz Inversa se puede llegar al mismo resultado
que con el Método de Cramer.
PARTE B
continuación y cambio de consigna
ENUNCIADO 27
Determine el valor de k para el cual el SEL asociado a la correspondiente matriz de
coeficientes A no pueda resolverse usando la Regla de Cramer ni el método de la inversa
1
X A B
 . Comparta en el foro la respuesta.
1 1 1
2 0 1
1 2 3
A
k k
  
   
   
Según lo que nos indica la resolución por Wiris, si k toma el valor
1
4
no se podrá resolver
utilizando la Regla de Cramer ni el método de la Matriz Inversa,ya que el determinante sería
igual a 0 lo que deja al sistema sin resolución.
Para ello, lo comprobamos reemplazando a la variable “k” por el coeficiente
1
4
.
Por Regla de Cramer (a través de OnlineMSchool)
Por el Método de Matriz Inversa (a través de OnlineMSchool)
Llegamos a la conclusión que, efectivamente, k puede tomar cualquier valor salvo
𝟏
𝟒
.

7. Acosta- Ríos
Quisimos probar con números diferentes de
𝟏
𝟒
:
PPaarraa ccaassooss eenn llooss qquuee kk==((--44))
PPaarraa ccaassooss eenn llooss qquuee kk==11//22