Este documento presenta los métodos de ajuste de curvas por mínimos cuadrados, incluyendo la regresión lineal, polinomial y el método de Jacobi. Explica cómo encontrar las ecuaciones de regresión que mejor se ajustan a los datos mediante la minimización del error cuadrático medio. También describe el método de Jacobi para diagonalizar una matriz y calcular sus valores y vectores propios transformando la matriz original en una triangular superior o inferior mediante matrices ortogonales de paso.

1. 1
CLASE: Nro. 15
NOMBRE: Carmen Esparza Villalba
CLASE: Ajuste de curvas – Método de Jacobi
CÁLCULO AVANZADO
ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL
SEMESTRE: ABRIL 2013 – AGOSTO 2013

2. Contenidos
• Ajuste de curvas
– Método mínimos cuadrados
• Regresión Lineal
• Regresión Polinomial
• Método de Jacobi
– Matriz ortogonal P

3. Ajuste de Curvas
Cuando los datos obtenidos de manera experimental
fluctúan o tienen un error, es necesario encontrar valores
intermedios que puedan predecirse a partir de los valores
obtenidos
– Método mínimos cuadrados
• Regresión Lineal
• Regresión Polinomial

4. • La mejor estrategia es encontrar una
línea que se ajuste a los datos.
• Si E = y –a0-a1x, básicamente estamos
diciendo que el error E es igual al
valor real “y” menos el valor
aproximado a0+a1x, por lo tanto
necesitamos encontrar el valor a0 y a1.
Lo podemos hacer a través de las
siguientes fórmulas
Ajuste – Regresión Lineal
Valor observado
Dato (y)
Recta de
regresión
estimada

5. FÓRMULAS Ajuste – Regresión Lineal
a1 = Pendiente
•a1 = nxiyi-xiyi
nxi
2-(xi)2
a0 = ordenada en el origen
•a0 = ỹ – a1(xi/n)
Además podemos saber si
la aproximación es
aceptable y qué tan buena
si
•sy/x < sy (ajuste aceptable)
Sy = ((yi – ỹ)2 / (n-1)
Sy/x Desviación estándar
Sy/x = (yi–a0– a1xi)2/(n-2)
Sy/x Error estándar del estimado
(dispersión alrededor de línea de
regresión)
r2 = ((St – Sr) / St) * 100%
r2 = Coeficiente de determinación
r = Coeficiente de correlación
St = (yi – ỹ)2
Sr = (yi–a0– a1xi)2

6. • Conservando la misma
estrategia podemos agregar
más términos para tener un
mejor ajuste.
• El sistema de ecuaciones
siguientes permitirá encontrar
los valores de a0, a1 , a2 , …
• Fórmulas:
Ajuste – Regresión Polinomial

7. a0n + a1xi + a2xi
2 + ... + amxi
m = yi
a0xi + a1xi
2 + a2xi
3 + ... + amxi
m+1 = xiyi
a0xi
2 + a1xi
3 + a2xi
4 + ... + amxi
m+2 = xi2yi
a0xi
3+ a1xi
4 + a2xi
5 + ... + amxi
2m = ximyi
El sistema de ecuaciones puede resolverse por cualquier
método dependiendo de la cantidad de ecuaciones a utilizar
para un mejor ajuste. sy/x < sy (ajuste aceptable)
• Sy = ((yi – ỹ)2 / (n-1)
• Sy/x = (yi–a0– a1xi – …)2/(n-(m+1))
r2 = (St – Sr / St) * 100%
Dónde St = (yi – ỹ)2 y Sr = (yi–a0– a1xi – …)2
Si es Ajuste Cuadrático m = 2, porque se trunca en x2 en la 1era
ecuación.
FÓRMULAS Ajuste – Regresión Polinomial

8. Ejemplo: a partir de los datos de la tabla que se presenta a continuación,
ajuste un polinomio de segundo grado, utilizando regresión polinomial.
Xi Yi
0 2,1
1 7,7
2 13,6
3 27,2
4 40,9
5 61,1
Para el caso que nos ocupa,
m = 2 (el grado del polinomio que necesitamos)
n = 6 (la cantidad de datos)
Y el conjunto general de ecuaciones queda instanciado de la siguiente manera:
Xi Yi Xi2
Xi3
Xi4
XiYi Xi2
Yi
0 2,1 0 0 0 0 0
1 7,7 1 1 1 7,7 7,7
2 13,6 4 8 16 27,2 54,4
3 27,2 9 27 81 81,6 244,8
4 40,9 16 64 256 163,6 654,4
5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5
∑Xi ∑Yi ∑Xi2
∑Xi3
∑Xi4
∑XiYi ∑Xi2
Yi
15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8

9. 9
Por lo tanto, las ecuaciones lineales simultáneas son:
O en un “formato” más familiar:
Resolviendo ese sistema con alguna técnica como la eliminación gaussiana,
se obtiene:
ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071
El polinomio es: 1.86071x2 + 2.35929x + 2.47857

10. 10
Debemos calcular Sr y St
Sr nos servirá para calcular el error estándar de aproximación basado en la
regresión polinomial.
St nos servirá para calcular el coeficiente de determinación.
Xi Yi Xi2
Xi3
Xi4
XiYi Xi2
Yi ( Yi – Ytrazo )2
( Yi - ao - a1xi - a2xi2
)2
0 2,1 0 0 0 0 0 544,4444 0,14332
1 7,7 1 1 1 7,7 7,7 314,4711 1,00286
2 13,6 4 8 16 27,2 54,4 140,0278 1,08158
3 27,2 9 27 81 81,6 244,8 3,1211 0,80491
4 40,9 16 64 256 163,6 654,4 239,2178 0,61951
5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5 1272,1111 0,09439
∑Xi ∑Yi ∑Xi2
∑Xi3
∑Xi4
∑XiYi ∑Xi2
Yi St Sr
15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8 2513,3933 3,74657
Xtrazo 2,5000
Ytrazo 25,4333
ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071
Sy/x =
Sr
n – (m+1)
Sy/x =
3.74657
6 – 3
= 1.1175
Sy =
St
n - 1
2513.3933
5
= = 22.4205
r =
St - Sr
St
2 2513.3933 - 3.74657
2513.3933
= 0.99851=
El resultado indica que el 99.851%
de la incertidumbre original se ha
explicado mediante el modelo.

11. 11
El método de Jacobi se basa en la transformación de una
matriz A en otra semejante, A1, mediante una matriz
ortogonal de paso P.
El objetivo es convertir en ceros (o valores semejantes a
cero) todos los valores de la matriz triangular superior, o de
la matriz triangular inferior, de una matriz cuadrad A.
Método de Jacobi


















A



















0
1A















xxxx
xxxx
xxxx
xxx
A
0
2

12. 12
Desarrollo de el método de Jacobi
1.- Se construye la matriz A1, semejante a A
A1 = P1’A P1
Para ello se determina el elemento Apq (elemento de mayor valor
absoluto) de la fila p y la columna q que se hará cero ( p ≠ q) de la
matriz triangular inferior, de la matriz Ak.
Método de Jacobi















01
1
1



p
q
k
a
a
A















pqp
q
aa
a
PAk



1
1

13. 13
Desarrollo de el método de Jacobi
La matriz P que es la matriz de transformación tiene la
siguiente forma:
( p, p ) = cos ө
(q, q ) = cos ө
(q , p ) = -sen ө
( p , q ) = sen ө
Método de Jacobi

14. 14
Desarrollo de el método de Jacobi
La base del método consiste en obtener Ө de tal manera que el elemento apq
correspondiente a la matriz Ak+1 sea nula. El valor de ( Ө) se obtiene de la
siguiente ecuación.
2).- Se construye A2 semejante a A1
Se determina el elemento apq de la nueva matriz A1 y la nueva matriz de
transformación P2
A2 = P2’ A1 P2
3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1
Método de Jacobi
appaqq
apq
arctag


2
2
1


15. 15
Desarrollo de el método de Jacobi
3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1
A3 = P3’ A2 P3
A4 = P4’ A3 P4
‘’ ‘’ ‘’
‘’ ‘’ ‘’
‘’ ‘’ ‘’
Ak+1 = Pk+1’*Ak*Pk+1
Ak+1 = Dk+1 + Ek+1; donde
Dk+1 = es la matriz que contiene a los elementos de la diagonal de Ak+1
Ek+1 = Matriz que contiene a los elementos que no están en la diagonal de
Ak+1
Método de Jacobi

16. 16
Calculo de valores propios
El proceso se resume en lo siguiente:
Se determinan
Ak+1 = P’ x A x P
P = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1
Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A
Método de Jacobi
14321123411
3211233211233233
211221122122
111
...........''''.............'.........'
''
''
''
''')''(''
'')'(''
'
 



kkkkk PPPPPAPPPPPPPA
PPAPPPPPPAPPPPPAPA
PAPPPPAPPPPAPA
APPA

17. 17
Calculo de valores propios
El proceso se resume en lo siguiente:
Se determinan
Ak+1 = P’ x A x P
P = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1
Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A
Método de Jacobi
14321123411
3211233211233233
211221122122
111
...........''''.............'.........'
''
''
''
''')''(''
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'
 



kkkkk PPPPPAPPPPPPPA
PPAPPPPPPAPPPPPAPA
PAPPPPAPPPPAPA
APPA