El documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma general, métodos para resolverlas (factorización y fórmula cuadrática), naturaleza de las raíces dependiendo del discriminante, y propiedades de las raíces como su suma y producto. También presenta ejemplos resueltos para ilustrar los diferentes métodos y conceptos.
Durante el período citado se sucedieron tres presidencias radicales a cargo de Hipólito Yrigoyen (1916-1922),
Marcelo T. de Alvear (1922-1928) y la segunda presidencia de Yrigoyen, a partir de 1928 la cual fue
interrumpida por el golpe de estado de 1930. Entre 1916 y 1922, el primer gobierno radical enfrentó el
desafío que significaba gobernar respetando las reglas del juego democrático e impulsando, al mismo
tiempo, las medidas que aseguraran la concreción de los intereses de los diferentes grupos sociales que
habían apoyado al radicalismo.
Documento sobre las diferentes fuentes que han servido para transmitir la cultura griega, y que supone la primera parte del tema 4 de "Descubriendo nuestras raíces clásicas", optativa de bachillerato en la Comunitat Valenciana.
1. ACADEMIAS
ÁLGEBRA | 4APAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I 1
CPI2X4A
ECUACIÓN cuadrática
ÁLGEBRA
Desarrollo del Tema
Forma general
ax2
+ bx + c = 0
a ≠ 0 ; a, b, c ∈
Donde: ax2
: Término cuadrático.
bx : Término lineal.
c : Término independiente.
a : Coeficiente cuadrático
(Coeficiente principal).
b : Coeficiente lineal.
Solución de la ecuación de
2do grado
A. Por factorización: (Aspa simple)
Ejemplo: Resolver: x2
+ 2x – 15 = 0
(x – 3)(x + 5) = 0
x +5
–3x
Igualando cada factor a cero:
x – 3 = 0 x + 5 = 0
x1 = 3 x2 = –5
⇒ C.S = {x1; x2} = {3; –5}
(Conjunto Solución)
B. Por fórmula general
x1,2 = –b ± b2
– 4ac
2a
x1 = –b + b2
– 4ac
2a
x2 = –b – b2
– 4ac
2a
Ejemplo:
Resolver 2x2
– 3x – 5 = 0
Solución:
Identificando coeficientes
2x2
– 3x – 5 = 0
a b c
a = 2 , b = –3 , c = –5
x1,2 = –(–3) ± (–3)2
– 4(2)(–5)
2(2)
x1,2 = 3 ± 9 + 40
4
x1,2 = 3 ± 49
4
x1,2 = 3 ± 7
4
⇒ x1 = 3 + 7
4
=
4
10
= 5
2
x2 = 3 – 7
4
=
4
–4
= – 1
⇒ C.S =
2
; –1
5
Nota:
• La expresión subradical b2
– 4ac recibe el nombre
de discriminante (∆)
∆ = b2
– 4ac
Naturaleza de las raíces
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática,
dependen del valor de su discriminante, así:
• Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.
• Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales.
• Sí ∆ < 0: Las raíces no son reales.
Donde ∆ = b2
– 4ac es el discriminante.
Propiedades de las raíces
En la ecuación: ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
A. Suma de raíces (S)
S = x1 + x2 =
a
–b
2. PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I
ECUACIÓN CUADRÁTICA
2 ÁLGEBRA | 4A
ACADEMIAS
B. Producto de raíces (P)
P = x1x2 =
a
c
C. Diferencia de raíces
d = x1 – x2 = ± S2
– 4p
donde S = x1+ x2 y P = x1 . x2
Raíces especiales
A. Raíces simétricas
Si x1 y x2 son raíces simétricas se cumple:
x1 = A ∧ x2 = –A
⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ –
b
a
= 0 ⇒ b = 0
B. Raíces recíprocas
Si x1 y x2 son raíces recíprocas se cumple:
x1 = A ∧ x2 = 1
A
⇒ x1 . x2 = 1 ⇒
c
a
= 1 ⇒ c = a
C. Raíz nula
En la ecuación cuadrática de la forma ax2
+ bx + c = 0, se
tendrá una raíz nula cuando x = 0, es decir se cumplirá.
c = 0
Reconstrucción de la
ecuación de 2° Grado
Conociendo la S: Suma de raíces
P: Producto de raíces
x2
– Sx + P = 0
Problemas resueltos
Problema 1
Resolver:
x2
– 7x + 12 = 0
Nivel fácil
A. {–4; –3} C.
4
1
3
1
;– –
B.
4
1
3
1
; D. {4; 3}
Resolución
Estrategia de solución:
Factorizar usando aspa simple.
x2
– 7x + 12 = 0
x
x
Cuando el signo es
positivo, hay que
buscar 2 números
que multiplicados
t e d e n 1 2 y
sumados de 7.
x2
– 7x + 12 = 0
x
x 3x
4x
Como la suma
de productos en
aspa debe ser
"–7", se cambia
el signo.
4
3
x2
– 7x + 12 = 0 ∴ (x – 4)(x – 3) = 0
x –4 ⇒ x – 4 = 0 ∴ x1 = 4
x –3 ⇒ x – 3 = 0 ∴ x2 = 3
Respuesta: D. {4;3}
Problema 2
Resolver: x2
+ 7 = x – 7
Nivel intermedio
A. 3 C. 1/3
B. –3 D. ∅
Resolución
Estrategia de solución:
Elevar al cuadrado para eliminar la
raíz cuadrada.
x2
+ 7
2
= (x – 7)2
x2
+ 7 = x2
– 14x + 49
7 = –14x + 49
14x = 42
x = 3
Reemplazando x = 3 en la ecuación
original: 32
+ 7= 3 – 7
4 ≠ – 4
x ∈ ∅
Otras respuestas posibles:
• Ecuación incompatible
• Ecuación absurda
• No tiene solución
Errores más comunes:
• Generalmente en la clave A
aparece:
"x = 3"
y muchos alumnos la marcan.
• La falla está en que los
alumnos olvidan reemplazar, por
la ansiedad del momento.
Respuesta: D. ∅
Problema 3
Sea y = a2
x2
+ 2ax + 3
si y = 2 ∧ x = –1. Hallar "a".
Nivel fácil
A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
Resolución
Reemplazamos y = 2 ∧ x = –1 en la
ecuación.
2 = a2
(–1)2
+ 2a(–1) + 3
0 = a2
– 2a + 1
0 = (a – 1)2
0 = a – 1
1 = a
Errores más comunes:
Por los nervios del examen a veces
nos confundimos al hacer operaciones
fáciles, es recomendable verificar las
operaciones.
Respuesta: A. 1
3. PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I
ECUACIÓN CUADRÁTICA
3ÁLGEBRA | 4A
ACADEMIAS
Ejercicios DE CLASE
Nivel I
1. Resolver (x + 4)2
= 2x(5x – 1) – 7(x – 2) y dar como
respuesta la raíz negativa.
A. –1/6 C. –1/3
B. –1/9 D. –2/3
2. Indicar la mayor raíz de la ecuación x2
– 3x + 2,16 = 0
A. 1,2 C. 2,1
B. 1,3 D. 1,8
3. Halla el valor de "n" si en la ecuación 2x2
– nx + 5 = 0,
una de sus raíces es 3.
A. 13/5 C. 23/3
B. –23/5 D. –13/3
4. Calcular la mayor raíz de la ecuación
(m – 2)x2
– (2m – 1)x + m – 1 = 0
si su discriminante es 25.
A. –1/2 C. 2
B. 3 D. 1/2
Nivel II
5. En la ecuación (4 – w)x2
+ 2wx + 2 = 0, halla w para
que las raíces sean iguales.
A. {2; –4} C. {4; –2}
B. {2; 4} D. {–2; –4}
6. En la ecuación x2
– kx + 24 = 0. Determinar k para
que se cumpla 1
x1
+ 1
x2
= 5
12
.
A. 9 C. 12
B. 10 D. 11
7. Siladiferenciadelasraícesdelaecuaciónx2
–2ax+a+1=0
vale 4, halla la suma de los valores de "a".
A. 2 C. –1
B. 4 D. 1
8. Hallar el mayor valor de "n", si la suma de los cuadrados
de las raíces es 2, en x2
– (n + 3)x + (n + 2) = 0
A. –3 C. –1
B. –2 D. 3
9. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación
cuadrática, un estudiante comete un error en el término
independiente de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2.
Otro estudiante comete un error en el coeficiente de
1er. grado y obtiene por raíces – 9 y –1. La ecuación
correcta es:
A. x2
+ 10x + 9 = 0
B. x2
+ 10x – 9 = 0
C. x2
– 10x – 9 = 0
D. x2
– 10x + 9 = 0
10. Si en la ecuación x2
+ mx + n = 0, m y n son sus raíces;
los valores de m y n respectivamente son
A. 1 y 2
B. 2 y 1
C. 1 y –2
D. –2 y 1
11. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación x2
– 3x + 4 = 0,
hallar (2x1 + 3x2 +1) (3x1 + 2x2 – 1) + 2x2.
A. 40 C. 60
B. 50 D. 70
12. Dada la ecuación cuadrática 3x2
– 5x = –7 con raíces
r1 y r2. Calcula r1
r1 – 1
+ r2
r2 – 1
.
A. 9/5 C. 3/2
B. 3/15 D. –1/6
Nivel III
13. Se define al polinomio f, de la siguiente manera
f(x) =
x
2
; si "x" es par
; si "x" es impar
x + 1
2
Calcula la suma de las soluciones de la ecuación
f(x2
) = f(x + 2).
A. 2 C. 1
B. –1 D. –2