Este documento describe cómo descomponer una fracción racional en fracciones parciales mediante la factorización del denominador en diferentes casos: 1) Factores lineales distintos, 2) Factores lineales repetidos, 3) Factores cuadráticos distintos, y 4) Factores cuadráticos repetidos. En cada caso, se forma una fracción parcial para cada factor del denominador, determinando las constantes mediante igualdad de polinomios.
Esta presentación les ayudará con uno de los casos de factoreo más sencillos, síguela paso a paso y verás que cuando digo sencillo....es cierto...disfrútala!
Esta presentación les ayudará con uno de los casos de factoreo más sencillos, síguela paso a paso y verás que cuando digo sencillo....es cierto...disfrútala!
En ésta presentación tememos las demostraciones a identidades trigonométricas, ejemplos, ejercicios, consultas y taller correspondiente a ésta temática del periodo 3 y la semana 5.
Muestra de algunas páginas de la presentación final gráficas senoidales y sus características. Espero que sea de provecho esta pequeña muestra. Si desean la presentación completa favor visitar www.matematicaspr.com. Tambien tenemos en el blog de www.matematicaspr.com esta publicación con link a la presentacion interactiva.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
En ésta presentación tememos las demostraciones a identidades trigonométricas, ejemplos, ejercicios, consultas y taller correspondiente a ésta temática del periodo 3 y la semana 5.
Muestra de algunas páginas de la presentación final gráficas senoidales y sus características. Espero que sea de provecho esta pequeña muestra. Si desean la presentación completa favor visitar www.matematicaspr.com. Tambien tenemos en el blog de www.matematicaspr.com esta publicación con link a la presentacion interactiva.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
El Liberalismo económico en la sociedad y en el mundo
Fracciones Parciales
1. Fracciones parciales
Px
Una función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del
Q x
divisor Qx 0 de la misma, de tal modo que el divisor puede presentar términos
que permitan factorizarlo atendiendo a :
a) Factores lineales distintos.
b) Factores lineales repetidos o iguales.
c) Factores cuadráticos distintos.
d) Factores cuadráticos repetidos.
Cada caso de los indicados permite formar una fracción racional equivalente a la
dada del modo siguiente:
a) Factores lineales distintos.
Px Px
=
Q x a1 x b1 a 2 x b2 a 3 x b3 a n x bn
...
O sea que: Qx = a1 x b1 a 2 x b2 a3 x b3 a n x bn
. ...
Vamos a formar varias fracciones, una para cada factor distinto de Qx . El numerador
de la fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N
Px A B C N
... I
Q x a1 x b1 a 2 x b2 a 3 x b3 a n x bn
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo
Qx = a1 x b1 a 2 x b2 a3 x b3 a n x bn formamos una expresión sin
. ...
denominadores:
Px Aa 2 x b2 a3 x b3 a n x bn Ba1 x b1 a 3 x b3 a n x bn
... ...
C a1 x b1 a 2 x b2 a n x bn …+ N a1 x b1 a 2 x b2 a3 x b3 n 1x bn1
... . ... a
En éste caso, determinamos A, B, C,…, N mediante igualdad de polinomios,
previa multiplicación de los binomios indicados. Podemos utilizar la parte derecha
A B C N
de la función racional I : ... como
a1 x b1 a 2 x b2 a3 x b3 a n x bn
Px
equivalente de la dada .
Q x
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
1
2. b) Factores lineales repetidos.
Px Px
=
Q x ax b ax b ax b ax b
...
Qx ax b ax b ax b ax b ax b
n
Es decir: ...
Formamos varias fracciones, una para cada factor de Qx . El numerador de la
fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N
Px A B C N
... I
Q x ax b (ax b) 2
(ax b) 3
(ax b) n
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo Qx ax b
n
formamos una expresión sin denominadores:
n 1 n 2 n 3
P x Aax b B ax b C ax b ... N
En la expresión anterior, determinamos A,B, C,…, N mediante igualdad de
polinomios, previo desarrollo de los binomios. Ahora podemos utilizar la parte
Px
derecha de la función racional I como equivalente de la dada .
Q x
c) Factores cuadráticos distintos.
Px Px
=
Q x 1 x b1 x c1 2 x b2 x c 2 3 x 2 b3 x c3 n x 2 bn x c n
a 2
a 2
a ... a
Ahora: Qx 1 x 2 b1 x c1 2 x 2 b2 x c 2 3 x 2 b3 x c3 n x 2 bn x c n
a a a ... a
Formamos varias fracciones, una para cada factor de Qx . El numerador de la
fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M
Px Ax B Cx D Ex F Nx M
= ...
Q x 1 x b1 x c1 2 x b2 x c 2 3 x b3 x c3
a 2
a 2
a 2
a n x bn x cn
2
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
2
3. Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo
Qx = 1 x 2 b1 x c1 2 x 2 b2 x c 2 3 x 2 b3 x c3 n x 2 bn x c n formamos
a a a ... a
una expresión sin denominadores:
P x Ax B 2 x 2 b2 x c 2 3 x 2 b3 x c3 n x 2 bn x c n
a a ... a
Cx D a1 x 2 b1 x c1 3 x 2 b3 x c3 a n x 2 bn x cn
a ...
Ex F 1 x b1 x c1 2 x b2 x c2 n x 2 bn x cn …+
a 2
a 2
... a
Nx M 1 x 2 b1 x c1 2 x 2 b2 x c2 ( n1) x 2 b( n 1) x cn 1
a a ... a
Encontramos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previa
multiplicación de los factores planteados en P(x) . Ahora podemos utilizar la parte
Px
derecha de la función racional I como equivalente de la dada .
Q x
d) Factores cuadráticos repetidos.
Px Px
=
Q x bx c bx c 2 bx c 2 bx c
ax 2
ax 2
ax ... ax
Siendo: Qx ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c ... ax 2 bx c ax 2 bx c n
Formamos varias fracciones, una para cada factor de Qx . El numerador de la
fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M
Px Ax B Cx D Ex F Nx M
= ... I
Q x bx c bx c bx c
ax 2
ax 2 2
ax 2 3
ax bx c n
2
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo
Qx ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c ... ax 2 bx c ax 2 bx c
n
formamos una expresión sin denominadores:
P(x) = (Ax+B) ax 2 bx c
n 1
(Cx+D) ax 2 bx c
n 2
(Ex+F) ax 2 bx c
n 3
+…+ (Nx+M)
Hallamos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los
factores indicados.
Utilizamos la parte derecha de la función racional I como equivalente de la expresión
Px
dada .
Q x
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
3
4. Ejemplos de Fracciones Parciales
Primer Caso. Factores de primer grado distintos.
Px 5x 3
Sea la función racional =
Q x x 1x 3
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente, dependiendo del divisor
Qx 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales
distintos x 1 y x 3.
5x 3
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya suma
x 1x 3
A B
sea equivalente a la fracción conocida:
x 1 x 3
5x 3 A B
Es decir: Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
x 1x 3 x 1 x 3
común múltiplo x 1 x 3, tenemos: 5 x 3 Ax 3 Bx 1
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: 5 x 3 Ax 3 A Bx B
Asociando en la derecha los términos semejantes: 5 x 3 A B x 3 A B
Igualando los términos semejantes:
En x: 5 x A B x ( I )
Términos independientes: -3 = -3 A + B ( II )
De I Dividiendo entre x la expresión: 5= A+ B (I)
-3 = -3 A + B ( II )
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I y II mediante reducción:
Multiplicando la ecuación I por 3: 15 = 3A+ 3B
-3 = -3A+ B
12
Sumando las dos ecuaciones anteriores 12 = 4B B = 3 B=3
4
Sustituyendo B en la ecuación I: 5 = A + 3 A= 5-3= 2 A = 2
5x 3 2 3
Con los valores de A, B encontrados tenemos:
x 1x 3 x 1 x 3
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
4
5. Segundo Caso. Factores de primer grado repetidos.
Px 6 x 7
Sea la función racional
Qx x 22
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
Qx 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales
iguales x 2x 2 .
6x 7
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya suma sea
x 22
A B
equivalente a la fracción conocida :
x 2 x 22
6x 7 A B
Es decir: Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
x 2 x 2 x 22
2
2
común múltiplo x 2 , tenemos:
6 x 7 Ax 2 B
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:
6 x 7 Ax (2 A B)
Igualando términos semejantes:
En x : 6x=Ax Dividiendo entre x, tenemos que : A = 6
Términos independientes: 7 2 A B 7= 2(6) +B
Despejando B: B = 7-12 = -5 B 5
Sustituyendo los valores de A y B en la fracción inicial:
6x 7 6 5
x 2 x 2 x 22
2
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
5
6. Tercer Caso. Factores de segundo grado distintos.
Px x 3 x 2 2 x 1
Sea la función racional 2
Qx x 1 x2 2
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
Qx 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo
grado diferentes x 2 1 x 2 2 .
x3 x 2 2x 1
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya
x2 1 x2 2
Ax B Cx D
suma sea equivalente a la fracción conocida : 2
x2 1 x 2
3 2
x x 2 x 1 Ax B Cx D
Es decir: 2 2 Multiplicando ésta ecuación por el mínimo
x2 1 x2 2 x 1 x 2
común múltiplo x 2 1 x 2 2 ,
Tenemos: x 3 x 2 2 x 1 Ax B x 2 2 Cx D x 2 1
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda:
x 3 x 2 2 x 1 Ax 3 2 Ax Bx 2 2 B Cx 3 Cx Dx 2 D
Factorizando a la derecha de la igualdad:
x 3 x 2 2 x 1 ( A C ) x 3 ( B D) x 2 ( 2 A C ) x ( 2 B D)
Igualando términos semejantes:
En x 3 : x3 ( A C)x3 Dividiendo entre x 3 , tenemos que : 1 = A + C (I)
2 2 2 2
En x : x ( B D) x Dividiendo entre x , tenemos que : 1 = B + D (II)
En x : 2 x (2 A C ) x Dividiendo entre x , tenemos que : 2 = 2A + C (III)
Términos independientes: 1 (2 B D ) o sea que: 1= 2B + D (IV)
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I , II , III, IV :
De I: 1 = A + C multiplicando por -1 -1 = -A - C
Sumando con III: 2 = 2A + C
1= A A=1
Sustituyendo A en I tenemos que 1 = 1 + C por tanto C=0
Seleccionando ahora las ecuaciones II y IV
1=B+D multiplicando por -1 -1 = -B - D
Sumando con IV: 1= 2B + D
0=B por tanto B=0
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
6
7. En la Ecuación II encontramos a D: 1 = B+ D 1 = 0 + D D=1
Sustituyendo los valores de A, B, C, D en la fracción inicial:
x 3 x 2 2 x 1 (1) x 0 (0) x 1
2 2
x2 1 x2 2 x 1 x 2
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
x3 x2 2x 1 x 1
2 2
2
2
x 1 x 2
x 1 x 2
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
7
8. Cuarto Caso. Factores de segundo grado repetidos.
Px x 2 x 9
Sea la función racional
Qx 2 9
x
2
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor
Qx 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo
grado repetidos x 2 9 x 2 9 .
x2 x 9
A partir de la fracción dada podemos construir dos fracciones cuya suma
x 2
9
2
Ax B Cx D
sea equivalente a la fracción conocida :
x2 9
x2 9
2
2
x x9 Ax B Cx D
Es decir:
x 2
9
2
x2 9 x2 9
2
Multiplicando la ecuación anterior por el mínimo común múltiplo x 2 9
2
tenemos:
x 2 x 9 Ax B x 2 9 Cx D
x 2 x 9 Ax 3 9 Ax Bx 2 9 B Cx D
Completando el polinomio de tercer grado en la derecha y factorizando los términos
semejantes a la izquierda:
0 x 3 x 2 x 9 Ax 3 Bx 2 (9 A C ) x (9 B D )
Igualando términos semejantes.
En x 3 : 0 x 3 Ax 3 A=0
2 2 2
En x : x Bx B =1
En x : x (9 A C ) x -1= 9 A + C -1 = 9(0) + C C = -1
Términos independientes: 9 = 9B + D 9 = 9(1) + D D = 0
x2 x 9 Ax B Cx D
En la expresión: =
9 x 2
2
x2 9 x2 9
2
Sustituyendo A, B, C y D tenemos:
x2 x 9 (0) x 1 (1) x 0
=
9 x 2
2
x2 9
x2 9
2
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda:
x2 x 9 1 x
= 2
2
x 9
2
x 9 x 9 22
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial
conocida.
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011
8