Este documento describe métodos para representar gráficamente las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias usando MATLAB, incluyendo el campo de direcciones y las curvas de nivel o isóclinas. Explica cómo construir el campo de direcciones y representar las trayectorias de las isóclinas para ecuaciones diferenciales específicas.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA
PARTICULAR DE LOJA
Campo de pendientes y Curvas solución
MATLAB 7.1.lnk
Escuela de Ingeniería Civil
Área de Física y Matemáticas

2. Ing. Carmen Esparza V.
Campo de direcciones
Sea n=1 y sea y'(x)=f(x,y(x))
Para construir el CAMPO DE DIRECCIONES de la ED, por cada
punto (x,y) de una red de puntos de R^2 se dibuja un
segmento o vector de pendiente f(x,y).
Para el estudio gráfico de las soluciones de una ED sin
haberla resuelto, usaremos un programa en el que
intervienen los comandos
meshgrid y quiver,
que permite dibujar el campo de direcciones
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3. Ing. Carmen Esparza V.
Campo de direcciones
Los vectores a considerar para obtener el campo de
direcciones serán (1, y') .
Ejemplo: Construir el campo de direcciones de ED y’=sin xy
>> f=inline('sin(x.*y)','x','y');
>> [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);
>> [n,m]=size(x);
>> dx=ones(n,m);
>> z=f(x,y);
>> dy=z;
>> hold on,quiver(x,y,dx,dy)
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4. Ing. Carmen Esparza V.
Campo de direcciones
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5. Ing. Carmen Esparza V.
Campo de direcciones
Representar la solución de la ED que corresponde la CI
y(0)=2
Ejemplo: Construir el campo de direcciones de ED y’=-2xy
>> f=inline('-2.*x.*y','x','y');
>> [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2,-3:0.2:3);
>> [n,m]=size(x);
>> z=f(x,y);
>> dy=z;
>> hold on,quiver(x,y,dx,dy)
>> dsolve('Dy=-2*x*y','y(0)=2','x')
ezplot('2*exp(-x^2)',[-2,2]),hold on,plot(0,2,'*r')
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6. Ing. Carmen Esparza V.
Campo de direcciones
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8. Ing. Carmen Esparza V.
Trayectorias de las Isóclinas
Dada la ED y'=f(x,y), se llaman curvas de nivel o isóclinas a
las obtenidas al imponer la condición
y'=k
Método de las isóclinas.
Es una variante de las ideas antes descritas. Los puntos
del plano por los que pasa una solución con pendiente k,
son los puntos de la curva de ecuación f(x,y)=k (isóclina
de pendiente k).
Dibujando las distintas isóclinas se obtiene una
representación similar a la del campo de direcciones
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9. Ing. Carmen Esparza V.
Trayectorias de las Isóclinas
Puede tener interés identificar la isóclina para la pendiente
0 pues las soluciones tendrán generalmente un máximo o
un mínimo al pasar por esta isóclina
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10. Ing. Carmen Esparza V.
Trayectorias de las Isóclinas
Ejercicio 1:
Representar las isóclinas de la ED y' = x^2+y^2
» [x,y]=meshgrid(-4:0.05:4);
» z=x.^2+y.^2;
» isoclinas=contour(x,y,z,10)
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11. Ing. Carmen Esparza V.
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12. Ing. Carmen Esparza V.
Trayectorias de las Isóclinas
Ejercicio 2:
Representar las isóclinas de la ED y' = sin (xy)
» [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);
» z=sin(x.*y);
» isoclinas=contour(x,y,z,5)
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13. Ing. Carmen Esparza V.
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14. Ing. Carmen Esparza V.
Trayectorias de las Isóclinas
Ejercicio:
Construir el campo de direcciones y las curvas de nivel de
la ED y'=2 – 3xy {-1≤x ≤4,-4 ≤y ≤4}
>> f=inline('2-3.*x.*y','x','y');
>> [x,y]=meshgrid(-1:0.2:4,-4:0.2:4);
>> [n,m]=size(x);
>> dx=ones(n,m);
>> z=f(x,y);
>> dy=z;
>> hold on,contour(x,y,z,20),quiver(x,y,dx,dy)
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