Este documento presenta resúmenes breves de varios métodos numéricos para la diferenciación e integración, incluyendo la interpolación polinómica, la extrapolación de Richardson, las fórmulas de integración de Newton-Cotes como la regla del trapecio, el método de integración de Romberg, y las reglas de Simpson y la cuadratura gaussiana.

1. Diferenciación e Integración
Numérica
Nombre: Luis Alejandro Luque Romero
Cedula: 27.831.846

2. Nociones preliminares.
es una circunstancia en la que se genera un obstáculo al
curso normal de las cosas. Su etimología nos demuestra
que un problema es aquel que requiere de solución. A
nivel social, el concepto más genérico de problema puede
ser vertido en cualquier campo, porque en teoría,
problemas existen en todos lados.

3. Primeras derivadas de los
polinomios interpolantes.
Sea f una función continua en [a, b] de la que se conoce el valor que toma en
n+1 puntos distintos (nodos): x x0 x1 . . . xn y y0 y1 . . . yn Se trata de calcular el
valor aproximado de f en cualquier otro punto. Si no se dispone de más
información acerca de f, se busca una función, P, de un conjunto de funciones,
que en cada punto xi tome el valor yi, (i = 0, . . . , n). El conjunto de funciones
que se toma es el conjunto de polinomios de grado ≤ n (dados n+1 nodos),
porque: 1. Los polinomios aproximan de manera uniforme a las funciones
continuas (dada una función cualquiera, definida y continua en un intervalo
cerrado, existe un polinomio “tan próximo” a la función como se desee). 2. La
derivada y la primitiva de un polinomio son fáciles de determinar y también
son polinomios. Los polinomios de Taylor concentran toda la información en
un solo punto x0 (lo que limita su uso al caso de aproximaciones en puntos
cercanos a x0). Normalmente resulta más conveniente usar métodos que
incluyan información en diversos puntos como es el caso de la interpolación.

4. Extrapolación de Richardson
desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir
de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente.
Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos
numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la
precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la
base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir
un método de integración: el método de Romberg.

5. Fórmulas de integración de
Newton-Cotes.
son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio en
las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un
valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función
más preciso será el resultado.
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos
igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la
función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son
probablemente más eficientes.

6. Regla del trapecio.
Es un método de integración, es decir, un método para calcular
aproximadamente el valor de una integral definida. La regla se basa
en aproximar el valor de la integral de {displaystyle f(x)} por el de
la función lineal, que pasa a través de los puntos {displaystyle
(a,f(a))} y {displaystyle (b,f(b))}. La integral de ésta es igual al área
del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

7. Integración de Romberg.
genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas
de la integral definida siguiente:
{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx}usando la extrapolación de Richardson de
forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el
integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración
estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser
suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados
bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es
posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso
otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–
Curtis son más adecuados.

8. Regla de Simpson 1/3 y
3/8.Fórmulas de la cuadratura
Gaussiana.