El documento resume varios métodos numéricos para calcular integrales definidas y derivadas de funciones, incluyendo la regla del trapecio, las fórmulas de Newton-Cotes, la extrapolación de Richardson, y las reglas de Simpson 1/3 y 3/8. Explica cómo estas técnicas permiten aproximar el área bajo una curva o la pendiente de una tangente a través de sumas, polinomios o evaluaciones en puntos discretos.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTA ESCUELA DE INGENIERÍA
INVESTIGACION
Autor:
Gonzalez Jose C.I 26.301.104
Profesor: Domingo Mendez
Cátedra: Analisis Numerico
Sección: Saia A
Cabudare, Marzo de 2020

2. Diferenciación e Integración Numérica
Una integral definida tiene la forma,
Donde a, b son el límite inferior y superior de integración, respectivamente, f(x)
es la función a integrar y dx es la diferencial de x.
La integral, geométricamente, representa el área delimitada por el lugar
geométrico de la función, f(x), el eje de la abscisas, y la dos rectas verticales x = a y x
= b, ver la figura,
Cuando, la integral definida es muy difícil o de plano imposible de resolver,
existen estrategias que permiten tener una solución aproximada. La integral definida
permite que, geométricamente, se determine una aproximación a través de trapecios.
Otra forma de obtener una solución aproximada a la integral definida es tratar de ajustar
un polinomio al lugar geométrico de la función a integrar, y así en vez de integrar la
función f(x), se integra el polinomio Pn(x),
Al igual que la integral, la derivada tiene un significado geométrico que permite
una aproximación numérica. Así, la derivada representa, geométricamente, la pendiente
de una recta tangente,

3. La recta es tangente al lugar geométrico de la función f(x). Toman dos puntos
alrededor del punto de tangencia es posible representar la pendiente a través de,
La idea anterior puede retomarse como base para determinar una aproximación a
la derivada de una función, junto con estrategias que mejoren dicha aproximación.

4. Primeras derivadas de los polinomios interpolantes
Si una función esta bien aproximada por un polinomio interpolante, debe
esperarse que la pendiente de la función también sea aproximada por la pendiente del
polinomio, aunque luego se descubrirá que el error al estimar la pendiente, es mayor que
el error al estimar la función. Se comienza con el polinomio de avance de Newton –
Gregory:
luego, se puede derivar la ecuación anterior
luego la formula se simplifica bastante sí, por ejemplo,
Obsérvese que aun cuando el polinomio interpolante aproxima exactamente a
f(x) en x0, la fórmula de la derivada involucra un error de O(hn ) en ese punto.
Extrapolación de Richardson
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry
Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra
secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para
mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual
forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función,
partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para
definir un método de integración: el método de Romberg.

5. Fórmulas de integración de Newton-Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y
Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio,
en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor
aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será
el resultado.
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente
separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros
métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
Para la integración numérica de utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se
subdivide el intervalo en n intervalos iguales. Así se obtienen puntos donde
se evaluará la función:
Si y se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los
intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen
en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo se
utilizará la siguiente función:
es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

6. Regla del Trapecio
Esta consiste en aproximar a la función f(x) con una línea recta uniendo los puntos (a,
f(a)) y (b,f(b)). Al integrar la fórmula para la línea recta se concluye:
Si (b-a) no es suficientemente pequeño, la regla trapezoidal no es muy útil. En tales
casos, se realiza una división en subíntervalo pequeños, esto es:
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos
elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del
trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del
intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe
ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante
buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el
integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura
gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados.

7. Regla de Simpson 1/3 y 3/8