El análisis complejo es una rama clásica de las matemáticas que estudia funciones de variables complejas y tiene sus orígenes en el siglo XIX. Algunas herramientas centrales incluyen integrales de contorno, series de Laurent, y el teorema de Liouville sobre funciones acotadas en el plano complejo. La continuación analítica permite extender definiciones de funciones a nuevos dominios de manera holomorfa.

1. Análisis complejo

2. El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas
que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados
en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y
muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo,
en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas
aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también
en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en
popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos
de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas,
de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras
aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría
de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

3. Integrales de contorno
Una herramienta de central importancia en el análisis complejo es la integral de contorno. La
integral de una función que sea holomorfa sobre y en el interior de un camino cerrado es siempre
cero. Esto es el Teorema integral de Cauchy. Los valores de una función holomorfa dentro de un
disco pueden ser hallados mediante una integral de contorno sobre la frontera del disco (fórmula
integral de Cauchy). Las integrales de contorno en el plano complejo se usan a menudo para
encontrar integrales reales complicadas, y para esto es útil la teoría de los residuos. Si una función
tiene un una singularidad en algún punto (o número finitos de ellos), que quiere decir que sus
valores "estallan", que no tiene un valor finito en tales puntos, entonces se puede definir el residuo
de la función en dicha singularidad, y estos residuos pueden ser usados para calcular integrales
aparentemente difíciles de una manera sencilla, este es el contenido del poderoso teorema de los
residuos. El curioso comportamiento de las funciones holomorfas cerca de las singularidades
esenciales es descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati. Las funciones que tienen sólo polos
(un tipo de singularidad de funciones racionales donde el polinomio denominador tiene un número
finito de ceros) y no singularidades esenciales se dicen meromorfas.

4. Series de Laurent
Las series de Laurent son similares a las series de
Taylor pero pueden ser usadas para estudiar el
comportamiento de las funciones cerca de las
singularidades.

5. Teorema de Liouville
Una función acotada que sea holomorfa en el plano
complejo debe ser constante; esto es el Teorema de
Liouville, que puede usarse para dar una prueba
natural y breve del Teorema fundamental del álgebra,
que dice que el cuerpo de los números complejos es
un cuerpo algebraicamente cerrado.

6. Continuación analítica
Una propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un
dominio simplemente conexo entonces sus valores están completamente determinados por sus
valores sobre cualquier subdominio más pequeño. La función sobre el dominio más grande se diría
que está analíticamente continuada, que es la continuación desde sus valores en el dominio más
pequeño. Esto permite extender, a casi todo el plano, la definición de funciones como la función ζ de
Riemann que están inicialmente definidas en términos de sumas infinitas que convergen sólo sobre
dominios limitados. Algunas veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar
analíticamente una función holomorfa a un dominio conexo no simple en el plano complejo, pero es
posible extenderla a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente relacionada conocida
como superficie de Riemann.
Otros
Existe también una rica teoría en el caso de más de una dimensión compleja, donde las propiedades
analíticas como las de expansión en series de potencias permanece aún cierta pero que sin embargo
la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones en una dimensión compleja (como la
de transformación conforme) ya no lo son. El teorema de representación conforme de Riemann sobre
las relaciones conformes de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más
importante en la teoría unidimensional, falla totalmente en dimensiones mayores.