Aldair

1. Análisis vectorial

2. Matemáticamente hablando, el desarrollo del análisis vectorial se enmarca en
una problemática conceptual de más de veinte siglos que giró en torno a la
ontología de los números. El marco del universo numérico se fue ampliando por
las exigencias en la búsqueda de soluciones a las ecuaciones. La teoría de
ecuaciones evolucionó en la medida que el álgebra se constituía como nueva
disciplina matemática, y con la emergencia de la geometría analítica. Algunas
de las nuevas disciplinas matemáticas fueron manifestándose como resultado
directo o indirecto de la ampliación de los sistemas numéricos. Para entender
un poco este proceso es indispensable que tengamos en cuenta el marco
conceptual, que influyó en el desarrollo de las nociones matemáticas. Los
aspectos fundamentales de esta discusión se pueden localizar en la
antigüedad griega. En este orden de ideas, es importante conocer el desarrollo
evolutivo del concepto de número y su representación, como la relación
intrínseca entre número, magnitud y dirección, que permitieron el nacimiento
de la noción de vector.

3. La línea física en el desarrollo del análisis
vectorial
El análisis vectorial surgió de la necesidad de dotar a los físicos de una herramienta
básica para la interpretación de algunos fenómenos naturales. Por ejemplo, en la
matematización del movimiento, las cantidades tradicionales se mostraron
incapaces de describir la posición. Para suplir este impase, fue necesario realizar un
cambio de perspectiva sin precedentes: visualizar el espacio físico como un espacio
de objetos matemáticos ocupado por vectores. Esto era posible pues aunque se
aceptaba que los objetos matemáticos gozaban de una existencia autónoma en
un campo teórico, también 53 se aceptaba que ellos eran un reflejo del mundo
fenomenológico. Parecía pues, natural que las matemáticas se constituyeran en el
lenguaje apropiado para expresar las características o propiedades de muchos
fenómenos físicos. Desde Euclides hasta los tiempos de Galileo Galilei (1564-1642), la
matemática y la física se habían desarrollado por separado. Por un lado, el
aristotelismo sostenía que la física debería basarse directamente en la experiencia, y
su objetivo era explicar el por qué de los fenómenos suceden y descubrir las causas
que los ocasionan. La naturaleza de las matemáticas era diferente; se tomaba
como una ciencia auxiliar

4. William Hamilton y el surgimiento del
análisis vectorial
Con Hamilton se abre paso a un nuevo campo de las matemáticas, completamente
diferente al tradicional, con su teoría de los cuaterniones. Sin embargo, encontró muchos
detractores, por las siguientes razones:
i. Los cuaterniones presentaban un rompimiento categórico con el principio de
permanencia de forma.
ii. Era muy tedioso operar con ellos.
iii. Los físicos no sabían qué hacer con la parte escalar del cuaternión (hipernúmero de
dimensión cuatro).
De acuerdo con los obstáculos anteriores, no le impidió a Hamilton continuar con el
desarrollo de su teoría. Cabe resaltar que esta situación no es algo inherente del desarrollo
del análisis vectorial, sino que durante muchos años los matemáticos se enfrentaban a este
tipo de obstáculos en la formulación de sus teorías, cuando van en contra a una tradición.
65 Tenemos muchos ejemplos históricos de teorías que, dada su originalidad, debieron sufrir
percances similares, entre ellos tenemos: las geometrías no euclidianas, el álgebra de Boole,
la teoría de Maxwell, entre otros

5. Hermann Gunther Grassmann y el
surgimiento del análisis vectorial
En 1844, año en el cual Hamilton publica su primer artículo sobre cuaterniones, Grassmann
saca a la luz pública sus desarrollos sobre análisis vectorial en un libro titulado: Die Lineale
Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (El cálculo de la extensión).
Grassmann desarrolla sus ideas sobre el análisis vectorial durante el período de 1832 a 1864.
Es de singular importancia que en principio, el proyecto investigativo en el cual Grassmann
estaba interesado era describir matemáticamente el fenómeno de las turbulencias y
mareas. Precisamente, investigando estas cuestiones Grassmann se da cuenta que para
desarrollar estos aspectos debe definir las bases conceptuales de una nueva rama de las
matemáticas, cuyos objetos no se encontraban claramente determinados, como lo es el
análisis vectorial. Sin embargo, sus aportes más finos, teóricamente hablando, pertenecen
al campo del álgebra abstracta. Sus contribuciones a las matemáticas empiezan a
concretarse en su Theorie der Ebbe und Flut de 184033 , el cual, según Crowe, contiene el
nacimiento de un sistema de análisis basado en vectores. Pero su obra más importante, es
sin duda, Die Ausdehnungslehre: Vollständing und in strenger Form bearbeitet; en ella,
Grassmann no sólo desarrolla cuestiones técnicas de las matemáticas, sino que expone
también concepciones filosóficas.